Подготовка к ЕГЭ по математике

(Досрок 2023)

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK : KC  =  2:3. Четырёхугольник KLMN – квадрат.
а)  Докажите, что AB:CD=2:3.

б)  Найдите объём пирамиды KNMC, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

Решение:

Ответ: б) 3,6.

(Досрок 2023)

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что AK:KC=3:7, а KLMN  — квадрат со стороной 3.
а)  Докажите, что BM:MD=3:7.

б)  Найдите расстояние от точки C до КLМ, если известно, что объем тетраэдра ABCD равен 50.

Решение:

Ответ: 49

(ЕГЭ 2023, Статград)

 а) Решите уравнение:

$\large \frac{3tg^2x-1}{2cosx+\sqrt3}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$

Решение:

Ответ: а) $\pm\frac {\pi}{6}+2\pi k , k\in Z$; б) $\frac{11\pi}{6};\frac{13\pi}{6}$.

(ЕГЭ 2023, Досрок)

 а) Решите уравнение:

$log_4(2^{2x}-\sqrt3cosx-sin2x)=x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}].$

Решение:  

Ответ: а) $-\frac {\pi}{3}+2\pi k; -\frac {2\pi}{3}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z$; б) $\frac{5\pi}{2};\frac{10\pi}{3};\frac{7\pi}{2}$.

(ЕГЭ 2023, Пробник)

 а) Решите уравнение:

$\sqrt{2cos^2x-4cosx+3}=\sqrt{cosx+6}.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7 \pi }{2};5\pi]$. 

Решение:

a)

$\sqrt{2\cos ^{2}x-4\cos x+3}=\sqrt{\cos x+6};$

$2\cos ^{2}x-4\cos x+3=\cos x+6$ при условии $cos x+6\geq 0.$

Указанное условие выполняется всегда.

$2cos ^{2}x-5\cos x-3=0;$

$cos x=\frac{5\pm 7}{4};$

$cos x=-\frac{1}{2};$

$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{7 \pi }{2};5\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

Ответ: а) $\pm \frac {2\pi}{3}+2\pi k; \frac {5\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$; б) $\frac{14\pi}{3}$.

(ЕГЭ 2023, Досрок) а) Решите уравнение:

$log_{13}(cos2x-9\sqrt2 cosx-8)=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}].$

Решение:

Ответ: а) $\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$; б) $-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}$

 (ЕГЭ 2023, Досрок) 

а) Решите уравнение:

$\log _{3}\left( \sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-x\right) +\sin 2x+81\right) =4.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \pi ;\frac{5 \pi }{2}]$.

Решение:

Ответ: а) $\pi k;\frac {3\pi}{4}+2\pi k;\frac {5\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$; б) $\pi; \frac{5\pi}{4};2\pi$.