06. Преобразование тригонометрических выражений

Можно заглянуть в тригонометрический круг

$6\sqrt3 tg\frac{\pi}{6}sin\frac{\pi}{6}=6\sqrt3\cdot \frac{1}{\sqrt3}\cdot \frac{1}{2}=3.$

Ответ: $3.$

При решении к последнему множителю применяем формулы приведения

$46\sqrt 6cos\frac{\pi}{6}cos\frac{7\pi}{4}=46\sqrt 6\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=46\sqrt 6\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot cos\frac{\pi}{4}=$

$=46\sqrt 6\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=69.$

Ответ: $69.$

$24\sqrt3cos(-750^{\circ})=24\sqrt3cos750^{\circ}=24\sqrt3cos(2\cdot 360^{\circ}+30^{\circ})=24\sqrt3cos30^{\circ}=$

$=24\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=36.$

Ответ: $36.$

$24\sqrt3 tg(-1020^{\circ})=24\sqrt3(-tg1020^{\circ})=-24\sqrt3 tg(3\cdot 360^{\circ}-60^{\circ})=-24\sqrt3 tg60^{\circ}=$

$=-24\sqrt3\cdot \sqrt3=-24\cdot 3=-72.$

Ответ: $-72.$

При решении используем формулы приведения

$30\sqrt2sin135^{\circ}=30\sqrt2sin(180^{\circ}-45^{\circ})=30\sqrt2sin45^{\circ}=30\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=30.$

Ответ: $30.$

Способ 1.

При решении используем формулы приведения

$sin46^{\circ}cos134^{\circ}+sin134^{\circ}cos46^{\circ}=$

$=sin46^{\circ}cos(180^{\circ}-46^{\circ})+sin(180^{\circ}-46^{\circ})cos46^{\circ}=$

$=sin46^{\circ}(-cos46^{\circ})+sin46^{\circ}cos46^{\circ}=0.$

или

Способ 2.

Согласно

$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha  cos\beta+cos\alpha sin\beta$

имеем:

$sin46^{\circ}cos134^{\circ}+sin134^{\circ}cos46^{\circ}=sin(46^{\circ}+134^{\circ})=sin180^{\circ}=0.$

Ответ: $0.$

$\large\frac{25}{sin(-\frac{25\pi}{4})cos(\frac{25\pi }{4})}=\frac{25}{-sin(6\pi +\frac{\pi}{4})cos(6\pi+\frac{\pi }{4})}=\frac{25}{-sin\frac{\pi}{4}cos\frac{\pi }{4}}=\frac{-25}{\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}}=$

$=\frac{-25}{\frac{1}{2}}=-50.$

Ответ: $-50.$

$\large\frac{60}{sin(\frac{32\pi}{3})cos(\frac{25\pi}{6})}=\frac{60}{sin(\frac{33\pi}{3}-\frac{\pi}{3})cos(\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6})}=\frac{60}{sin\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{6}}=\frac{60}{\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=80.$

Ответ: $80.$

$\large\frac{33cos63^{\circ}}{sin27^{\circ}}=\frac{33cos63^{\circ}}{sin(90^{\circ}-63^{\circ})}=\frac{33cos63^{\circ}}{sin63^{\circ}}=33.$

Ответ: $33.$

$\large\frac{-8sin422^{\circ}}{sin62^{\circ}}=\frac{-8sin(360^{\circ}+62^{\circ})}{sin62^{\circ}}=\frac{-8sin62^{\circ}}{sin62^{\circ}}=-8.$

Ответ: $-8.$

$\large\frac{-22tg148^{\circ}}{tg32^{\circ}}=\frac{-22tg(180^{\circ}-32^{\circ})}{tg32^{\circ}}=\frac{22tg32^{\circ}}{tg32^{\circ}}=22.$

Ответ: $22.$

$59tg56^{\circ}\cdot tg34^{\circ}=59tg56^{\circ}\cdot tg(90^{\circ}-56^{\circ})=59tg56^{\circ}\cdot ctg56^{\circ}=59\cdot 1=59.$

При решении использовали формулу

$\color{red}tg\alpha\cdot ctg\alpha=1$

Ответ: $59.$

К числителю применяем формулу двойного угла для синуса:

$\color{red}2sin\alpha cos\alpha=sin2\alpha$

$\large\frac{50sin19^{\circ}\cdot cos19^{\circ}}{sin38^{\circ}}=\frac{25\cdot (2sin19^{\circ}\cdot cos19^{\circ})}{sin38^{\circ}}=\frac{25sin38^{\circ}}{sin38^{\circ}}=25.$

Ответ: $25.$

К числителю применяем формулу двойного угла для синуса:

$\color{red}2sin\alpha cos\alpha=sin2\alpha$

Получаем:

$\large\frac{258sin179^{\circ}\cdot cos179^{\circ}}{sin358^{\circ}}=\frac{129\cdot 2\cdot sin179^{\circ}\cdot cos179^{\circ}}{sin358^{\circ}}=\frac{129sin358^{\circ}}{sin358^{\circ}}=129.$

Ответ: $129.$

Применяем формулы приведения ко второму слагаемому знаменателя:

$\large\frac{-44}{cos^223^{\circ}+cos^2113^{\circ}}= \frac{-44}{cos^223^{\circ}+cos^2(90^{\circ}+23^{\circ})}= \frac{-44}{cos^223^{\circ}+sin^223^{\circ}}$.

Далее замечаем в знаменателе основное тригонометрическое тождество:

$\color{red}cos^2\alpha+sin^2\alpha=1.$

Тогда

$\large\frac{-44}{cos^223^{\circ}+sin^223^{\circ}}=-44.$

Ответ: $-44.$

К числителю применяем формулу двойного угла для косинуса:

$\color{red}cos2\alpha=cos^2\alpha -sin^2\alpha$

Получаем:

$\large\frac{7(sin^274^{\circ}-cos^274^{\circ})}{cos148^{\circ}}=\frac{-7(cos^274^{\circ}-sin^274^{\circ})}{cos148^{\circ}}=\frac{-7cos148^{\circ}}{cos148^{\circ}}=-7.$

Ответ: $-7$. 

$\large sin\frac{23\pi}{12}\cdot cos\frac{23\pi}{12}=\frac{1}{2}\cdot (2sin\frac{23\pi}{12}\cdot cos\frac{23\pi}{12})=\frac{1}{2}\cdot sin\frac{23\pi}{6}=$

$\large=0,5\cdot sin(4\pi-\frac{\pi}{6})=0,5\cdot (-sin\frac{\pi}{6})=-0,5\cdot \frac{1}{2}=-0,25.$

Ответ: $-0,25$. 

Применяем формулу двойного угла для косинуса:

$\color{red}cos2\alpha=cos^2\alpha -sin^2\alpha$

Получаем:

$\large\sqrt3cos^2\frac{5\pi}{12}-\sqrt3sin^2\frac{5\pi}{12}=\sqrt3(cos^2\frac{5\pi}{12}-sin^2\frac{5\pi}{12})=\sqrt3cos\frac{2\cdot 5\pi}{12}=$

$\large=\sqrt3cos\frac{5\pi}{6}=\sqrt3\cdot (-\frac{\sqrt3}{2})=-1,5.$

Ответ: $-1,5.$

Используем следующую формулу:

$\color{red}cos2\alpha=2cos^2\alpha-1$

Тогда

$\large\sqrt{300}cos^2\frac{23\pi}{12}-\sqrt{75}=\sqrt{75\cdot 4}cos^2\frac{23\pi}{12}-\sqrt{75}=\sqrt{75}(2cos^2\frac{23\pi}{12}-1)=$

$\large=\sqrt{75}cos\frac{2\cdot 23\pi}{12}=\sqrt{75}cos\frac{23\pi}{6}.$

Далее, так как

$\large\frac{23\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=4\pi-\frac{\pi}{6}$,

то, применяя формулы приведения, получаем:

$\large\sqrt{75}cos\frac{23\pi}{6}=\sqrt{75}cos\frac{\pi}{6}=\sqrt{75}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{225}}{2}=\frac{15}{2}=7,5.$

Ответ: $7,5.$

Воспользуемся формулой

$\color{red}cos2\alpha=1-2sin^2\alpha$

Тогда

$\large\sqrt{32}-\sqrt{128}sin^2\frac{7\pi}{8}=\sqrt{32}-\sqrt{4\cdot 32}sin^2\frac{7\pi}{8}=\sqrt{32}(1-2sin^2\frac{7\pi}{8})=$

$\large=\sqrt{32}cos\frac{2\cdot 7\pi}{8}=\sqrt{32}cos\frac{7\pi}{4}=\sqrt{32}\frac{\sqrt2}{2}=4.$

Ответ: $4.$

Воспользуемся следующей формулой двойного угла для косинуса:

$\color{red}cos2\alpha=2cos^2\alpha-1$

$-44cos2\alpha=-44(2cos^2\alpha-1)=-44(2\cdot (-0,5)^2-1)=22.$

Ответ: $22.$

$sin^2\alpha +cos^2\alpha=1;$

$cos^2\alpha=1-sin^2\alpha;$

$cos^2\alpha=1-(\frac{\sqrt7}{4})^2;$

$cos^2\alpha=1-\frac{7}{16};$

$cos^2\alpha=\frac{9}{16};$

$cos\alpha=\pm \frac{3}{4}.$

Так как $\alpha \in (\frac{\pi}{2};\pi),$ где $cos\alpha<0,$ то

$cos\alpha=- \frac{3}{4}=-0,75.$

Ответ: $-0,75.$

Будем искать $4cos\alpha,$ так как

$-4sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=4cos\alpha.$

Итак,

$sin^2\alpha +cos^2\alpha=1;$

$cos^2\alpha=1-sin^2\alpha;$

$cos^2\alpha=1-(0,96)^2;$

$cos^2\alpha=1-(\frac{24}{25})^2;$

$cos^2\alpha=\frac{25^2-24^2}{25^2};$

$cos^2\alpha=\frac{49}{25^2};$

$cos\alpha=\pm\frac{7}{25};$

Так как $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2}),$ где $cos\alpha>0,$ то

$cos\alpha= \frac{7}{25};$

$4cos\alpha= \frac{28}{25}=1,12;$.

Ответ: $1,12.$

Согласно формулам приведения

$tg(\alpha-\frac{\pi}{2})=-ctg\alpha.$

Поскольку $tg\alpha\cdot ctg\alpha=1$ и по условию $tg\alpha=2,5$ то

$-ctg\alpha=-\frac{1}{2,5}=-\frac{2}{5}=-0,4.$

Ответ: $-0,4.$

Так как $tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha},$ то следует найти $cos\alpha.$

$sin^2\alpha +cos^2\alpha=1;$

$cos^2\alpha=1-sin^2\alpha;$

$cos^2\alpha=1-(\frac{8}{\sqrt{89}})^2;$

$cos^2\alpha=1-\frac{64}{89};$

$cos^2\alpha=\frac{25}{89};$

$cos\alpha=\pm \frac{5}{\sqrt{89}}.$

Так как $\alpha \in (\pi;\frac{3\pi}{2}),$ где $cos\alpha<0,$ то $cos\alpha=-\frac{5}{\sqrt{89}}.$

Наконец,

$\large tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{-\frac{8}{\sqrt{89}}}{-\frac{5}{\sqrt{89}}}=\frac{8}{5}=1,6.$

Ответ: $1,6.$

Так как $\color{red}cos2\alpha=1-2sin^2\alpha$, то

$7cos2\alpha=7(1-2sin^2\alpha)=7(1-2\cdot(-0,2)^2)=6,44.$

Ответ: $6,44.$ 

Так как $\color{red}sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$, то

$\large\frac{3sin6\alpha}{5cos3\alpha}=\frac{3(2sin3\alpha\cdot cos3\alpha)}{5cos3\alpha}=\frac{6sin3\alpha}{5}$.

Поскольку $sin3\alpha=0,8$, то

$\frac{6sin3\alpha}{5}=\frac{6}{5}\cdot 0,8=0,96.$

Ответ: $0,96.$ 

Будем применять формулы приведения:

$5tg(5\pi-\alpha)-tg(-\alpha)=-5tg\alpha+tg\alpha=-4tg\alpha$.

По условию $tg\alpha=7$, значит $-4tg\alpha=-4\cdot 7=-28.$

Ответ: -28. 

9Из основного тригонометрического тождества следует:

$\color{red}tg^2\alpha+1=\frac{1}{cos^2\alpha}$

Откуда

$tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}-1;$

Произведем преобразования в равенстве из условия:

$3sin^2\alpha+9cos^2\alpha=8;$

$3-3cos^2\alpha+9cos^2\alpha=8;$

$3+6cos^2\alpha=8;$

$6cos^2\alpha=5;$

$cos^2\alpha=\frac{5}{6}.$

Тогда

 $tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}-1=\frac{1}{\frac{5}{6}}-1=\frac{6}{5}-1=1,2-1=0,2.$

Ответ: $0,2.$ 

$\large\frac{7cos\alpha-6sin\alpha}{3sin\alpha+2cos\alpha}=\frac{cos\alpha(7\frac{cos\alpha}{cos\alpha}-6\frac{sin\alpha}{cos\alpha})}{cos\alpha(3\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{cos\alpha})}=\frac{7-6tg\alpha}{3tg\alpha+2}.$

При условии $tg\alpha=3$ имеем:

$\large\frac{7-6tg\alpha}{3tg\alpha+2}=\frac{7-6\cdot 3}{3\cdot 3+2}=\frac{-11}{11}=-1.$

Ответ: $-1.$ 

$\large\frac{3cos\alpha-15sin\alpha+16}{5sin\alpha-cos\alpha+4}=\frac{cos\alpha(3-15tg\alpha+\frac{16}{cos\alpha})}{cos\alpha(5tg\alpha-1+\frac{4}{cos\alpha})}=\frac{cos\alpha(3-3+\frac{16}{cos\alpha})}{cos\alpha(1-1+\frac{4}{cos\alpha})}=\frac{cos\alpha(\frac{16}{cos\alpha})}{cos\alpha(\frac{4}{cos\alpha})}=\frac{16}{4}=4.$

Ответ: $4.$ 

$\frac{2sin\alpha+5cos\alpha-2}{4sin\alpha+5cos\alpha-8}=\frac{1}{4}\;\Leftrightarrow$   $\Leftrightarrow8sin\alpha+20cos\alpha-8=4sin\alpha+5cos\alpha-8;$

$4sin\alpha=-15cos\alpha;$

Разделим обе части на $4cos\alpha$:

$tg\alpha=-\frac{15}{4};$

$tg\alpha=-3,75.$

Ответ: $-3,75.$