Диагностическая работа (декабрь 2013). Задание С3

Рассмотрим С3 из Д/Р (без производной) от 12 декабря 2013 года.

Здесь можно посмотреть С3 из диагностической работы без логарифмов.

Решите систему неравенств:

$\begin{cases}9^x-5\cdot 3^x+4\geq 0,\;(1)\\log_{\frac{3x^2+4x+1}{4x+1}}|\frac{x}{2}|\leq 0;\;(2)&\end{cases}$

Решаем неравенство (1):

$9^x-5\cdot 3^x+4\geq 0;$

Неравенство – квадратное относительно $3^x.$ Находим дискриминант, раскладываем на множители:

$(3^x-1)(3^x-4)\geq 0;$

$3^x\leq 1$ или $3^x\geq 4;$

$3^x\leq 3^0$ или $3^x\geq 3^{\log_34};$

$x\leq 0$ или $x\geq log_34$

Итак, решение неравенства (1): $(-\infty;0]\cup [log_34;+\infty).$

Решаем неравенство (2):

$log_{\frac{3x^2+4x+1}{4x+1}}|\frac{x}{2}|\leq 0;$

 $log_{\frac{3x^2+4x+1}{4x+1}}|\frac{x}{2}|\leq log_{\frac{3x^2+4x+1}{4x+1}}1;$

Далее применяем метод рационализации (на ОДЗ):

$\begin{cases}(\frac{3x^2+4x+1}{4x+1}-1)(|\frac{x}{2}|-1)\leq 0,\\\frac{3x^2+4x+1}{4x+1}>0,\\\frac{3x^2+4x+1}{4x+1}\neq 1,\\|\frac{x}{2}|>0;\end{cases}$

Множитель $|\frac{x}{2}|-1$ согласно, опять же, методу рационализации, заменяем на $(\frac{x}{2}-1)(\frac{x}{2}+1)$:

$\begin{cases}(\frac{(3x^2+4x+1-4x-1)(\frac{x}{2}-1)(\frac{x}{2}+1)}{4x+1})\leq 0,\\3(x+1)(x+\frac{1}{3})(4x+1)>0,\\3x^2+4x+1\neq 4x+1,\\x\neq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{x^2(x-2)(x+2)}{4x+1}\leq 0,\\(x+1)(x+\frac{1}{3})(4x+1)>0,\\x\neq 0;\end{cases}$

Итак, решение (2) неравнства: $(-\frac{1}{4};0)\cup (0;2].$

Пересекаем решения неравенств (1) и (2):

Ответ: $(-\frac{1}{4};0)\cup [log_34;2].$

Возможно, вам будет интересно аналогичное задание С3 смежного варианта:

+ показать