Дополнительный вступительный экзамен в МГУ, июль 2015

Елена Репина 2016-07-08 2016-09-06

Разбор заданий вступительного экзамена в МГУ в 2015 году.

Варианты заданий с ответами здесь.

1. Найдите $f(2),$ если $f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{x}+\frac{1}{10}.$

Решение: + показать

2. Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^2-7x+5=0.$

Решение: + показать

3. Решите неравенство $cosx+\sqrt2cos2x-sinx\geq 0.$

Решение: + показать

4. Решите уравнение $log_x|2x^2-3|=4log_{|2x^2-3|}x.$

Решение: + показать

5. Окружность радиуса $\frac{3}{2}$ касается середины стороны $BC$ треугольника $ABC$ и пересекает сторону $AB$ в точках $D$ и $E$ , так что $AD:DE:EB=1:2:1.$ Чему может равняться $AC,$ если $\angle BAC=30^{\circ}$ ?

Решение: + показать

6. Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта А он встретит Василия, если пункт В отстоит от пункта А на $4$ км, а Василий доберется ло пункта А тогда же, когда Григорий до пункта В? Скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода считать постоянными.

Решение: + показать

7. В правильную треугольную призму с основаниями $ABC,A_1B_1C_1$ и ребрами $AA_1,BB_1,CC_1$ вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми $AE$ и $BD$ равно $\sqrt{13},$ где $E$ и $D$ – точки, лежащие на $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно, и $A_1E:EB_1=B_1D:DC_1=1:2.$

Решение: + показать

8. Найдите все пары $(\alpha;\beta)$ , при которых достигается минимум выражения

$\frac{4-3sin\alpha }{2+cos2\alpha }+\frac{2+cos2\alpha}{\beta ^2+\beta+1}+\frac{\beta ^2+\beta+1}{\sqrt{\beta} +1}+\frac{\sqrt{\beta} +1}{4-3sin\alpha}.$