ЕГЭ N13

(ЕГЭ 2024) a)  Решите уравнение $2cos^2x+sin^2x=2cos^3x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi].$

Решение:

a)

$2cos^2x+sin^2x=2cos^3x;$

$cos^2x+(cos^2x+sin^2x)=2cos^3x;$

$cos^2x+1=2cos^3x;$

$2cos^3x-cos^2x-1=0;$

$cos^3x-1+cos^3x-cos^2x=0;$

$(cosx-1)(cos^2x+cosx+1)+cos^2x(cosx-1)=0;$

$(cosx-1)(cos^2x+cosx+1+cos^2x)=0;$

$(cosx-1)(2cos^2x+cosx+1)=0;$

$cosx=1$ или $2cos^2x+cosx+1=0$ (решений нет);

$cosx=1;$

$x=2\pi n,n\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$ при помощи тригонометрического круга:

Ответ: а) $2\pi n,n\in Z;$ б) $-2\pi.$