Формула длины биссектрисы через длины сторон треугольника

2016-07-10

Докажем следующую теорему.

Пусть a,b,c – стороны треугольника, l_a – биссектриса треугольника проведенная к стороне a.

Тогда

l_a=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}.

Доказательство:

Пусть AL=l_a – биссектриса треугольника ABC.

Пусть BL=c_1,CL=b_1. Пусть \angle A=2\alpha.

Распишем теорему Косинусов для треугольников ABL,ACL:

c_1^2=c^2+l_a^2-2cl_acos\alpha;

b_1^2=b^2+l_a^2-2bl_acos\alpha;

Откуда

\frac{c^2+l_a^2-c_1^2}{2cl_a}=\frac{b^2+l_2^2-b_1^2}{2bl_a}       (1)

По свойству биссектрисы треугольника

\frac{c}{c_1}=\frac{b}{b_1}.

Или

\frac{c}{c_1}=\frac{b}{a-c_1}.

Откуда

c_1=\frac{ac}{b+c}             (2)

Тогда

b_1=a-\frac{ac}{b+c}=\frac{ab}{b+c}          (3)

Подставляем (2) и (3) в (1):

\frac{c^2+l_a^2-(\frac{ac}{b+c})^2}{2cl_a}=\frac{b^2+l_a^2-(\frac{ab}{b+c})^2}{2bl_a};

 b(c^2+l_a^2-(\frac{ac}{b+c})^2)=c(b^2+l_a^2-(\frac{ab}{b+c})^2);

l_a^2(b-c)=cb^2+b(\frac{ac}{b+c})^2-bc^2-c(\frac{ab}{b+c})^2);

l_a^2(b-c)=\frac{cb^2(b+c)^2+a^2bc^2-bc^2(b+c)^2-a^2b^2c}{(b+c)^2};

l_a^2=\frac{bc(b+c)^2(b-c)-a^2bc(b-c)}{(b-c)(b+c)^2};

l_a^2=\frac{bc(b-c)((b+c)^2-a^2)}{(b-c)(b+c)^2};

l_a^2=\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2};

l_a=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}.

Что и требовалось доказать.

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Елена

    Елена, спасибо огромное за данный материал! В нашем регионе (Рязань) на районных олимпиадах дают задания на доказательство некоторых утверждений, которые используются в С4 ЕГЭ. Это одна из таких задач. Будем работать с учениками. С уважением, Елена.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;)

      [ Ответить ]
  2. Мария

    Спасибо. Хорошее доказательство, и главное всё понятно. Толь во второй строчке исправьте цифру 2 на а

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, спасибо.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif