Формула длины биссектрисы через длины сторон треугольника

2023-07-02

Докажем следующую теорему.

Пусть $a,b,c$ – стороны треугольника, $l_a$ – биссектриса треугольника проведенная к стороне $a$.

Тогда

$l_a=\large\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}.$

Доказательство:

Пусть $AL=l_a$ – биссектриса треугольника $ABC.$

Пусть $BL=c_1,CL=b_1.$ Пусть $\angle A=2\alpha.$

jk

Распишем теорему Косинусов для треугольников $ABL,ACL:$

$c_1^2=c^2+l_a^2-2cl_acos\alpha;$

$b_1^2=b^2+l_a^2-2bl_acos\alpha;$

Откуда

$\large\frac{c^2+l_a^2-c_1^2}{2cl_a}=\frac{b^2+l_2^2-b_1^2}{2bl_a}$       (1)

По свойству биссектрисы треугольника

$\large\frac{c}{c_1}=\frac{b}{b_1}.$

Или

$\large\frac{c}{c_1}=\frac{b}{a-c_1}.$

Откуда

$\large c_1=\frac{ac}{b+c}$             (2)

Тогда

$b_1=\large a-\frac{ac}{b+c}=\frac{ab}{b+c}$          (3)

Подставляем (2) и (3) в (1):

$\large\frac{c^2+l_a^2-(\frac{ac}{b+c})^2}{2cl_a}=\frac{b^2+l_a^2-(\frac{ab}{b+c})^2}{2bl_a};$

 $b(c^2+l_a^2-(\frac{ac}{b+c})^2)=c(b^2+l_a^2-(\frac{ab}{b+c})^2);$

$l_a^2(b-c)=cb^2+b(\frac{ac}{b+c})^2-bc^2-c(\frac{ab}{b+c})^2);$

$l_a^2(b-c)=\frac{cb^2(b+c)^2+a^2bc^2-bc^2(b+c)^2-a^2b^2c}{(b+c)^2};$

$l_a^2=\large\frac{bc(b+c)^2(b-c)-a^2bc(b-c)}{(b-c)(b+c)^2};$

$l_a^2=\large\frac{bc(b-c)((b+c)^2-a^2)}{(b-c)(b+c)^2};$

$l_a^2=\large\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2};$

$l_a=\large\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}.$

Что и требовалось доказать.

Печать страницы
комментариев 5
  1. Елена

    Елена, спасибо огромное за данный материал! В нашем регионе (Рязань) на районных олимпиадах дают задания на доказательство некоторых утверждений, которые используются в С4 ЕГЭ. Это одна из таких задач. Будем работать с учениками. С уважением, Елена.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;)

      [ Ответить ]
  2. Мария

    Спасибо. Хорошее доказательство, и главное всё понятно. Толь во второй строчке исправьте цифру 2 на а

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, спасибо.

      [ Ответить ]
  3. ака

    как можно так резко без объяснения переходить к следующему выражению

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




19 − пятнадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif