Формула длины биссектрисы через длины сторон треугольника

Докажем следующую теорему.

Пусть $a,b,c$ – стороны треугольника, $l_a$ – биссектриса треугольника проведенная к стороне $a$.

Тогда

$l_a=\large\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}.$

Доказательство:

Пусть $AL=l_a$ – биссектриса треугольника $ABC.$

Пусть $BL=c_1,CL=b_1.$ Пусть $\angle A=2\alpha.$

Распишем теорему Косинусов для треугольников $ABL,ACL:$

$c_1^2=c^2+l_a^2-2cl_acos\alpha;$

$b_1^2=b^2+l_a^2-2bl_acos\alpha;$

Откуда

$\large\frac{c^2+l_a^2-c_1^2}{2cl_a}=\frac{b^2+l_2^2-b_1^2}{2bl_a}$       (1)

По свойству биссектрисы треугольника

$\large\frac{c}{c_1}=\frac{b}{b_1}.$

Или

$\large\frac{c}{c_1}=\frac{b}{a-c_1}.$

Откуда

$\large c_1=\frac{ac}{b+c}$             (2)

Тогда

$b_1=\large a-\frac{ac}{b+c}=\frac{ab}{b+c}$          (3)

Подставляем (2) и (3) в (1):

$\large\frac{c^2+l_a^2-(\frac{ac}{b+c})^2}{2cl_a}=\frac{b^2+l_a^2-(\frac{ab}{b+c})^2}{2bl_a};$

 $b(c^2+l_a^2-(\frac{ac}{b+c})^2)=c(b^2+l_a^2-(\frac{ab}{b+c})^2);$

$l_a^2(b-c)=cb^2+b(\frac{ac}{b+c})^2-bc^2-c(\frac{ab}{b+c})^2);$

$l_a^2(b-c)=\frac{cb^2(b+c)^2+a^2bc^2-bc^2(b+c)^2-a^2b^2c}{(b+c)^2};$

$l_a^2=\large\frac{bc(b+c)^2(b-c)-a^2bc(b-c)}{(b-c)(b+c)^2};$

$l_a^2=\large\frac{bc(b-c)((b+c)^2-a^2)}{(b-c)(b+c)^2};$

$l_a^2=\large\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2};$

$l_a=\large\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}.$

Что и требовалось доказать.