Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. Часть 2

1. Решим уравнение $sin\:x=\frac{1}{2}$.

Находим на оси синусов на тригонометрическом круге $\frac{1}{2}$:

Проводя горизонталь через точку $\frac{1}{2}$ оси синусов, выходим на точки круга $\frac{\pi}{6}$   и $\frac{5\pi}{6}$:

Как мы знаем, за каждой из полученных точек скрывается бесконечно много других точек. Например, точка $\frac{\pi}{6}+2\pi$ на тригонометрическом круге располагается  там же, где и $\frac{\pi}{6}$, значит значение синуса в этой точке также равно $\frac{1}{2}$.

На оси подходящие нам точки располагаются  так:

Графическое решение уравнения $sin\:x=\frac{1}{2}$:

Мы уже знаем, что все подходящие точки взять в ответ нам позволяет счетчик. То есть мы вводим целое число $n$

($n=…,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;…$).

И записываем ответ так:

$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z$

Эти две серии решений можно записать и в одну строку:

$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\;n\in Z$

Поперебирайте различные значения $n$, и вы убедитесь, что все нужные нам точки укладываются в эту формулу.

И все же,

…

$n=-1:$   $x=-\frac{\pi}{6}-\pi$, то есть $x=-\frac{7\pi}{6};$

$n=0:$   $x=\frac{\pi}{6};$

$n=1:$   $x=-\frac{\pi}{6}+\pi$, то есть $x=\frac{5\pi}{6};$

$n=2:$   $x=\frac{\pi}{6}+2\pi$, то есть $x=\frac{13\pi}{6};$

и т.д.

Убедились?

2.  $sin\:x=-\frac{\sqrt2}{2}$,

$x=(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{4})+\pi n,n\in Z,$

 то есть $x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.$

3. Если нам встречается уравнение с нетабличным значением синуса, вроде этого $sin\:x=-\frac{1}{5}$, то ответ будет выглядеть так:

$x=(-1)^narcsin(-\frac{1}{5})+\pi n,\;n\in Z,$

то есть $x=(-1)^{n+1}arcsin\frac{1}{5}+\pi n,\;n\in Z$

(согласно свойству функции арксинус).

Частные случаи решения уравнения $\color{red}sin\:x=a$

1) $sin\:x=0$

Ответ прекрасно ложится в одну строку без всяких там $(-1)^n$ за счет полукругового счетчика $\pi n$.

Имеем: $x=\pi n,\;n\in Z.$

2) $sin \:x=1$

У нас всего одна серия точек: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$

3) $sin \:x=-1$

Аналогично примеру 2 имеем: $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$