Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. Часть 2

2013-10-23

Мы уже говорили о том, что все тригонометрические уравнения сводятся к решению четырех основных типов простейших уравнений.

В части 1 статьи мы научились решать уравнения вида cos\:x=a.

Сейчас займемся решением уравнений вида sin\:x=a.

В 3-й части статьи смотрите решение уравнений вида tg\:x=a,\;ctg\:x=a.

Уравнение вида \LARGE sin\:x=a

 

Решим уравнение sin\:x=\frac{1}{2}.

Находим на оси синусов на тригонометрическом круге \frac{1}{2}:

Проводя горизонталь через точку \frac{1}{2} оси синусов, выходим на точки круга \frac{\pi}{6}   и \frac{5\pi}{6}:

Как мы знаем, за каждой из полученных точек скрывается бесконечно много других точек. Например, точка \frac{\pi}{6}+2\pi на тригонометрическом круге располагается  там же, где и \frac{\pi}{6}, значит значение синуса в этой точке также равно \frac{1}{2}.

На оси подходящие нам точки располагаются  так:

Графическое решение уравнения sin\:x=\frac{1}{2}:

Мы уже знаем, что все подходящие точки взять в ответ нам позволяет счетчик. То есть мы вводим целое число n

(n=...,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;...).

И записываем ответ так:

x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z или x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z

Эти две серии решений можно записать и в одну строку:

x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\;n\in Z

Поперебирайте различные значения n, и вы убедитесь, что все нужные нам точки укладываются в эту формулу.

И все же,

n=-1:   x=-\frac{\pi}{6}-\pi, то есть x=-\frac{7\pi}{6};

n=0:   x=\frac{\pi}{6};

n=1:   x=-\frac{\pi}{6}+\pi, то есть x=\frac{5\pi}{6};

n=2:   x=\frac{\pi}{6}+2\pi, то есть x=\frac{13\pi}{6};

и т.д.

Убедились?

Если бы мы решали, например,  уравнение sin\:x=-\frac{\sqrt2}{2},

то решением бы было

x_1=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\;x_2=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\;n\in Z

или, что тоже самое,

x=(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{4})+\pi n,n\in Z,

 то есть x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.

Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.

 

Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

sin\:x=a, где a – из [-1;\:1]

(в противном случае, когда a – не из [-1;\;1] – решений нет)

Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арксинус».

 

x=(-1)^n arcsin\:a +\pi n, \;n\in Z

или, что тоже самое

 x_1= arcsin\:a +2\pi n, \;x_2=\pi-arcsin\:a+2\pi n,\;n\in Z

 

Если нам встречается уравнение с нетабличным значением синуса, вроде этого sin\:x=-\frac{1}{5}, то ответ будет выглядеть так:

x=(-1)^narcsin(-\frac{1}{5})+\pi n,\;n\in Z,

то есть x=(-1)^{n+1}arcsin\frac{1}{5}+\pi n,\;n\in Z

(согласно свойству функции арксинус).

Частные случаи решения уравнения sin\:x=a

1) sin\:x=0

Ответ прекрасно ложится в одну строку без всяких там (-1)^n за счет полукругового счетчика \pi n.

Имеем: x=\pi n,\;n\in Z.

2) sin \:x=1

У нас всего одна серия точек: x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

3) sin \:x=-1

Аналогично примеру 2 имеем: x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif