Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. Часть 3

2014-02-09

Мы уже говорили о том, что все тригонометрические уравнения сводятся к решению четырех основных типов простейших уравнений.

В части 1 статьи  и в части 2 статьи мы научились решать уравнения вида cos\:x=a и sin\:x=a.

Сейчас займемся решением уравнений вида tg\:x=a и ctg\:x=a.

 

Уравнение вида \LARGE tg\:x=a

 

Решим уравнение tg\:x=1.

На оси тангенсов находим 1, соединяем эту точку с точкой «начало координат»:

«Выходим» на круг:

Получаем две серии точек:

x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z и x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\;n\in Z,

которые, конечно, можно объединить в одну строку:

x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.

Приведем, для наглядности, и такое графическое решение данного уравнения:

Если  мы решаем уравнение tg\:x=-\frac{\sqrt3}{3},  то

решение  x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\;n\in Z.

Наверняка, принцип уже ясен.

Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

tg\:x=a

(Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арктангенс»)

x= arctg\:a +\pi n, \;n\in Z

Если мы имеем дело не с табличным значением, например, решаем уравнение tg\:x=2, то решение его – x=arctg\:2+\pi n,\;n\in Z.

Уравнение вида \LARGE ctg\:x=a

 

Решим уравнение ctg\:x=\sqrt3.

На оси котангенсов находим \sqrt3, соединяем эту точку с точкой «начало координат»:

На круге образовались две серии точек, которые мы можем записать в одну строку: x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\;n\in Z.

Для наглядности прилагаю и такое графическое решение данного уравнения:

Если  мы решаем, например, уравнение ctg \:x=-1, то решение следующее:

x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z.

Вот формула, которой можно руководствоваться, решая уравнения

tg\:x=a

(Но формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккотангенс»)

x= arcctg\:a +\pi n, \;n\in Z

При решении уравнения, например, ctg\:x=10 с нетабличным значение котангенса, ответ будет  выглядеть так:

x=arcctg\:10+\pi n,\;n\in Z.

 

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Сергей

    Могли бы вы подсказать, а играет роль, какой из членов неоднородного уравнения преобразовывать?
    Например, 2ctgX-3tgX+5=0
    Если ctgx = 1/tgX, то будет один ответ.
    Если tgx = 1/ctgX, то другой.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Разницы нет. Ответ при правильном решении будет один и тот же по сути, но разный по виду.
      Например, в примере 2ctgx-3tgx+5=0 решение можно записать как
      1) arcctg(-3)+\pi n, arcctg 0,5+\pi k,k\in Z
      или
      2) arctg(-\frac{1}{3})+\pi n, arctg2+\pi k,k\in Z.

      [ Ответить ]
      • Сергей

        Спасибо огромное за объяснение. Попробовал оба варианта. А ответы в учебниках дают только единственным вариантом. Вот и сбивает с толку :)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Есть такое… А еще желательно понимать, что arcctg(-3)=\pi -arcctg3, а arctg(-\frac{1}{3})=-arctg(\frac{1}{3})

          [ Ответить ]
          • Сергей

            ой. Это как-то связано с тем, что одно число больше единицы, а другое меньше?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            нет, совсем нет. Рисуйте на тригонометрическом круге (через ось котангенсов), например, arcctg(-3), затем \pi-arcctg3… Увидите, что это одно и тоже.

            [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif