Мы уже говорили о том, что все тригонометрические уравнения сводятся к решению четырех основных типов простейших уравнений.
В части 1 статьи и в части 2 статьи мы уже научились решать уравнения вида $cos\:x=a$ и $sin\:x=a$.
Уравнение вида $tg\:x=a$
Решение уравнения
$\color{red}tg\:x=a$
есть
$\color{red}x= arctg\:a +\pi n, \;n\in Z$
(но формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арктангенс»)
Пример
$tg\:x=1$. + показать
На оси тангенсов находим 1, соединяем эту точку с точкой «начало координат»:
«Выходим» на круг:
Получаем две серии точек:
$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$ и $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\;n\in Z$,
которые, конечно, можно объединить в одну строку:
$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z.$
Приведем, для наглядности, и такое графическое решение данного уравнения:
Если мы решаем уравнение $tg\:x=-\frac{\sqrt3}{3},$ то
решение $x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\;n\in Z.$
Наверняка, принцип уже ясен.
Если мы имеем дело не с табличным значением, например, решаем уравнение $tg\:x=2$, то решение его – $x=arctg\:2+\pi n,\;n\in Z.$
Уравнение вида $ctg\:x=a$
Решение уравнения
$\color{red}tg\:x=a$
есть
$\color{red}x= arcctg\:a +\pi n, \;n\in Z$
(Но формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккотангенс»)
Пример
$ctg\:x=\sqrt3$. + показать
На оси котангенсов находим $\sqrt3$, соединяем эту точку с точкой «начало координат»:
На круге образовались две серии точек, которые мы можем записать в одну строку: $x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\;n\in Z.$
Для наглядности прилагаю и такое графическое решение данного уравнения:
Если мы решаем, например, уравнение $ctg \:x=-1$, то решение следующее:
$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z.$
При решении уравнения с нетабличным значением котангенса, например, $ctg\:x=10$ ответ будет выглядеть так:
$x=arcctg\:10+\pi n,\;n\in Z.$
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Могли бы вы подсказать, а играет роль, какой из членов неоднородного уравнения преобразовывать?
Например, 2ctgX-3tgX+5=0
Если ctgx = 1/tgX, то будет один ответ.
Если tgx = 1/ctgX, то другой.
Разницы нет. Ответ при правильном решении будет один и тот же по сути, но разный по виду.
Например, [latexpage]в примере $2ctgx-3tgx+5=0$ решение можно записать как
1) $arcctg(-3)+\pi n$, $arcctg 0,5+\pi k,k\in Z$
или
2) $arctg(-\frac{1}{3})+\pi n$, $arctg2+\pi k,k\in Z$.
Спасибо огромное за объяснение. Попробовал оба варианта. А ответы в учебниках дают только единственным вариантом. Вот и сбивает с толку :)
Есть такое… А еще желательно понимать, что [latexpage]$arcctg(-3)=\pi -arcctg3$, а $arctg(-\frac{1}{3})=-arctg(\frac{1}{3})$…
ой. Это как-то связано с тем, что одно число больше единицы, а другое меньше?
нет, совсем нет. Рисуйте на тригонометрическом круге [latexpage] (через ось котангенсов), например, $arcctg(-3),$ затем $\pi-arcctg3$… Увидите, что это одно и тоже.