Главная › Справочные материалы › Геометрическая прогрессия

16 Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Геометрическая прогрессия

Елена Репина 2013-07-16 2021-06-28

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать

Определение

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) $b_1,\;b_2,\;b_3,\;...$ , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q$ (знаменатель прогрессии):

$b_1,\;b_1q,\;b_1q^2,\;b_1q^3,\;...$ , где $b_1\neq 0,\;q\neq 0$

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ( $q=2$ )

Геометрическая прогрессия

Знаменатель геометрической прогрессии

$q=\frac{b_{k+1}}{b_k}$ , $k\in N$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ для $n>1$

Последовательность $b_n$ является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: $b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$

Формула n-го члена геометрической прогрессии

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ , где $q\neq 1$

(если же $q=1$ , то $S_n=b_1$ )

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При $|q|<1$ , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число $S=\lim_{n\to \infty}S_n$ и $S=\frac{b_1}{1-q}$

Посмотри это видео

Примеры

Пример 1. Последовательность { $b_n$ } –геометрическая прогрессия.

Найдите $b_1$ , если $b_6=-\frac{1}{81}$ , $q=-\frac{1}{9}.$

Решение: + показать

Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии { $b_n$ }, в которой $b_8=172,\;b_{11}=2\frac{11}{16}.$

Решение: + показать

Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен $12$ , а одиннадцатый член равен $4.$

Решение: + показать

Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

$\sqrt3,\;3,\;3\sqrt3,\;...$

Решение: + показать

Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии { $b_n$ }, в которой $b_3=\frac{1}{2},\;b_5=2,\;q>0.$

Решение: + показать

Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,(4).$

Решение: + показать

Пример 7. Найдите $x$ , если известно, что числа $x-3,\;\sqrt{5x},\;x+16$ являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение: + показать

Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно $\frac{82}{81}.$

Решение: + показать

Пример 9. Между числами $3$ и $12$ вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия $(q>0).$

Решение: + показать

тест

Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»

Автор: egeMax | комментариев 5

Печать страницы

комментариев 5

zinaida

2015-02-10 в 20:16

интересно, спасибо

[ Ответить ]
Денис

2015-07-08 в 09:11

Здравствуйте! А разве в Примере№5 S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},
при подстановке и возведении в 5-ую степень знаменателя q, не должно быть 32?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-07-08 в 09:48
  
  Ваша правда. Исправлено. Спасибо.
  
  [ Ответить ]
WhatDoesItMeanToBeManly

2016-03-26 в 19:24

В 3 примере, если я все правильно понимаю, десятый член забыли возвести в квадрат.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-26 в 21:30
  
  Так и есть :)
  
  [ Ответить ]

Геометрическая прогрессия

Легенда о зернах на шахматной доске

Добавить комментарий Отменить ответ