Геометрическая прогрессия

2023-08-07

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать

Определение

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) $b_1,\;b_2,\;b_3,\;…$,   в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $\color{red}q$ (знаменатель прогрессии):

$\color{red}b_1,\;b_1q,\;b_1q^2,\;b_1q^3,\;…$,  где $b_1\neq 0,\;q\neq 0$

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ($q=2$)

геометрическая прогрессия, знаменатель геометрической погрессии

Геометрическая прогрессия

Знаменатель геометрической прогрессии

$\color{red}q=\frac{b_{k+1}}{b_k}$, $k\in N$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

$\color{red}b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ для $n>1$

Последовательность $b_n$ является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности,  для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: $b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$

Формула  n-го члена геометрической прогрессии

$\color{red}b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

$\color{red}S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, где $q\neq 1$

(если же $q=1$, то $S_n=b_1$)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 

При $|q|<1$,  геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число $S=\lim_{n\to \infty}S_n$ и $\color{red}S=\frac{b_1}{1-q}$


Посмотри это видео


Примеры

Пример 1. Последовательность {$b_n$} –геометрическая прогрессия.

Найдите $b_1$, если $b_6=-\frac{1}{81}$, $q=-\frac{1}{9}.$

Решение: + показать


Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии {$b_n$}, в которой $b_8=172,\;b_{11}=2\frac{11}{16}.$

Решение:  + показать


Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен $12$, а одиннадцатый член равен $4.$

Решение:  + показать


Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

$\sqrt3,\;3,\;3\sqrt3,\;…$

Решение:  + показать


Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {$b_n$}, в которой  $b_3=\frac{1}{2},\;b_5=2,\;q>0.$

Решение:  + показать


Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,(4).$

Решение:  + показать


Пример 7. Найдите $x$, если известно, что числа $x-3,\;\sqrt{5x},\;x+16$ являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение:  + показать


Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно $\frac{82}{81}.$

Решение:  + показать


Пример 9. Между числами $3$ и $12$ вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия $(q>0).$

Решение: + показать


тест

Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»

Печать страницы
комментариев 5
  1. zinaida

    интересно, спасибо

    [ Ответить ]
  2. Денис

    Здравствуйте! А разве в Примере№5 S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},
    при подстановке и возведении в 5-ую степень знаменателя q, не должно быть 32?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ваша правда. Исправлено. Спасибо.

      [ Ответить ]
  3. WhatDoesItMeanToBeManly

    В 3 примере, если я все правильно понимаю, десятый член забыли возвести в квадрат.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Так и есть :)

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




пять + четырнадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif