Геометрическая прогрессия

2016-03-26

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать

Геометрическая прогрессия 

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) b_1,\;b_2,\;b_3,\;...,   в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии):

b_1,\;b_1q,\;b_2q,\;b_3q,\;...,  где b_1\neq 0,\;q\neq 0

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая (q=2)

Геометрическая прогрессия

Знаменатель геометрической прогрессии

q=\frac{b_{k+1}}{b_k}, k\in N

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1} для n>1

Последовательность b_n является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности,  для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}

Формула  n-го члена геометрической прогрессии

b_n=b_1\cdot q^{n-1}

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, где q\neq 1

(если же q=1, то S_n=b_1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При |q|<1,  геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число S=\lim_{n\to \infty}S_n и S=\frac{b_1}{1-q}

Примеры

Пример 1.

Последовательность {b_n} –геометрическая прогрессия.

Найдите b_1, если b_6=-\frac{1}{81}, q=-\frac{1}{9}.

Решение: + показать

Приметр 2.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии {b_n}, в которой b_8=172,\;b_{11}=2\frac{11}{16}.

Решение:  + показать

Пример 3.

Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12, а одиннадцатый член равен 4.

Решение:  + показать

Пример 4. 

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

\sqrt3,\;3,\;3\sqrt3,\;...

Решение:  + показать

Пример 5. 

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {b_n}, в которой  b_3=\frac{1}{2},\;b_5=2,\;q>0.

Решение:  + показать

Пример 6.

Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,(4).

Решение:  + показать

Пример 7. 

Найдите x, если известно, что числа x-3,\;\sqrt{5x},\;x+16 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение:  + показать

Пример 8.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно \frac{82}{81}.

Решение:  + показать

Пример 9. 

Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия (q>0).

Решение: + показать

 

Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. zinaida

    интересно, спасибо

    [ Ответить ]
  2. Денис

    Здравствуйте! А разве в Примере№5 S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},
    при подстановке и возведении в 5-ую степень знаменателя q, не должно быть 32?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ваша правда. Исправлено. Спасибо.

      [ Ответить ]
  3. WhatDoesItMeanToBeManly

    В 3 примере, если я все правильно понимаю, десятый член забыли возвести в квадрат.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Так и есть :)

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif