Геометрическая прогрессия

Легенда о зернах на шахматной доске

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно  пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.

— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что  превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!

Согласно формуле

 $\color{red}b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

 имеем:

$b_6=b_1\cdot q^5;$

$-\frac{1}{81}=b_1\cdot (-\frac{1}{9})^5;$

Откуда

$b_1=-\frac{1}{81}: (-\frac{1}{9})^5=729.$

Ответ: $729.$ 

Помните, при работе с арифметической прогрессией, мы пользовались формулой, которая позволяла связать между собой не только $a_n$  и $a_1$, но и (шире) $a_n$ и $a_k$?

В геометрической прогрессии мы также воспользуемся аналогичной формулой:

$\color{red}b_n=b_k\cdot q^{n-k}$,  $n>k$

$b_{11}=b_8\cdot q^3;$

$2\frac{11}{16}=172\cdot q^3;$

$q^3=\frac{\frac{43}{16}}{172};$

$q^3=\frac{1}{64};$

$q=\frac{1}{4};$

Ответ: $0,25.$  

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии

$\color{red}b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

$b_{10}^2=b_9\cdot b_{11};$

$144=b_9\cdot 4;$

$b_9=36;$

Ответ: 36.  

Для того, чтобы воспользоваться формулой $\color{red}S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, нам следует найти знаменатель $q:$

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n};$

$q=3\sqrt3:3=\sqrt3;$

Тогда $S_6=\frac{\sqrt3((\sqrt3)^6-1))}{\sqrt3-1}=\frac{26\sqrt3(\sqrt3+1)}{3-1}=13\sqrt3(\sqrt3+1)=39+13\sqrt3;$

Ответ: $39+13\sqrt3.$  

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$b_5=b_3\cdot q^2;$

$2=\frac{1}{2}\cdot q^2;$

$q^2=4;$

$q=\pm 2.$

Так как по условию $q>0$, то  берем  только $q=2$.

Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии

$\color{red}S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$,

нам потребуется найти $b_1$:

Так как

$b_3=b_1\cdot q^2$,

то

$\frac{1}{2}=b_1\cdot 4$;

$b_1=\frac{1}{8}.$

Тогда

 $S_5=\frac{\frac{1}{8}(32-1)}{2-1}=\frac{31}{8}.$

Ответ: $\frac{31}{8}.$  

$0,(4)=0,4444….=0,4+0,04+0,004+0,0004+…$

Замечаем, что число $0,(4)$ составлено из суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пусть эта прогрессия {$b_n$},

$b_1=0,4;$

$q=\frac{1}{10},\;|q|<1;$

Тогда сумма бесконечно убывающей  прогрессии {$b_n$} (а значит, и само число $0,(4)$) есть

$\color{red}S=\frac{b_1}{1-q};$

$S=\frac{0,4}{1-0,1}=\frac{4}{9};$

$0,(4)=\frac{4}{9};$

Ответ: $\frac{4}{9}.$  

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии $\color{red}b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ имеем:

 $(\sqrt{5x})^2=(x-3)(x+16);$

$5x=x^2+13x-48,\;x>0;$

$x^2+8x-48=0,\;x>0;$

$x=4.$

При найденном $x$ имеем следующую геометрическую прогрессию: $1,\;\sqrt{20},\;20.$

Ответ: $4.$  

Пусть дана геометрическая прогрессия {$b_n$}.

Тогда, согласно условию,  $\frac{S_4}{S_2}=\frac{82}{81};$

$\frac{\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}}{\frac{b_1(q^2-1)}{q-1}}=\frac{82}{81};$

$\frac{q^4-1}{q^2-1}=\frac{82}{81};$

$q^2+1=\frac{82}{81};$

$q^2=\frac{1}{81};$

$q=\pm \frac{1}{9}.$

Ответ: $\pm \frac{1}{9}.$  

Когда мы вставим три числа (назовем их $b_2,\;b_3,\;b_4$), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов ($b_1=3,\;b_5=12$).

Так как

$b_5=b_1\cdot q^4,$

то

$12=3\cdot q^4;$

$q^4=4;$

$q=\pm \sqrt2.$

Так как по условию $q>0$, то $q=\sqrt2.$

Тогда имеем следующую геометрическую прогрессию:

$3,\;3\sqrt2,\;6,\6\sqrt2,\;12.$

Ответ: $3\sqrt2,\;6,\;6\sqrt2.$