Давайте учиться решать иррациональные неравенства. Будем решать методом равносильных переходов в иррациональных неравенствах. Хотя зачастую, возможно, будет легче решить отдельное неравенство обобщенным методом интервалов или методом рационализации.
Задание 1.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Какая информация заложена в самом неравенстве?
и
, верно? Ведь подкоренное выражение не может быть отрицательным (имеется ввиду корень четной кратности).
Мы сохраним эту информацию.
Неравенство равносильно системе:

Обратите внимание, – нет необходимости указывать и
! Ведь об этом уже сказано в системе.


Каждое неравенство системы решаем методом интервалов:

Итак,
.
Ответ:
Задание 2.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Обе части неравенства – неотрицательны. Возведем в квадрат обе части, перейдем к системе, равносильной исходному неравенству:



Из первых двух неравенств системы остается одно – первое (его решение является пересечение множеств решений указанных двух неравенств).


![Rendered by QuickLaTeX.com x\in(-\infty;-2]\cup [5;\frac{74}{13}).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd5558a903b6ba16710a1ef667a1bf4a_l3.svg)
Ответ:
Задание 3.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Мы не можем просто так взять и возвести обе части неравенства в квадрат.
Будем рассматривать два случая:
1) 
Тогда мы можем возвести обе части в квадрат и перейти к системе:

2) 
Тогда мы видим следующее:
Правая часть неравенства (всегда неотрицательная величина) больше отрицательной величины. Это верно.
То есть мы получаем верное неравенство на области его определения (
).
Значит, перед нами система:

Проще говоря, будем решать совокупность двух систем:



Первая система решений не имеет:
А решение второй системы графически выглядит так:

Поэтому
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in (-\infty;-3].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76a9e59424a44b7c02e48ec13976b449_l3.svg)
Ответ:
Задание 4.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Перепишем неравенство вот так:

Мы должны четко понимать, что нельзя обе части неравенства поделить на
! Мы же не знаем знак этой суммы.
Выход такой – вынесение за скобку общего множителя:

Тогда неравенство равносильно совокупности двух систем:

Второе неравенство первой системы
равносильно совокупности:



То есть решение данного неравенства – 
Второе неравенство второй системы указанной выше совокупности
равносильно системе:

Откуда

То есть система не имеет решений.
Возвращаемся в совокупность, которая равносильна исходному неравенству:

Откуда
.
Ответ:
.
Задание 5.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Как и в предыдущем задании выносим общий множитель за скобку:



или (после домножения на -1 обеих частей):

Перепишем неравенство так:

и применим метод рационализации:




{
}.
Ответ:
{
}.
Задание 6.
Решить неравенство:
.
Решение: + показать
Данное неравенство равносильно следующему:




Очевидно, что в ответ если из системы какой
и попадет, то это может быть только
.
Проверим, удовлетворяет ли
первому неравенству системы.
Ответ очевиден, – да.
Ответ:
Задание 7.
Решить неравенство: 
Решение: + показать





Графическое решение первой системы:

Графическое решение второй системы:

Объединяя решения, получаем:

Ответ:
Задания для самостоятельной работы
Решить неравенства:
1. 
Ответ: + показать
2. 
Ответ: + показать
3. 
Ответ: + показать
4. 
Ответ: + показать
5. 
Ответ: + показать
6. 
Ответ: + показать
7. 
Ответ: + показать
8. 
Ответ: + показать
Здравствуйте! в примере 6 появляется 4x^2, должно быть просто 4х..
Наталья, спасибо большое!
здравствуйте. В 5 примере после преобразования можно написать , что первый множитель >= нуля , а второй множитель ( дробный ) меньше нуля ??
Просто я рассуждала , что, когда произведение меньше или равно нулю , значит множители имеют разные знаки . Т.к корень всегда число неотрицательное ,следовательно второй множитель меньше нуля . Объясните , пожалуйста, где ошибка ))
Вы упускаете случай, когда первый множитель равен нулю, а второй при этом имеет любой знак.
Здравствуйте, а можно картинку получения ответа в 4 примере (вторая система в совокупности не имеет решений?_
Картинку? Ну… как бы правее 1 идет штриховка и левее 0 идет штриховка…