Иррациональные неравенства

2015-11-27

Давайте учиться решать иррациональные неравенства. Будем решать методом равносильных переходов в иррациональных неравенствах. Хотя зачастую, возможно, будет легче решить отдельное неравенство   обобщенным методом интервалов или методом рационализации.

Задание 1. 


Решить неравенство: \sqrt{x^2+5x}<\sqrt{1-x^2+4x}.

Решение:

Какая информация заложена в самом неравенстве?

+ показать

Мы сохраним эту информацию.

Неравенство равносильно системе:

\begin{cases} x^2+5x<1-x^2+4x,& & x^2+5x\geq 0; \end{cases}

Обратите внимание, – нет необходимости указывать и 1-x^2+4x\geq 0! Ведь об этом уже сказано в системе.

\begin{cases} 2x^2+x-1<0,& & x(x+5)\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} 2(x-0,5)(x+1)<0,& &x(x+5)\geq 0; \end{cases}

Каждое неравенство системы решаем методом интервалов:

Итак,

x\in [0;\;0,5).

Ответ: [0;\;0,5)

Задание 2.

Решить неравенство: \sqrt{x^2-3x-10}<8-x.

Решение:

Обе части неравенства – неотрицательны. Возведем в квадрат обе части, перейдем к системе, равносильной исходному неравенству:

\begin{cases} x^2-3x-10<(8-x)^2,& & 8-x\geq  0,& &x^2-3x-10\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x^2-3x-10<64-16x+x^2,& &x\leq  8,& &(x-5)(x+2)\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x<\frac{74}{13},& &x\leq  8,& &(x-5)(x+2)\geq 0; \end{cases}

Из первых двух неравенств системы остается одно – первое (его решение является пересечение множеств решений указанных двух неравенств).

\begin{cases} x<\frac{74}{13},& &(x-5)(x+2)\geq 0; \end{cases}

x\in(-\infty;-2]\cup [5;\frac{74}{13}).

Ответ: (-\infty;-2]\cup [5;\frac{74}{13}).

Задание 3.

Решить неравенство: \sqrt{x^2-5x-24}>x+2.

Решение:

Правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Мы не можем просто так взять и возвести обе части неравенства в квадрат.

Будем рассматривать два случая:

1) x+2\geq 0

Тогда мы можем возвести обе части в квадрат и перейти к системе:

\begin{cases} x+2\geq 0,& &x^2-5x-24>(x+2)^2; \end{cases}

2) x+2<0

Тогда мы видим следующее:

Правая часть неравенства (всегда неотрицательная величина) больше отрицательной величины. Это верно.

То есть мы получаем верное неравенство на области его определения (x^2-5x-24\geq 0).

Значит, перед нами система:

\begin{cases} x+2<0,& &x^2-5x-24\geq 0 ; \end{cases}

Проще говоря, будем решать совокупность двух систем:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x+2\geq 0,& &x^2-5x-24>(x+2)^2; \end{cases}& \begin{cases} x+2<0,& &x^2-5x-24\geq 0 ; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq -2,& &x^2-5x-24>x^2+4x+4; \end{cases}& \begin{cases} x<-2,& &(x-8)(x+3)\geq 0 ; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq -2,& &x<-\frac{28}{9}; \end{cases}& \begin{cases} x<-2,& &(x-8)(x+3)\geq 0 ; \end{cases} \end{gathered}\right&

Первая система решений не имеет:

А решение второй системы графически выглядит так:

Поэтому

x\in (-\infty;-3].

Ответ: (-\infty;-3].

Задание 4.

Решить неравенство: (x+1)\sqrt{x^2+1}>x^2-1.

Решение:

Перепишем неравенство вот так:

(x+1)\sqrt{x^2+1}>(x-1)(x+1);

Мы должны четко понимать, что нельзя обе части неравенства поделить на x+1! Мы же не знаем знак этой суммы.

Выход такой – вынесение за скобку общего множителя:

(x+1)(\sqrt{x^2+1}-(x-1))>0;

Тогда неравенство равносильно совокупности двух систем:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x+1>0,& &\sqrt{x^2+1}>x-1; \end{cases}& \begin{cases} x+1<0,& &\sqrt{x^2+1}<x-1; \end{cases} \end{gathered}\right&

Второе неравенство первой системы \sqrt{x^2+1}>x-1 равносильно совокупности:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x-1\geq 0,& &x^2+1>(x-1)^2; \end{cases} &x-1<0, \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq 1,& &x>0; \end{cases} &x<1, \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} x\geq 1,& x<1, \end{gathered}\right&

То есть решение данного неравенства – x\in R.

Второе неравенство второй системы указанной выше совокупности \sqrt{x^2+1}<x-1 равносильно  системе:

\begin{cases} x\geq 1,& &x^2+1<(x-1)^2; \end{cases}&

Откуда

\begin{cases} x\geq 1,& &x<0; \end{cases}&

То есть система не имеет решений.

Возвращаемся в совокупность, которая равносильна исходному неравенству:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>-1,& &x\in R; \end{cases}& \begin{cases} x<-1& &x\in {\o}; \end{cases} \end{gathered}\right&

Откуда

x\in (-1;+\infty).

Ответ: (-1;+\infty).

Задание 5. 

Решить неравенство: \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5}\geq \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}.

Решение:

Как и в предыдущем задании выносим общий множитель за скобку:

\sqrt{6+x-x^2}(\frac{1}{2x+5}-\frac{1}{x+4})\geq 0;

\sqrt{6+x-x^2}\cdot \frac{x+4-2x-5}{(2x+5)(x+4)}\geq 0;

\sqrt{6+x-x^2}\cdot \frac{-x-1}{(2x+5)(x+4)}\geq 0;

или (после домножения на -1 обеих частей):

\sqrt{6+x-x^2}\cdot \frac{x+1}{(2x+5)(x+4)}\leq 0;

Теперь мы рассуждаем так: Первый множитель \sqrt{6+x-x^2} у нас неотрицателен. Если он равен нулю, то неравенство будет верным  (на своей области определения) независимо от того, какой знак у второго множителя  \frac{x+1}{(2x+5)(x+4)}. Если первый множитель больше нуля, то неравенство будет верным (на своей области определения) в случае неположительности второго множителя.

Поэтому данное неравенство равносильно следующей совокупности:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} 6+x-x^2=0,& &x\neq -4,& &x\neq -2,5; \end{cases}& \begin{cases} 6+x-x^2>0,& &\frac{x+1}{(2x+5)(x+4)}\leq 0; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} x=3,& x=-2;& \begin{cases} (x-3)(x+2)<0,& &\frac{x+1}{(2x+5)(x+4)}\leq 0; \end{cases} \end{gathered}\right&

Итак,

x\in[-2;-1]\cup{3}.

Ответ: [-2;-1]\cup{3}.

Задание 6.

Решить неравенство: \sqrt{x}+\sqrt{x-5}\leq \sqrt{10-x}.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующему:

x+2\sqrt{x}\sqrt{x-5}+x-5\leq 10-x;

2\sqrt{x}\sqrt{x-5}\leq 15-3x;

\begin{cases} 4x\cdot (x-5)\leq (15-3x)^2,& &15-3x\geq 0,& &x\geq 5;& \end{cases}

\begin{cases} 4x\cdot (x-5)\leq (15-3x)^2,& &x\geq 5,& &x\leq 5;& \end{cases}

Очевидно, что в ответ если из системы какой x  и попадет, то это может быть только 5.

Проверим, удовлетворяет ли 5 первому неравенству системы.

Ответ очевиден, – да.

Ответ:5.

Задание 7.

Решить неравенство: \sqrt{4x^2+x+9}+\sqrt{4x^2+x}>3.

Решение:

\sqrt{4x^2+x+9}>3-\sqrt{4x^2+x};

\left[\begin{gathered} \begin{cases} 3-\sqrt{4x^2+x}\geq 0,& &4x^2+x+9>9-6\sqrt{4x^2+x}+4x^2+x; \end{cases} &\begin{cases} 3-\sqrt{4x^2+x}<0,& &4x^2+x+9\geq 0; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} 3\geq \sqrt{4x^2+x},& &\sqrt{4x^2+x}>0; \end{cases} &\begin{cases} 3<\sqrt{4x^2+x},& &x\in R; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} 4x^2+x\leq 9,& &x(4x+1)>0; \end{cases} &\begin{cases} 4x^2+x>9,& &x\in R; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} 4(x-\frac{1-\sqrt{145}}{8})(x-\frac{1+\sqrt{145}}{8})\leq 0,& &x(4x+1)>0; \end{cases} &\begin{cases} 4(x-\frac{1-\sqrt{145}}{8})(x-\frac{1+\sqrt{145}}{8})>0,& &x\in R; \end{cases} \end{gathered}\right&

Графическое решение первой системы:

Графическое решение второй системы:

Объединяя решения, получаем:

x\in (-\infty;-\frac{1}{4})\cup(0;+\infty).

Ответ: (-\infty;-\frac{1}{4})\cup(0;+\infty).

Задания для самостоятельной работы

 

Решить неравенства:

1. \sqrt{2x^2+5x-6}>\sqrt{-x-3};

Ответ: + показать

2. \sqrt{x^2-3x-18}<4-x;

Ответ: + показать

3. \sqrt{2x^2+5x-6}>2-x;

Ответ: + показать

4. (x-3)\sqrt{x^2+4}\leq x^2-9;

Ответ: + показать

5. \frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x-4}\geq \frac{\sqrt{2-x-x^2}}{2x+11};

Ответ: + показать

6. 3\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}\geq 7;

Ответ: + показать

7. 2\sqrt{x}+\sqrt{5-x}>\sqrt{x+21};

Ответ: + показать

8. \sqrt{x^2-2x-2}+\sqrt{x^2-2x+6}<4;

Ответ: + показать

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Наталья

    Здравствуйте! в примере 6 появляется 4x^2, должно быть просто 4х..

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, спасибо большое!

      [ Ответить ]
  2. Валерия

    здравствуйте. В 5 примере после преобразования можно написать , что первый множитель >= нуля , а второй множитель ( дробный ) меньше нуля ??
    Просто я рассуждала , что, когда произведение меньше или равно нулю , значит множители имеют разные знаки . Т.к корень всегда число неотрицательное ,следовательно второй множитель меньше нуля . Объясните , пожалуйста, где ошибка ))

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вы упускаете случай, когда первый множитель равен нулю, а второй при этом имеет любой знак.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif