Коллекционерам формул посвящается

2023-07-23

Вы считаете, что чем больше формул знаете, тем спокойнее на экзамене? Так-то оно так, но в случае, если вы дейтвительно понимаете суть формул.

п

Но если вы коллекционируете формулы, не особо разбираясь в них, не видя связей, следствий, то вряд ли это вас спасет…

Давайте вот прямо сейчас выкинем ряд «лишних» формул из ваших шпаргалок!

Выкидываем из шпаргалки формулу площади правильного треугольника

Наверняка в вашей коллекции есть формула площади правильного треугольника $\color{red}S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$ Если вы ее знаете, – рада за вас, если нет, – давайте поймем как ее в два счета вывести.

Вы обязаны знать формулу площади $S=\frac{1}{2}absin\gamma$ для треугольника со сторонами $a,\;b$ и углом между ними $\gamma.$

yu

А в правильном треугольнике $a=b$  и $sin\gamma=sin60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}.$ Вот и получаем требуемую формулу: $S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$

Много времени занял вывод формулы?

Выкидываем из шпаргалки формулу площади сектора

$S_{sektor}=\frac{\alpha \pi R^2}{360^{\circ}}$

h

Составим пропорцию

u

Площадь сектора в $360^{\circ}$ (круга) – $\pi R^2$, какая площадь будет у сектора  в $\alpha$ градусов находим через пропорцию. Отсюда сразу и получаем формулу.

А в принципе, она и не нужна вовсе… Просто в каждой конкретной задаче вы составляете свою пропорцию.

Например, нужно решить следующую задачу: –> + показать

Выкидываем пару формул из таблицы производных

Наверняка, в таблице производных у вас есть такие две строки:

7

Вы знаете формулу $(x^{\alpha})’=\alpha x^{\alpha-1}$, где $\alpha$ – действительное число.

Так разве $\sqrt{x}$  – это не $x^{\frac{1}{2}}$?

$(x^{\frac{1}{2}})’=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Аналогично $(\frac{1}{x})’=(x^{-1})’=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.$

Кстати,  + показать

Выкидываем из шпаргалки формулу боковой поверхности цилиндра

Формула  боковой поверхности цилиндра

$\color{red}S=2\pi RH$

(где $R,\;H$ –  радиус и высота цилиндра соответственно)

вполне может встретиться в задачах ЕГЭ по математике.

Но ведь что есть  боковая поверхность цилиндра в развертке?

н

Это прямоугольник с одной стороной – $H$, второй стороной, равной длине окружности основания, то есть  $2\pi R.$

Потому и получаем

$S=2\pi RH.$

Выкидываем теорему Пифагора

Шучу, конечно, –  кто не знает теорему Пифагора? Но может быть, вам сложно выучить теорему косинусов? Вы подозревали раньше, что теорема Пифагора – частный случай теоремы косинусов?

$\color{red}c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma$

р

А ведь в случае прямого угла $C$ косинус его будет равен 0, а следовательно, мы и получим теорему Пифагора: $c^2=a^2+b^2.$

6r

Выкидываем из шпаргалок несколько тригонометрических формул

Не обойтись на ЕГЭ по математике без формул двойного угла для косинуса:

$\color{red}cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha$

$cos2\alpha=2cos^2\alpha-1$

$cos2\alpha=1-2sin^2\alpha$

Так вот две последние формулы запоминать нет никакой необходимости. Посмотрите, как быстро выводится, например, средняя формула:

$cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=cos^2\alpha-(1-cos^2\alpha)=2cos^2\alpha-1.$

С третьей формулой – аналогично.

Анализируем формулу площади четырехугольника через диагонали

Хорошо бы знать формулу  площади четырехугольника с диагоналями $d_1,\;d_2$ и углом между ними $\alpha$…

$\color{red}S=\frac{d_1d_2sin\alpha}{2}$

Тогда набор формул

$S=\frac{d^2}{2}$ для квадрата с диагональю $d$,

$S=\frac{d^2sin\alpha}{2}$ для прямоугольника с диагоналями $d$ и углом $\alpha$ между  ними,

$S=\frac{d_1d_2}{2}$ для ромба с диагоналями $d_1,\;d_2$

не придется запоминать!

Становится ясно, что это всего лишь частные случаи формулы $S=\frac{d_1d_2sin\alpha}{2}$ (например, в квадрате $d_1=d_2$ и $\sin\alpha=1$, так как $\alpha=90^{\circ}$).

Печать страницы
комментариев 18
  1. Анатолий Шевелев

    “cos\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha” может вы хотели сказать “cos2A”

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, да, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. Анатолий Шевелев

    хорошо если статья будет постепенно пополняться новыми заметками :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если это интересно, то будет ;)

      [ Ответить ]
      • Анатолий Шевелев

        Конечно интересно ;)

        [ Ответить ]
  3. egetrener

    Елена Юрьевна, класс! Мы с Вами очень близки по духу. Формулы – зло))

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга Игоревна, приятно слышать!
      Да уж, многие так и теряются в формулах, не доходя до решения задачи…

      [ Ответить ]
  4. Галина Михайловна

    Спасибо. Идея хорошая.

    [ Ответить ]
  5. Элла

    Вот эта солидарность!!! Я тоже в своей работе не заставляю детей заучивать именно те формулы, которые можно “выкинуть”.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наши ряды «нелюбителей формул» пополняются! :D

      [ Ответить ]
      • Ирина

        Елена, а я с Вами во ВСЁМ!!! Хотя иногда мы с Вами подходим по разному к решению одной и т.ж. задачи. Но это нормально.

        [ Ответить ]
  6. Надежда

    Елена Юрьевна, я с Вами полностью согласна и ученики мои не запоминают перечисленные формулы.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      :)

      [ Ответить ]
  7. Иванов

    Знание формул без их понимания это как знание текста рассказа наизусть, но абсолютного непонимания его:)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Точно! :D

      [ Ответить ]
  8. Анатолий Шевелев

    хорошо бы описать поведение формулы [latexpage] $S=\frac{1}{2}absin\gamma$ с различными многоугольниками (треугольник, квадрат, параллелограмм и т.д.)

    [ Ответить ]
  9. Kirill

    Я думал тут будет 555 формул по тригонометрииhttps://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif=)))(, из которых только 55 изучаются в школе!=)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




один × 2 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif