Коллекционерам формул посвящается

2014-03-05

Вы считаете, что чем больше формул знаете, тем спокойнее на экзамене? Так-то оно так, но в случае, если вы дейтвительно понимаете суть формул.

Но если вы коллекционируете формулы, не особо разбираясь в них, не видя связей, следствий, то вряд ли это вас спасет…

Давайте вот прямо сейчас выкинем ряд «лишних» формул из ваших шпаргалок!

 

Выкидываем из шпаргалки формулу площади правильного треугольника

Наверняка в вашей коллекции есть формула площади правильного треугольника S=\frac{a^2\sqrt3}{4}. Если вы ее знаете, – рада за вас, если нет, – давайте поймем как ее в два счета вывести.

Вы обязаны знать формулу площади S=\frac{1}{2}absin\gamma для треугольника со сторонами a,\;b и углом между ними \gamma.

А в правильном треугольнике a=b  и sin\gamma=sin60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}. Вот и получаем требуемую формулу: S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.

Много времени занял вывод формулы?

 

Выкидываем из шпаргалки формулу площади сектора

 

S_{sektor}=\frac{\alpha \pi R^2}{360^{\circ}}

Составим пропорцию

Площадь сектора в 360^{\circ} (круга) – \pi R^2, какая площадь будет у сектора  в \alpha градусов находим через пропорцию. Отсюда сразу и получаем формулу.

А в принципе, она и не нужна вовсе… Просто в каждой конкретной задаче вы составляете свою пропорцию.

Например, нужно решить следующую задачу: –> + показать

 
 

Выкидываем пару формул из таблицы производных

Наверняка, в таблице производных у вас есть такие две строки:

Вы знаете формулу (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}, где \alpha – действительное число.

Так разве \sqrt{x}  – это не x^{\frac{1}{2}}?

(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Аналогично (\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.

Кстати,  + показать


 

Выкидываем из шпаргалки формулу боковой поверхности цилиндра

Формула  боковой поверхности цилиндра

S=2\pi RH

(где R,\;H –  радиус и высота цилиндра соответственно)

вполне может встретиться в задачах ЕГЭ по математике.

Но ведь что есть  боковая поверхность цилиндра в развертке?

Это прямоугольник с одной стороной – H, второй стороной, равной длине окружности основания, то есть  2\pi R.

Потому и получаем

S=2\pi RH.

 

Выкидываем теорему Пифагора

Шучу, конечно, –  кто не знает теорему Пифагора? Но может быть, вам сложно выучить теорему косинусов? Вы подозревали раньше, что теорема Пифагора – частный случай теоремы косинусов?

c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma

А ведь в случае прямого угла C косинус его будет равен 0, а следовательно, мы и получим теорему Пифагора: c^2=a^2+b^2.

 

Выкидываем из шпаргалок несколько тригонометрических формул

Не обойтись на ЕГЭ по математике без формул двойного угла для косинуса:

cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha

cos2\alpha=2cos^2\alpha-1

cos2\alpha=1-2sin^2\alpha

Так вот две последние формулы запоминать нет никакой необходимости. Посмотрите, как быстро выводится, например, средняя формула:

cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=cos^2\alpha-(1-cos^2\alpha)=2cos^2\alpha-1.

С третьей формулой – аналогично.

 

Анализируем формулу площади четырехугольника через диагонали

Хорошо бы знать формулу  площади четырехугольника с диагоналями d_1,\;d_2 и углом между ними \alpha

S=\frac{d_1d_2sin\alpha}{2}

Тогда набор формул

S=\frac{d^2}{2} для квадрата с диагональю d,

S=\frac{d^2sin\alpha}{2} для прямоугольника с диагоналями d и углом \alpha между  ними,

S=\frac{d_1d_2}{2} для ромба с диагоналями d_1,\;d_2

не придется запоминать!

Становится ясно, что это всего лишь частные случаи формулы S=\frac{d_1d_2sin\alpha}{2} (например, в квадрате d_1=d_2 и \sin\alpha=1, так как \alpha=90^{\circ}).

 

Рада, если описанные случаи для вас очевидны –> ;) + показать

Значит, вы хорошо подготовлены к ЕГЭ по математике (по крайней мере, к части В)!

Можно продолжать и далее…

Но пока все! Вам есть что сказать/спросить? Пишите в комментариях.

Печать страницы
Комментариев: 16
  1. Анатолий Шевелев

    “cos\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha” может вы хотели сказать “cos2A”

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, да, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. Анатолий Шевелев

    хорошо если статья будет постепенно пополняться новыми заметками :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если это интересно, то будет ;)

      [ Ответить ]
      • Анатолий Шевелев

        Конечно интересно ;)

        [ Ответить ]
  3. egetrener

    Елена Юрьевна, класс! Мы с Вами очень близки по духу. Формулы – зло))

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга Игоревна, приятно слышать!
      Да уж, многие так и теряются в формулах, не доходя до решения задачи…

      [ Ответить ]
  4. Галина Михайловна

    Спасибо. Идея хорошая.

    [ Ответить ]
  5. Элла

    Вот эта солидарность!!! Я тоже в своей работе не заставляю детей заучивать именно те формулы, которые можно “выкинуть”.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наши ряды «нелюбителей формул» пополняются! :D

      [ Ответить ]
      • Ирина

        Елена, а я с Вами во ВСЁМ!!! Хотя иногда мы с Вами подходим по разному к решению одной и т.ж. задачи. Но это нормально.

        [ Ответить ]
  6. Надежда

    Елена Юрьевна, я с Вами полностью согласна и ученики мои не запоминают перечисленные формулы.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      :)

      [ Ответить ]
  7. Иванов

    Знание формул без их понимания это как знание текста рассказа наизусть, но абсолютного непонимания его:)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Точно! :D

      [ Ответить ]
  8. Анатолий Шевелев

    хорошо бы описать поведение формулы S=\frac{1}{2}absin\gamma с различными многоугольниками (треугольник, квадрат, параллелограмм и т.д.)

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif