Задача 1. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен
Найдите радиус сферы.

Решение: + показать
Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, – куб.
Поэтому
,
где
– ребро куба.
Откуда 
Тогда

Ответ:
Задача 2. В куб вписан шар радиуса
Найдите объем куба.

Решение: + показать
Ребро куба – диаметр шара.
Тогда

Ответ:
Задача 3. Шар, объём которого равен
вписан в куб. Найдите объём куба.
Решение: + показать



Поскольку ребро куба – диаметр шара, то

Ответ:
Задача 4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен
Объем параллелепипеда равен
Найдите высоту цилиндра.

Решение: + показать
Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.
Радиус основания цилиндра равен
значит сторона квадрата основания параллелепипеда равна 


откуда

У цилиндра и прямоугольного параллелепипеда высоты совпадают, значит и высота цилиндра равна 
Ответ:
Задача 5. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны
Найдите объем параллелепипеда.
Решение: + показать
Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.
Радиус основания цилиндра равен
значит сторона квадрата основания параллелепипеда равна 

Ответ:
Задача 6. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны
Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение: + показать
Высота призмы равна высоте цилиндра.
В основании правильной призмы – квадрат.

Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона квадрата).
Площадь боковой поверхности
призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это
и 
Поэтому

Ответ:
Задача 7. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной
. Боковые ребра равны
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение: + показать
Диагональ квадрата – диаметр (
) основания цилиндра:


Тогда

Ответ:
Задача 8. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна
Найдите площадь поверхности шара.

Решение: + показать
Так как площадь поверхности цилиндра с радиусом основания
и высотой
есть
, то

Но при этом высота цилиндра
– это диаметр шара, то есть 
Поэтому


Откуда

Площадь же поверхности шара вычисляется по формуле

Поэтому

Ответ:
Задача 9. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен
Найдите объем шара.

Решение: + показать
Объем цилиндра с радиусом основания
и высотой
есть

По условию
, поэтому

При этом
, стало быть

Объем же шара вычисляется по формуле

Значит

Ответ:
Задача 10. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен
Найдите объем конуса.

Решение: + показать

Объем шара есть

По условию объем шара равен
поэтому

откуда

Объем же конуса с радиусом основания
и высотой
есть

Ответ:
Задача 11. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен
Найдите объем шара.

Решение: + показать

Согласно условию

Тогда

Ответ:
Задача 12. Середина ребра куба со стороной
является центром шара радиуса
Найдите площадь
части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите 

Решение: + показать
Задача 13. Вершина
куба
со стороной
является центром сферы, проходящей через точку
. Найдите площадь
части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину
.

Решение: + показать
Куб плоскостями граней (
) отсекает от сферы
часть. Значит и площадь поверхности части сферы, содержащейся внутри куба, будет
от площади поверхности сферы. А поскольку радиус сферы – есть ребро куба, то

Наконец,

Ответ:
Задача 14. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 

Решение: + показать
Объем цилиндра:
,
а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой есть
.
Тогда

Ответ:
Задача 15. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна
Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение: + показать


Поскольку по условию
то



Ответ:
Задача 16. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания
и высотой
Найдите его объем, деленный на
.

Решение: + показать
Объем конуса есть

(где
– радиус основания конуса, высота конуса).
Высота известна, найдем радиус основания конуса:
В основании пирамиды – квадрат. Пусть диагонали пересекаются в точке 

Из прямоугольного (диагонали квадрата перпендикулярны) треугольника
:
где 
Откуда

Тогда

Наконец,

Ответ:
Задача 17. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение: + показать
Высоты обоих конусов одинаковы. Поэтому отношение объемов конусов будет зависеть только от отношения радиусов оснований конусов (а точнее, – от отношения квадратов радиусов оснований конусов).
Выясним, в каком отношении находятся между собой
и
:
Из равнобедренного (
, так как диагонали квадрата являются биссектрисами углов) прямоугольного треугольника
(см. рис):



Тогда

А значит, отношение объемов конусов таково:

Ответ:
Задача 18. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен
Найдите объем конуса.

Решение: + показать
Объем шара есть

По условию объем шара равен
поэтому

откуда

Объем же конуса с радиусом основания
и высотой
есть

Ответ:
Задача 19. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен
Найдите образующую конуса.

Решение: + показать
Радиус сферы равен высоте конуса.


Ответ:
Задача 20. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами
и
Боковые ребра равны
. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение: + показать
Задача 21. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен
а высота равна 

Решение: + показать

где
– сторона основания,
– высота призмы.
Найдем 

Пусть
– центр основания. Тогда
Стало быть,

Наконец,

Ответ:
Задача 22. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен
а высота равна 

Решение: + показать
В основании призмы – правильный треугольник. Пусть его сторона – 
(см. рис.)
Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трех равных друг другу прямоугольников с измерениями
(сторона основания) и
(высота призмы).

Ответ:
Задача 23. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 

Решение: + показать
Задача 24. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен
, а высота равна 

Решение: + показать
Высота призмы равна высоте цилиндра.
В основании правильной пирамиды – равносторонний треугольник.

Радиус вписанного в него круга (основания цилиндра) ищем из прямоугольного треугольника с углом
°(помечен на рисунке красным цветом, – в нем катет, прилежащий к углу
°, есть половина стороны треугольника):
,
где
– cсторона треугольника.


Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы – есть сумма площадей трех равных прямоугольников с измерениями
и
(высота призмы).

Ответ:
Задача 25. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен
, а высота равна 

Решение: + показать
Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы составлена из шести равных друг другу прямоугольников с измерениями
(сторона основания) и
(высота призмы).
Выразим
через заданный
:
Правильный шестиугольник составлен из шести равных правильных треугольников (см. рис.).

Высота (радиус вписанной окружности)
является и биссектрисой, и медианой.
Из треугольника
:





Подставляя известное значение
, имеем:

Тогда

Ответ:
Задача 26. Около куба с ребром
описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на 

Решение: + показать
Диаметр шара (
) есть диагональ куба (на рис. –
, например).
Если ребро куба равно
, то диагональ есть

(дважды применили т. Пифагора, к каждому из треугольников, выделенных цветом на рис.).

Итак, диагональ куба (диаметр шара) равна
. Поэтому радиус шара равен 
Итак, объем шара таков:

Наконец,

Ответ:
Задача 27. Куб вписан в шар радиуса
Найдите объем куба.

Решение: + показать
Диаметр шара (
) – есть диагональ куба (например,
).
Пусть
– ребро куба. Тогда

C учетом условия
имеем:


Итак,

Ответ:
Вы можете пройти тест “Комбинация тел”
Добавить комментарий