02. Комбинации тел

Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы,  – куб.

Поэтому

$10648=a^3$,

где $a$ – ребро куба.

Откуда $a=22.$

Тогда

$R=\frac{a}{2}=11.$

Ответ: $11.$

Ребро куба – диаметр шара.

Тогда

$V=a^3=14^3=2744.$

Ответ: $2744.$

$V_{shar}=\frac{4\pi R^3}{3};$

$44\pi=\frac{4\pi R^3}{3};$

$R^3=33.$

Поскольку ребро куба – диаметр шара, то

$V_{kub}=a^3=(2R)^3=8\cdot 33=264.$

Ответ: $264.$

Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.

Радиус основания цилиндра  равен $1,$ значит сторона квадрата основания параллелепипеда  равна $2.$

$V=S_{osnov}\cdot H=2^2\cdot H=4H;$

$5=4H,$

откуда

$H=\frac{5}{4}=1,25.$

У цилиндра и прямоугольного параллелепипеда высоты совпадают, значит и высота цилиндра равна $1,25.$

Ответ: $1,25.$  

Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.

Радиус основания цилиндра  равен $18,$ значит сторона квадрата основания параллелепипеда  равна $36.$

$V=S_{osnov}\cdot H=36^2\cdot 18=23328.$

Ответ: $23328.$  

Высота призмы равна высоте цилиндра.

В основании правильной призмы – квадрат.

Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона квадрата).

Площадь боковой поверхности $S_{bok}$ призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это $1$  и $2.$

Поэтому

 $S_{bok}=4\cdot1\cdot2=8.$

Ответ: $8.$

Диагональ квадрата – диаметр ($D$) основания цилиндра:

$D=2R=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt2;$

$R=4\sqrt2.$

Тогда

$V=\pi R^2\cdot H=\pi (4\sqrt2)^2\cdot \frac{5}{\pi}=160.$

Ответ: $160.$

Так как площадь поверхности цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой  $H$ есть

$S=2\pi R^2+2\pi RH$, то

$81=2\pi R^2+2\pi RH.$

Но при этом высота цилиндра $H$ – это диаметр шара, то есть $2R=H.$

Поэтому

$81=2\pi R^2+4\pi R^2;$

$81=6\pi R^2.$

Откуда

$\pi R^2=\frac{81}{6}.$

Площадь же поверхности шара вычисляется по формуле

$S=4\pi R^2.$

Поэтому

$S=4\cdot \frac{81}{6}=54.$

Ответ: $54.$

Объем цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $H$ есть

$V_{silindr}=\pi R^2H.$

По условию $V_{silidr}=6$, поэтому

$6=\pi R^2H.$

При этом $H=2R$, стало быть

$6=\pi \cdot R^2\cdot 2R=2\pi R^3.$

Объем же шара вычисляется по формуле

$V_{shar}=\frac{4\pi R^3}{3}.$

Значит

$V_{shar}=\frac{2\cdot 6}{3}=4.$

Ответ: $4.$

Объем шара есть

$V_{shar}=\frac{4\pi R^3}{3}.$

По условию объем шара равен $156,$ поэтому

$156=\frac{4\pi R^3}{3},$

откуда

$\frac{\pi R^3}{3}=39.$

Объем же конуса с  радиусом основания $R$ и высотой $H=R$ есть

$V_{konus}=\frac{\pi R^2H}{3}=\frac{\pi R^3}{3}=39.$

Ответ: $39.$

$V_{konus}=\frac{\pi R^2H}{3}.$

Согласно условию

$27=\frac{\pi R^2H}{3}.$

Тогда

$V_{shar}=\frac{4\pi R^3}{3}=4\cdot V_{konus}=4\cdot 27=108.$

Ответ: $108.$

$S=\frac{S_{shar}}{4}=\frac{4\pi R^2}{4}=\pi R^2=0,16\pi.$

$\frac{S}{\pi}=0,16.$

Ответ: $0,16.$

Куб плоскостями граней  ($ABCD,\; AA_1B_1B,\;AA_1D_1D$) отсекает от сферы $\frac{1}{8}$  часть. Значит и площадь поверхности части сферы, содержащейся внутри куба, будет $\frac{1}{8}$ от площади поверхности сферы. А поскольку радиус сферы – есть ребро куба, то

$S=\frac{1}{8}\cdot 4\pi R^2=\frac{\pi \cdot 0,7^2}{2}=0,245\pi.$

Наконец,

$\frac{S}{\pi}=0,245.$

Ответ: $0,245.$

Объем цилиндра:

$V_{cilindr}=\pi R^2H$,

а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой есть

$V_{konus}=\frac{\pi R^2H}{3}$.

Тогда

$V_{konus}=\frac{\pi R^2H}{3}=\frac{V_{cilindr}}{3}=\frac{45}{3}=15.$

Ответ: $15.$  

$S_{bok-cilindr}=44\sqrt2;$

$2\pi RH=44\sqrt2.$

Поскольку по условию $R=H,$ то

$R^2=\frac{22\sqrt2}{\pi}.$

$S_{bok-konus}=\pi RL=\pi R\sqrt{h^2+R^2}=\pi R\sqrt{R^2+R^2}=\pi R\cdot R\sqrt2=$

$=\pi\cdot R^2\sqrt2=\pi \cdot \frac{22\sqrt2}{\pi}\cdot \sqrt2=44.$

Ответ: $44.$  

Объем конуса есть

$V=\frac{\pi R^2H}{3}$

(где $R,\;H$ – радиус основания конуса, высота конуса).

Высота известна,  найдем радиус основания конуса:

В основании пирамиды – квадрат. Пусть диагонали пересекаются в точке $O.$

Из  прямоугольного (диагонали квадрата перпендикулярны) треугольника  $AOD$:

$R^2+R^2=3^2,$ где $R=AO=OD.$

Откуда

$R=\frac{3}{\sqrt2}.$

Тогда

$V=\frac{\pi \cdot (\frac{3}{\sqrt2})^2\cdot 5}{3}=7,5\pi.$

Наконец,

$\frac{V}{\pi}=7,5.$

Ответ: $7,5.$  

Высоты обоих конусов одинаковы. Поэтому  отношение объемов конусов будет зависеть только от отношения  радиусов оснований конусов (а точнее, – от отношения квадратов радиусов оснований конусов).

Выясним, в каком отношении находятся между собой $R$ и $r$:

Из равнобедренного ($\angle OAH=45^{\circ}$, так как диагонали квадрата являются биссектрисами углов) прямоугольного треугольника $AOH$ (см. рис):

$r^2+r^2=R^2;$

$2r^2=R^2.$

Тогда

$\frac{R^2}{r^2}=2.$

А значит, отношение объемов конусов таково:

$\frac{V}{v}=\frac{\pi R^2H}{\pi r^2H}=\frac{R^2}{r^2}=2.$

Ответ: $2.$ 

Объем шара есть

$V_{shar}=\frac{4\pi R^3}{3}.$

По условию объем шара равен $156,$ поэтому

$156=\frac{4\pi R^3}{3},$

откуда

$\frac{\pi R^3}{3}=39.$

Объем же конуса с  радиусом основания $R$ и высотой $H=R$ есть

$V_{konus}=\frac{\pi R^2H}{3}=\frac{\pi R^3}{3}=39.$

Ответ: $39.$ 

Радиус сферы равен высоте конуса.

$L=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt2=5\sqrt2\cdot \sqrt2=10..$

Ответ: $10.$ 

Объем цилиндра:

$V=\pi R^2H.$

Найдем радиус  основания цилиндра:

Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника – середина  гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы, то есть

$D=2R=\sqrt{1^+10^2}=\sqrt{101}.$

Так как высота $H$ призмы по условию равна  равна $\frac{6}{\pi}$, то и высота цилиндра тоже равна $\frac{6}{\pi}$.

Наконец,

$V=\pi R^2H=\pi (\frac{\sqrt{101}}{2})^2\cdot \frac{6}{\pi}=151,5.$

Ответ: $151,5.$  

$S_{bok}=3\cdot ah,$

где $a$ – сторона основания, $h$ – высота призмы.

Найдем $a:$

Пусть $O$ – центр основания. Тогда $OC=2r.$ Стало быть,

$\frac{a}{2}=\sqrt{(2r)^2-r^2}=r\sqrt3=\sqrt3 \cdot \sqrt3=3.$

Наконец,

$S_{bok}=3\cdot 6\cdot 1=18.$

Ответ: $18.$  

В основании призмы – правильный треугольник. Пусть его сторона – $a.$

$\frac{a}{2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2-(\sqrt3)^2}=3$ (см. рис.)

Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трех равных друг другу прямоугольников с измерениями $a$ (сторона основания) и $h$ (высота призмы).

$S_{bok}=3\cdot ah=3\cdot 6\cdot 4=72.$

Ответ: $72.$  

$V_{konus}=\frac{S_{osnov}\cdot H}{3},$

$V_{cilindr}=S_{osnov}\cdot H=3\cdot V_{konus}=27\cdot 3=81.$

Ответ: $81.$  

Высота призмы равна высоте цилиндра.

В основании правильной пирамиды – равносторонний треугольник.

Радиус вписанного в него круга (основания цилиндра) ищем из прямоугольного треугольника с углом $30$°(помечен на рисунке красным цветом, – в нем катет, прилежащий к углу $30$°, есть половина стороны треугольника):

$tg30^{\circ}=\frac{r}{\frac{a}{2}}$,

где  $a$ – cсторона треугольника.

$\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\sqrt3}{\frac{a}{2}};$

$a=6.$

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы – есть сумма площадей  трех равных прямоугольников с измерениями $6$ и $1$ (высота призмы).

$S_{bok}=3\cdot 6\cdot 1=18.$

Ответ: $18.$

Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы составлена из шести равных друг другу прямоугольников с измерениями $a$ (сторона основания) и $h$ (высота призмы).

Выразим $a$ через заданный  $r$:

Правильный шестиугольник составлен из шести равных правильных треугольников (см. рис.).

Высота (радиус вписанной окружности) $OH$ является и биссектрисой, и медианой.

Из треугольника $AOH$:

$a^2=(\frac{a}{2})^2+r^2;$

$a^2=\frac{a^2}{4}+r^2;$

$4a^2=a^2+4r^2;$

$a^2=\frac{4r^2}{3};$

$a=\frac{2\sqrt3r}{3}.$

Подставляя известное значение $r$, имеем:

$a=\frac{2\sqrt3\cdot \sqrt{0,03}}{3}=0,2.$

Тогда

$S_{bok}=6\cdot 0,2\cdot 1=1,2.$

Ответ: $1,2.$

Диаметр шара ($2R$) есть диагональ куба (на рис. – $BD_1$, например).

Если ребро куба равно $\sqrt{243}$, то диагональ есть

$\sqrt{(\sqrt{243})^2+(\sqrt{243})^2+(\sqrt{243})^2}$

(дважды применили т. Пифагора, к каждому из треугольников, выделенных цветом на рис.).

Итак, диагональ куба (диаметр шара) равна $\sqrt{729}=27$. Поэтому радиус шара равен $\frac{27}{2}.$

Итак, объем шара  таков:

$V=\frac{4\cdot \pi \cdot R^3}{3}=\frac{4\cdot \pi \cdot (\frac{27}{2})^3}{3}=\frac{6561\pi}{2}=3280,5\pi .$

Наконец,

$\frac{V}{\pi}=3280,5.$

Ответ: $3280,5.$

Диаметр шара ($2R$) – есть диагональ куба (например, $BD_1$).

Пусть $a$ – ребро куба. Тогда

$BD_1=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3.$

C учетом условия $2R=13\sqrt3,$  имеем:

$13\sqrt=a\sqrt3;$

$a=13.$

Итак,

$V=a^3=13^3=2197.$

Ответ: $2197.$