Главная › Логарифмы › Логарифмическое неравенство из пробного экзамена в МГУ

10 Июл 2013

Категория: ЛогарифмыМГУМетод рационализации

Логарифмическое неравенство из пробного экзамена в МГУ

Елена Репина 2013-07-10 2015-04-12

Сегодня предлагаю разобрать решение логарифмического неравенства (задание №5), которое предлагалось абитуриентам, поступающим в МГУ (экономический факультет) 20 июня 2013г.

Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №6, №7, №8.

Решите неравенсво $(1-\frac{x}{2})\log_{19-2\cdot 3^x}3\leq 1$

Решение:

Решать будем, применяя рационализацию:

retdfg

Но предварительно мы внесем $1-\frac{x}{2}$ в подлогарифмное выражение:

$\log_{19-2\cdot 3^x}3^{1-\frac{x}{2}}\leq 1$

Тогда $(19-2\cdot 3^x-1)(3^{1-\frac{x}{2}}-19+2\cdot 3^x)\leq 0$ (на ОДЗ).

ОДЗ же неравенства: $19-2\cdot 3^x>0,\;19-2\cdot 3^x\neq 1.$

$(18-2\cdot 3^x)(3^{1-\frac{x}{2}}-19+2\cdot 3^x)\leq 0$

Обозначим $3^{\frac{x}{2}}$ за $t$ .

Тогда неравенство будет выглядеть так:

$(18-2t^2)(\frac{3}{t}-19+2\cdot t^2)\leq 0,\;t>0$

Умножим обе части неравенства на $t:$

$(9-t^2)(3-19t +2\cdot t^3)\leq 0,\;t>0$

Вторую скобку левой части неравенства разложим на множители, опираясь на т. Безу. Для этого пытаемся найти корень трехчлена $3-19\cdot t +2\cdot t^3$ среди делителей свободного члена, то есть среди $\pm 1,\;\pm 3.$

Пробуем на роль корня $3$ :

$3-19\cdot 3+2\cdot 3^3=3-57+54=0$ . Попали!

Тогда делим $3-19\cdot t +2\cdot t^3$ на $t-3$ :

089

Корни же трехчлена $2t^2+6t-1$ – это $\frac{-3\pm \sqrt{11}}{2}$ .

Не забываем, что $t>0$ .

456

Нам нужно наложить ОДЗ ( $t<\sqrt{9,5},\;t\neq 3$ ) на решение неравенства:

576

Итак, $t\in [\frac{-3+\sqrt{11}}{2};3)\cup(3;\sqrt{9,5})$

Тогда $\frac{-3+\sqrt{11}}{2}\leq 3^{\frac{x}{2}}<\sqrt{9,5},\;x\neq 2$

$\frac{20-6\sqrt{11}}{4}\leq 3^x<9,5,\;x\neq 2$

$\log_3\frac{10-3\sqrt{11}}{2}\leq x<\log_39,5,\;x\neq 2$

Отет: $[\log_3(5-1,5\sqrt{11};2)\cup(2;\log_39,5)$

Автор: egeMax | Нет комментариев | Метки: МГУ, часть С

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№13 №15 №17 №18
Рубрики
- 01 Простейшие текст/задачи (2)
- 02 Читаем графики (1)
- 03 Геометрия, ч. I (11)
- 04 Теория вероятностей (2)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Геометрия, ч. II (11)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 Стереометрия (11)
- 09 Вычисления (6)
- 10 «Прикладные» задачи (4)
- 11 Текстовые задачи (7)
- 12 Исследование функции (2)
- 13 (С1) Уравнения (78)
- 14 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 15 (С3) Неравенства (89)
- 16 (С4) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С5) Практич. задачи (71)
- 18 (С6) Параметры* (79)
- 19 (С7) Числа, их свойства (38)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (69)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (78)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (86)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (68)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (45)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы