Логарифмическое неравенство из пробного экзамена в МГУ

2015-04-12

Сегодня предлагаю разобрать решение логарифмического неравенства (задание №5), которое предлагалось абитуриентам, поступающим в МГУ (экономический факультет) 20 июня 2013г.

Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №6, №7, №8.

Решите неравенсво (1-\frac{x}{2})\log_{19-2\cdot 3^x}3\leq 1

Решение: 

Решать будем, применяя рационализацию:

Но предварительно мы  внесем 1-\frac{x}{2} в подлогарифмное выражение:

\log_{19-2\cdot 3^x}3^{1-\frac{x}{2}}\leq 1

Тогда  (19-2\cdot 3^x-1)(3^{1-\frac{x}{2}}-19+2\cdot 3^x)\leq 0 (на ОДЗ).

ОДЗ же неравенства: 19-2\cdot 3^x>0,\;19-2\cdot 3^x\neq 1.

(18-2\cdot 3^x)(3^{1-\frac{x}{2}}-19+2\cdot 3^x)\leq 0

Обозначим 3^{\frac{x}{2}} за t.

Тогда неравенство будет выглядеть так:

(18-2t^2)(\frac{3}{t}-19+2\cdot t^2)\leq 0,\;t>0

Умножим обе части неравенства на t:

(9-t^2)(3-19t +2\cdot t^3)\leq 0,\;t>0

Вторую скобку левой части неравенства разложим на множители, опираясь на т. Безу.  Для этого пытаемся найти корень трехчлена 3-19\cdot t +2\cdot t^3 среди делителей свободного члена, то есть среди  \pm 1,\;\pm 3.

Пробуем на роль  корня   3:

3-19\cdot 3+2\cdot 3^3=3-57+54=0. Попали!

Тогда делим 3-19\cdot t +2\cdot t^3 на t-3:

Корни же трехчлена 2t^2+6t-1 – это \frac{-3\pm \sqrt{11}}{2}.

Не забываем, что t>0.

Нам нужно наложить ОДЗ (t<\sqrt{9,5},\;t\neq  3)  на решение неравенства:

Итак, t\in [\frac{-3+\sqrt{11}}{2};3)\cup(3;\sqrt{9,5})

Тогда \frac{-3+\sqrt{11}}{2}\leq 3^{\frac{x}{2}}<\sqrt{9,5},\;x\neq 2

\frac{20-6\sqrt{11}}{4}\leq 3^x<9,5,\;x\neq 2

\log_3\frac{10-3\sqrt{11}}{2}\leq x<\log_39,5,\;x\neq 2

Отет: [\log_3(5-1,5\sqrt{11};2)\cup(2;\log_39,5)

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif