Логарифмическое неравенство из пробного экзамена в МГУ

Сегодня предлагаю разобрать решение логарифмического неравенства (задание №5), которое предлагалось абитуриентам, поступающим в МГУ (экономический факультет) 20 июня 2013г.

Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №6, №7, №8.

[latexpage]

Решите неравенсво $(1-\frac{x}{2})\log_{19-2\cdot 3^x}3\leq 1$

Решение: 

Решать будем, применяя рационализацию:

Но предварительно мы  внесем $1-\frac{x}{2}$ в подлогарифмное выражение:

$\log_{19-2\cdot 3^x}3^{1-\frac{x}{2}}\leq 1$

Тогда  $(19-2\cdot 3^x-1)(3^{1-\frac{x}{2}}-19+2\cdot 3^x)\leq 0$ (на ОДЗ).

ОДЗ же неравенства: $19-2\cdot 3^x>0,\;19-2\cdot 3^x\neq 1.$

$(18-2\cdot 3^x)(3^{1-\frac{x}{2}}-19+2\cdot 3^x)\leq 0$

Обозначим $3^{\frac{x}{2}}$ за $t$.

Тогда неравенство будет выглядеть так:

$(18-2t^2)(\frac{3}{t}-19+2\cdot t^2)\leq 0,\;t>0$

Умножим обе части неравенства на $t:$

$(9-t^2)(3-19t +2\cdot t^3)\leq 0,\;t>0$

Вторую скобку левой части неравенства разложим на множители, опираясь на т. Безу.  Для этого пытаемся найти корень трехчлена $3-19\cdot t +2\cdot t^3$ среди делителей свободного члена, то есть среди  $\pm 1,\;\pm 3.$

Пробуем на роль  корня   $3$:

$3-19\cdot 3+2\cdot 3^3=3-57+54=0$. Попали!

Тогда делим $3-19\cdot t +2\cdot t^3$ на $t-3$:

Корни же трехчлена $2t^2+6t-1$ – это $\frac{-3\pm \sqrt{11}}{2}$.

Не забываем, что $t>0$.

Нам нужно наложить ОДЗ ($t<\sqrt{9,5},\;t\neq  3$)  на решение неравенства:

Итак, $t\in [\frac{-3+\sqrt{11}}{2};3)\cup(3;\sqrt{9,5})$

Тогда $\frac{-3+\sqrt{11}}{2}\leq 3^{\frac{x}{2}}<\sqrt{9,5},\;x\neq 2$

$\frac{20-6\sqrt{11}}{4}\leq 3^x<9,5,\;x\neq 2$

$\log_3\frac{10-3\sqrt{11}}{2}\leq x<\log_39,5,\;x\neq 2$

Отет: $[\log_3(5-1,5\sqrt{11};2)\cup(2;\log_39,5)$