Продолжение.
Начало – здесь.
Теория
Рассмотрим дробно-рациональное неравенство вида
, где
один из знаков
и
рациональные выражения.
Заметим, областью определения дробно-рационального выражения
является
.
Мы сведем решение дробно-рациональных неравенств к решению рациональных неравенств методом интервалов следующим образом:
Неравенство
равносильно неравенству 
Неравенство
равносильно неравенству 
Неравенство
равносильно неравенству
, при условии 
Неравенство
равносильно неравенству
, при условии 
Практика
Пример 1.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Неравенство
равносильно следующей системе:

Решаем исходное неравенство как обычное рациональное неравенство, при этом обязательно «выкалываем» точку
.

Ответ:
.
Пример 2.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Исходное неравенство равносильно следующему:

Разложим на множители последнюю скобку неравенства:
(пользуясь п.7).
А вот квадратный трехчлен
на множители не раскладывается, так как
.
Это означает, что выражение принимает только знак «-». Действительно, возьмите любое число, например, 0, подставьте в
, – получите -7. А сменить этот знак квадратному трехчлену на другой просто негде – нулей-то нет.
Поэтому, мы можем сократить обе части исходного неравенства на отрицательную величину
, при этом поменяв знак неравенства на
.
Итак, решаем следующее неравенство
, равносильное исходному.

Ответ:
.
Пример 3.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Исходное неравенство равносильно следующей системе:

Заметим,


При этом
на R.
То есть исходное неравенство равносильно следующему (сократили обе части на
):
при условии, что
.
Поэтому

Ответ:
.
Пример 4.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Первое, что необходимо сделать – перенести
влево и привести к общему знаменателю:




Домножим обе части неравенства на -1, поменяв при этом знак неравенства:

Исходное неравенство равносильно следующей системе:

Далее, после разложения на множители, имеем:


Ответ:
.
Пример 5.
Решить неравенство: 
Решение: + показать
Первое, что необходимо сделать – перенести
влево и привести все три дроби к общему знаменателю:

Производим преобразования:


Исходное неравенство равносильно следующей системе:

После разложения на множители в первой строке системы имеем:


Ответ:
.

Вы можете пройти тест по теме “Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств”.
Добрый день,подскажите, пожалуйста, почему в примере2 при делении неравенства на(3x-7-x^2) меняется знак?
Потому что значение выражения 3x-7-x^2 всегда отрицательно при любом х
почему во втором задании точки 3 и 4 выколоты??
Неравенство строгое! Все точки выкалываются.
В шестом примере двойка в знаменателе при составлении системы не написана. Она просто не учитывается?
А, я понял. 2≥0
Это же логично