Метод рационализации. Часть 2

2016-03-24

 

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические  и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Поэтому прежде чем мы начнем разговор про рационализацию в неравенствах, поговорим о равносильности.
Если Вам тема знакома, и Вы просто хотите уточнить приемы рационализации, – вам сюда.

Равносильность

Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней.

 

 

Пример 1. Уравнения x^2-5x+6=0   и   \frac{x^2}{x+3}=\frac{5x-6}{x+3} равносильны, так как имеют одни и те же корни.

Пример 2. Уравнения \frac{5}{x-3}=0 и \sqrt{-4-x^2}=0 также равносильны, так как решением каждого из них является  пустое множество.

Пример 3. Неравенства  |x|<3 и x^2<9 равносильны, так как решением и того, и другого является множество (-3;3).

Пример 4. (x-3)^2=1 и x-3=1 – неравносильны. Решение второго уравнения является только 4, а решением первого – и 4, и 2.

Пример 5.  неравенство log_{1-\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)-log_{1+\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)\geq 0 равносильно неравенству x^2-12x+36\leq 0, так как и в том, и в другом неравенствах – решение – это 6.

То есть по виду равносильные неравенства (уравнения) могут быть совсем далеки от сходства.

По сути, когда мы решаем сложные, длинные  уравнения (неравенства), вроде этого log_{1-\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)-log_{1+\frac{x^2}{37}}(x^2-12|x|+37)\geq 0,  и получаем ответ x=6,  у нас ведь в руках оказывается ни что иное, как уравнение (неравенство), равносильное исходному. Вид разный, а суть одна!

Пример 6. Давайте вспомним, как мы решали неравенство (x+6)(x-5)>0 до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

\left[ \begin{gathered}  \begin{cases} x+6>0,& &x-5>0; \end{cases}  &\begin{cases}  x+6<0,& &x-5<0;\end{cases} \end{gathered} \right

То есть неравенство  (x+6)(x-5)>0 и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

\left[ \begin{gathered}  \begin{cases} x+6>0,& &x-5>0; \end{cases}  &\begin{cases}  x+6<0,& &x-5<0;\end{cases} \end{gathered} \right

заменить ее неравенством (x+6)(x-5)>0, которое в два счета решается методом интервалов.

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

 

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

 

Рассмотрим неравенство \log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4.

Представляем 4 в виде логарифма:

\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq \log_{x-3}(x-3)^4.

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть  с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «\geq». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

\left[ \begin{gathered}  \begin{cases} x-3>1,& &(x^2-4x)^2\leq(x-3)^4; \end{cases}  &\begin{cases}  x-3<1,& &(x^2-4x)^2\geq(x-3)^4;\end{cases} \end{gathered} \right

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.

Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все  в левую сторону):

\left[ \begin{gathered}  \begin{cases} x-3-1>0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4\leq 0; \end{cases}  &\begin{cases}  x-3-1<0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4\geq 0;\end{cases} \end{gathered} \right

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с примером 6 мы данную совокупность систем заменим неравенством:

(x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0.

Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства \log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4.

Найдем  сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):

\begin{cases} x-3>0,& &x-3\neq 1, & &(x^2-4x)^2>0; \end{cases}

x\in(3;4)\cup(4;+\infty)

Теперь решим (x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0 (x-4)(x^2-4x-(x-3)^2)(x^2-4x+(x-3)^2)\leq 0

(x-4)(x^2-4x-x^2+6x-9)(x^2-4x+x^2-6x+9)\leq 0

(x-4)(2x-9)(2x^2-10x+9)\leq 0

2(x-4)(2x-9)(x-\frac{5-\sqrt7}{2})(x-\frac{5+\sqrt7}{2})\leq 0

Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

Ответ: (3;\frac{5+\sqrt7}{2}]\cup(4;4,5].

Итак,  вот она, эта «волшебная» таблица:

Заметим, таблица работает при условии f>0,\;g>0,\;h>0,\;h\neq 1

где f,\;g – функции от x,

h – функция или число,

\vee – один из знаков >,\;\geq,\;<,\;\leq

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы – следствия первой. Во второй строке 1 представлена прежде как \log_hh, а в третьей – 0 представлен как \log_h1.

И еще парочка полезных следствий (надеюсь, вам несложно понять откуда они вытекают):

f>0,\;g>0,\;h>0,\;h\neq 1,\;p>0,\;p\neq 1

где f,\;g – функции от x,
h,\;p – функция или число,
\vee – один из знаков >,\;\geq,\;<,\;\leq

 

Метод рационализации в показательных неравенствах

 

Решим неравенство 3^{x^2+3x-4}<3^{5-x}.

Решение исходного неравенства  равносильно решению неравенства

(3-1)(x^2+3x-4-(5-x))<0.

x^2+4x-9< 0;

(x-(-2-\sqrt{13}))(x-(-2+\sqrt{13}))<0;

x\in (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13});

 

Ответ: (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13}).    

Таблица для рационализации в показательных неравенствах:

f,\;g – функции от x, h – функция или число, \vee – один из знаков >,\;\geq,\;<,\;\leq Таблица работает при условии  h>0,\;h\neq 1. Также в третьей, четвертой строках – дополнительно – f\geq 0,g\geq 0

Опять же, по сути, нужно запомнить первую  и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка – частный случай третьей.

 

 

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

 

Работая с неравенствами типа |f|\vee |g|, где f,\;g - функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами: |f|\vee|g|\; \Leftrightarrow\; f^2\vee g^2\;\Leftrightarrow\; (f-g)(f+g)\vee 0

Решим неравенство |x+4-x^2|\leq|x^2-5x+4|

Перейдем к равносильному неравенству:

(x+4-x^2-x^2+5x-4)(x+4-x^2+x^2-5x+4)\leq 0

(6x-2x^2)(8-4x)\leq 0

8x(3-x)(2-x)\leq 0

Ответ: (-\infty;0]\cup[2;3].

Здесь предлагаю посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.

А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.

 
Печать страницы
Комментариев: 27
  1. Татьяна

    Доброе утро и все-таки почему при решении методом рационализации лог неравенства 9 июня 2013г корень
    одна вторая (пять минус корень из семи)не вошел в ответ?
    С уважением

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна, указанному вами корню ОДЗ не позволяет пойти в ответ. Ведь x>3. А \frac{5-\sqrt7}{2}<3

      [ Ответить ]
  2. Татьяна

    Спасибо, поняла

    [ Ответить ]
  3. АКРАМ

    Здравствуйте, огромное спасибо. Решая предпоследнее неравенство получил ответ
    {-5,-3,-1,1}U[3;4]
    Метод классный

    [ Ответить ]
  4. АнЧер

    Метод рационализации не зависит от знака(,=)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Это вопрос или несогласие с чем-то? Непонятно что имеется ввиду…

      [ Ответить ]
      • АнЧер

        Это вопрос. Знак вопроса забыл поставить. И ещё: если в исходном уравнении строгое неравенство, то после рационализации оно становится нестрогим?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Метод рационализации работает при любом знаке >, >, ≥ или ≤.
          Если исходный знак – ≤, например, в неравенстве log_x(x^2-3)\leq 0, то переход будет таким: (x-1)(x^2-3-1)\leq 0 плюс ОДЗ!
          Если log_x(x^2-3)>0, то переход будет таким: (x-1)(x^2-3-1)>0 плюс ОДЗ!

          [ Ответить ]
          • АнЧер

            Спасибо большое
            Просто на одном сайте увидел такие строчки:
            Метод рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство loga(x)f(x)>loga(x)g(x) сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций a(x)>0;a(x)≠1, а также f(x)>0;g(x)>0 и допишем неравенство
            (a(x)−1)(f(x)−g(x))≥0
            из-за этого и удивился. Еще раз спасибо.

            [ Ответить ]
  5. Владимир Билько

    Спасибо за помощь в подготовке к ЕГЭ

    [ Ответить ]
  6. Таня

    спасибо большое, но я что-то не поняла: в школе нам объясняли, что, например logh(f)<1, то есть logh(f)<logh(h), значит f<h и без всяких 1;
    или это только в равенствах?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из того, что log_{h}f<log_hh вовсе не обязательно следует f<h. Переход будет таким в случае h>1.
      А в случае h<1 из первого указанного неравенства следовало бы f>h (не считая ОДЗ).
      Таня, прежде чем осваивать метод рационализации, вам следует обязательно научиться решать неравенства с переменным основанием у логарифма классическим способом.

      [ Ответить ]
  7. Исламия

    Добрый день! :)
    Хочу сказать спасибо за этот сайт! Отличный ресурс для подготовки к ЕГЭ! ;)
    Ближе к делу. К сожалению я не смогла до конца понять, откуда и как получается правая сторона в 1) logh(f)*logh(g) V 0→(h-1)*(f-1)*(p-1)*(g-1) V 0 и 2)f^h V g^h→(f-g)*h V 0 . Буду очень рада, если Вы сможете улучить время на объяснение ;)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Исламия, спасибо.
      1)Главное уяснить, что разность log_af-log_ag имеет тот же знак, что и произведение (a-1)(f-g) (на ОДЗ).
      Можно не запоминать кучу остального мусора (касаемо рационализации с логарифмами).
      Например, нас интересует как решить log_af>1 (или log_af-1>0).
      Разность log_af-1 может быть записана так: log_af-log_aa. Знак последней разности совпадает со знаком (a-1)(f-a). Поэтому решаем неравенство (a-1)(f-a)>0 на ОДЗ.
      Рассмотрим совсем конкретный пример:
      Решим неравенство log_3(x-3)\cdot log_x(x^2-16)>0.
      Знак множителя log_3(x-3) (или что тоже самое, log_3(x-3)-0, или log_3(x-3)-log_31 ) такой же, как знак (3-1)(x-3-1) (на ОДЗ), а знак множителя log_x(x^2-16) такой же как знак (x-1)(x^2-16-1) (на ОДЗ). Поэтому можно исходное неравенство заменить на (3-1)(x-3-1)(x-1)(x^2-16-1)>0 (на ОДЗ!!!).
      В общем виде log_hf\cdot log_pgV0 заменяем на (h-1)(f-1)(p-1)(g-1)V0.
      2) Рассмотрим пример: 5^x-3^x>0.
      Знак 5^x-3^x такой же, как знак (5-3)x, поэтому решить исходное неравенство, – значит решить неравенство 2x>0.
      Спрашивайте, если все равно что непонятно.

      [ Ответить ]
      • Исламия

        Всё понятно, огромное спасибо Вам за это! :)

        [ Ответить ]
  8. Мария

    Расстояние  между  городами  A   и  B   равно  131  км.  Из  города  A   в  город  B
    выехал автомобиль, а через 19 минут 10 секунд следом за ним со скоростью  308/3  км/ч 
    выехал  мотоциклист,  догнал  автомобиль  в  городе  C  и  повернул  обратно.  Когда  он 
    вернулся в  A , автомобиль прибыл в  B . Найдите расстояние от  A  до  C . Ответ дайте 
    в километрах. 
    в этой задаче время мотоциклиста из а в с равно времени обратному пути в А. какие уравнения нужно составить?

    [ Ответить ]
    • Мария

      Извините. я уже разобралась. лучше мне объясните про теорию вероятности, а то я здесь точно не пойму
      Монету  бросают  131  раз.  Какова  вероятность  того,  что  результаты  семи  первых 
      бросков будут одинаковы? Результат округлить до тысячных?

      [ Ответить ]
      • egeMax

        При броске может выпасть орел (c вероятностью \frac{1}{2}) или решка (c вероятностью \frac{1}{2}) . Нам интересно, чтобы
        1) выпали при первых семи бросках все орлы
        или
        2) выпали при первых семи бросках все решки.
        Тогда искомая вероятность такова: (\frac{1}{2})^7+(\frac{1}{2})^7~0,016.

        [ Ответить ]
  9. Антон

    Полезная статья, спасибо)

    [ Ответить ]
  10. Евгений

    в показательном неравенстве утеряно решение х=4

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Евгений, спасибо за замеченную ошибку! Там вообще черти-че было… Заменила неравенством попроще для начала. Начинающим легче будет разобраться…

      [ Ответить ]
  11. Радмир

    На данной странице был еще один пример решения показательных неравенств. Не подскажите, где можно его найти?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Здесь показательные неравенства. Но не через рационализацию.
      И здесь в конце статьи есть одно показательное неравенство (через рационализацию).

      [ Ответить ]
  12. WhatDoesItMeanToBeManly

    А есть где-то решение пятого примера? Там ведь разные основания, как-то преобразовать тоже не получилось. Что же делать?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Перейдите к новому основанию – пологарифмному выражению. Станут одинаковые основания. Начните… Обращайтесь, если что…

      [ Ответить ]
  13. коля

    насколько я понял этот метод не позволяет решать логарифмические неравенства с разными основаниями где логарифм с одним основанием с одной стороны а логарифм с другим основанием с другой стороны

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сначала – к одному основанию привести.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif