Метод рационализации. Часть 2

Давайте вспомним, как мы решали неравенство $(x+6)(x-5)>0$ до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x+6>0,\\x-5>0;\end{cases}\\\begin{cases}x+6<0,\\x-5<0;\end{cases}\end{array}\right.$

То есть неравенство  $(x+6)(x-5)>0$ и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x+6>0,\\x-5>0;\end{cases}\\\begin{cases}x+6<0,\\x-5<0;\end{cases}\end{array}\right.$

заменить ее неравенством $(x+6)(x-5)>0$, которое в два счета решается методом интервалов

Рассмотрим неравенство $\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4$.

Представляем 4 в виде логарифма:

$\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq \log_{x-3}(x-3)^4$.

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть  с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «$\geq$». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x-3>1,\\(x^2-4x)^2\leq(x-3)^4;\end{cases}\\\begin{cases}x-3<1,\\(x^2-4x)^2\geq(x-3)^4;\end{cases}\end{array}\right.$

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.

Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все  в левую сторону):

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x-3-1>0,\\(x^2-4x)^2-(x-3)^4\leq 0;\end{cases}\\\begin{cases}x-3-1<0,\\(x^2-4x)^2-(x-3)^4\geq 0;\end{cases}\end{array}\right.$

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с “Важно!” (см. выше)  мы данную совокупность систем заменим неравенством:

$(x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0$.

Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства $\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4$.

Найдем  сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):

$ \begin{cases} x-3>0,\\x-3\neq 1,\\(x^2-4x)^2>0; \end{cases} $

$x\in(3;4)\cup(4;+\infty)$

Теперь решим

$(x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0$

$(x-4)(x^2-4x-(x-3)^2)(x^2-4x+(x-3)^2)\leq 0$

$(x-4)(x^2-4x-x^2+6x-9)(x^2-4x+x^2-6x+9)\leq 0$

$(x-4)(2x-9)(2x^2-10x+9)\leq 0$

$2(x-4)(2x-9)(x-\frac{5-\sqrt7}{2})(x-\frac{5+\sqrt7}{2})\leq 0$

Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

Ответ: $(3;\frac{5+\sqrt7}{2}]\cup(4;4,5]$