Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.
Поэтому прежде чем мы начать знакомство с методом рационализации, вам хорошо следует разбираться
в равносильности.
Если Вам тема знакома, и Вы просто хотите уточнить приемы рационализации, – вам
сюда.
Важно!
Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать
Давайте вспомним, как мы решали неравенство
до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

То есть неравенство
и последняя совокупность – равносильны между собой.
Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

заменить ее неравенством
, которое в два счета решается методом интервалов
Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.
Метод рационализации в логарифмических неравенствах
Можно и видео посмотреть.
Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать
Рассмотрим неравенство
.
Представляем 4 в виде логарифма:
.
Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «
». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.
Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с “Важно!” (см. выше) мы данную совокупность систем заменим неравенством:
.
Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства
.
Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):


Теперь решим





Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

Ответ:
Метод рационализации в показательных неравенствах
Решим неравенство
.
Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства
.



Ответ:
.
Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль
Работая с неравенствами типа
, где
функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:

Решим неравенство 
Перейдем к равносильному неравенству:




Ответ:
.
Здесь предлагаю посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.
А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.
насколько я понял этот метод не позволяет решать логарифмические неравенства с разными основаниями где логарифм с одним основанием с одной стороны а логарифм с другим основанием с другой стороны
Сначала – к одному основанию привести.