Метод рационализации. Часть 2

2019-10-08

 

метод рационализации Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические  и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Поэтому прежде чем мы начать знакомство с методом рационализации, вам хорошо следует разбираться  в равносильности.
Если Вам тема знакома, и Вы просто хотите уточнить приемы рационализации, – вам сюда.
Кроме того, есть видео по теме 1 2 3 4 

 Важно!

Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Можно и видео посмотреть.

Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решим неравенство 3^{x^2+3x-4}<3^{5-x}.

Решение исходного неравенства  равносильно решению неравенства

(3-1)(x^2+3x-4-(5-x))<0.

x^2+4x-9< 0;

(x-(-2-\sqrt{13}))(x-(-2+\sqrt{13}))<0;

x\in (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13});

 

Ответ: (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13}).    

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Работая с неравенствами типа |f|\vee |g|, где f,\;g - функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:

|f|\vee|g|\; \Leftrightarrow\; f^2\vee g^2\;\Leftrightarrow\; (f-g)(f+g)\vee 0

Решим неравенство |x+4-x^2|\leq|x^2-5x+4|

Перейдем к равносильному неравенству:

(x+4-x^2-x^2+5x-4)(x+4-x^2+x^2-5x+4)\leq 0

(6x-2x^2)(8-4x)\leq 0

8x(3-x)(2-x)\leq 0

786yu

Ответ: (-\infty;0]\cup[2;3].

Здесь предлагаю посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.

А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.

 
Печать страницы
комментариев 29
  1. Татьяна

    Доброе утро и все-таки почему при решении методом рационализации лог неравенства 9 июня 2013г корень
    одна вторая (пять минус корень из семи)не вошел в ответ?
    С уважением

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна, указанному вами корню ОДЗ не позволяет пойти в ответ. Ведь x>3. А \frac{5-\sqrt7}{2}<3

      [ Ответить ]
      • Mark

        Я понимаю, что (…)(…) знак 0, равносильно совокупности двух систем.
        Вопрос заключается в следующем:
        Вы показываете как выводится метод рационализации, переходите от логарифмического неравенства к совокупности двух систем , впрочем что очевидно, заткем переносите в левую часть всё.. Это тоже понятно.
        Но дальше, вы делаете равносильность произведению двух скобок, почему не дроби ( в Данном случае ) ? Ведь у вас в системе один знак строгий, а другой нет.. Надеюсь поняли..
        И следующий вопрос, не могли бы вы, показать, как выводится произведение логарифмов ? Тоже из метода рационализации.. ?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Можно и к дроби выйти. Как вам удобно…
          Я не выходила к дроби, но в системе необходимые ограничения оговорены.

          [ Ответить ]
          • Mark

            А как этот метод объясняется с помощью монотонности функции ?

            [ Ответить ]
  2. Татьяна

    Спасибо, поняла

    [ Ответить ]
  3. АКРАМ

    Здравствуйте, огромное спасибо. Решая предпоследнее неравенство получил ответ
    {-5,-3,-1,1}U[3;4]
    Метод классный

    [ Ответить ]
  4. АнЧер

    Метод рационализации не зависит от знака(,=)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Это вопрос или несогласие с чем-то? Непонятно что имеется ввиду…

      [ Ответить ]
      • АнЧер

        Это вопрос. Знак вопроса забыл поставить. И ещё: если в исходном уравнении строгое неравенство, то после рационализации оно становится нестрогим?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Метод рационализации работает при любом знаке >, >, ≥ или ≤.
          Если исходный знак – ≤, например, в неравенстве log_x(x^2-3)\leq 0, то переход будет таким: (x-1)(x^2-3-1)\leq 0 плюс ОДЗ!
          Если log_x(x^2-3)>0, то переход будет таким: (x-1)(x^2-3-1)>0 плюс ОДЗ!

          [ Ответить ]
          • АнЧер

            Спасибо большое
            Просто на одном сайте увидел такие строчки:
            Метод рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство loga(x)f(x)>loga(x)g(x) сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций a(x)>0;a(x)≠1, а также f(x)>0;g(x)>0 и допишем неравенство
            (a(x)−1)(f(x)−g(x))≥0
            из-за этого и удивился. Еще раз спасибо.

            [ Ответить ]
  5. Владимир Билько

    Спасибо за помощь в подготовке к ЕГЭ

    [ Ответить ]
  6. Таня

    спасибо большое, но я что-то не поняла: в школе нам объясняли, что, например logh(f)<1, то есть logh(f)<logh(h), значит f<h и без всяких 1;
    или это только в равенствах?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из того, что log_{h}f<log_hh вовсе не обязательно следует f<h. Переход будет таким в случае h>1.
      А в случае h<1 из первого указанного неравенства следовало бы f>h (не считая ОДЗ).
      Таня, прежде чем осваивать метод рационализации, вам следует обязательно научиться решать неравенства с переменным основанием у логарифма классическим способом.

      [ Ответить ]
  7. Исламия

    Добрый день! :)
    Хочу сказать спасибо за этот сайт! Отличный ресурс для подготовки к ЕГЭ! ;)
    Ближе к делу. К сожалению я не смогла до конца понять, откуда и как получается правая сторона в 1) logh(f)*logh(g) V 0→(h-1)*(f-1)*(p-1)*(g-1) V 0 и 2)f^h V g^h→(f-g)*h V 0 . Буду очень рада, если Вы сможете улучить время на объяснение ;)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Исламия, спасибо.
      1)Главное уяснить, что разность log_af-log_ag имеет тот же знак, что и произведение (a-1)(f-g) (на ОДЗ).
      Можно не запоминать кучу остального мусора (касаемо рационализации с логарифмами).
      Например, нас интересует как решить log_af>1 (или log_af-1>0).
      Разность log_af-1 может быть записана так: log_af-log_aa. Знак последней разности совпадает со знаком (a-1)(f-a). Поэтому решаем неравенство (a-1)(f-a)>0 на ОДЗ.
      Рассмотрим совсем конкретный пример:
      Решим неравенство log_3(x-3)\cdot log_x(x^2-16)>0.
      Знак множителя log_3(x-3) (или что тоже самое, log_3(x-3)-0, или log_3(x-3)-log_31 ) такой же, как знак (3-1)(x-3-1) (на ОДЗ), а знак множителя log_x(x^2-16) такой же как знак (x-1)(x^2-16-1) (на ОДЗ). Поэтому можно исходное неравенство заменить на (3-1)(x-3-1)(x-1)(x^2-16-1)>0 (на ОДЗ!!!).
      В общем виде log_hf\cdot log_pgV0 заменяем на (h-1)(f-1)(p-1)(g-1)V0.
      2) Рассмотрим пример: 5^x-3^x>0.
      Знак 5^x-3^x такой же, как знак (5-3)x, поэтому решить исходное неравенство, – значит решить неравенство 2x>0.
      Спрашивайте, если все равно что непонятно.

      [ Ответить ]
      • Исламия

        Всё понятно, огромное спасибо Вам за это! :)

        [ Ответить ]
  8. Мария

    Расстояние  между  городами  A   и  B   равно  131  км.  Из  города  A   в  город  B
    выехал автомобиль, а через 19 минут 10 секунд следом за ним со скоростью  308/3  км/ч 
    выехал  мотоциклист,  догнал  автомобиль  в  городе  C  и  повернул  обратно.  Когда  он 
    вернулся в  A , автомобиль прибыл в  B . Найдите расстояние от  A  до  C . Ответ дайте 
    в километрах. 
    в этой задаче время мотоциклиста из а в с равно времени обратному пути в А. какие уравнения нужно составить?

    [ Ответить ]
    • Мария

      Извините. я уже разобралась. лучше мне объясните про теорию вероятности, а то я здесь точно не пойму
      Монету  бросают  131  раз.  Какова  вероятность  того,  что  результаты  семи  первых 
      бросков будут одинаковы? Результат округлить до тысячных?

      [ Ответить ]
      • egeMax

        При броске может выпасть орел (c вероятностью \frac{1}{2}) или решка (c вероятностью \frac{1}{2}) . Нам интересно, чтобы
        1) выпали при первых семи бросках все орлы
        или
        2) выпали при первых семи бросках все решки.
        Тогда искомая вероятность такова: (\frac{1}{2})^7+(\frac{1}{2})^7~0,016.

        [ Ответить ]
  9. Евгений

    в показательном неравенстве утеряно решение х=4

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Евгений, спасибо за замеченную ошибку! Там вообще черти-че было… Заменила неравенством попроще для начала. Начинающим легче будет разобраться…

      [ Ответить ]
  10. Радмир

    На данной странице был еще один пример решения показательных неравенств. Не подскажите, где можно его найти?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Здесь показательные неравенства. Но не через рационализацию.
      И здесь в конце статьи есть одно показательное неравенство (через рационализацию).

      [ Ответить ]
  11. WhatDoesItMeanToBeManly

    А есть где-то решение пятого примера? Там ведь разные основания, как-то преобразовать тоже не получилось. Что же делать?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Перейдите к новому основанию – пологарифмному выражению. Станут одинаковые основания. Начните… Обращайтесь, если что…

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




5 + 8 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif