Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.
Поэтому прежде чем мы начать знакомство с методом рационализации, вам хорошо следует разбираться
в равносильности.
Если Вам тема знакома, и Вы просто хотите уточнить приемы рационализации, – вам
сюда.
Важно!
Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать
Давайте вспомним, как мы решали неравенство $(x+6)(x-5)>0$ до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x+6>0,\\x-5>0;\end{cases}\\\begin{cases}x+6<0,\\x-5<0;\end{cases}\end{array}\right.$
То есть неравенство $(x+6)(x-5)>0$ и последняя совокупность – равносильны между собой.
Также, мы могли бы, имея в руках совокупность
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x+6>0,\\x-5>0;\end{cases}\\\begin{cases}x+6<0,\\x-5<0;\end{cases}\end{array}\right.$
заменить ее неравенством $(x+6)(x-5)>0$, которое в два счета решается методом интервалов
Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.
Метод рационализации в логарифмических неравенствах
Можно и видео посмотреть.
Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать
Рассмотрим неравенство $\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4$.
Представляем 4 в виде логарифма:
$\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq \log_{x-3}(x-3)^4$.
Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «$\geq$». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x-3>1,\\(x^2-4x)^2\leq(x-3)^4;\end{cases}\\\begin{cases}x-3<1,\\(x^2-4x)^2\geq(x-3)^4;\end{cases}\end{array}\right.$
Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.
Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x-3-1>0,\\(x^2-4x)^2-(x-3)^4\leq 0;\end{cases}\\\begin{cases}x-3-1<0,\\(x^2-4x)^2-(x-3)^4\geq 0;\end{cases}\end{array}\right.$
Вам это ничто не напоминает? По аналогии с “Важно!” (см. выше) мы данную совокупность систем заменим неравенством:
$(x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0$.
Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства $\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4$.
Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):
$ \begin{cases} x-3>0,\\x-3\neq 1,\\(x^2-4x)^2>0; \end{cases} $
$x\in(3;4)\cup(4;+\infty)$
Теперь решим
$(x-4)((x^2-4x)^2-(x-3)^4)\leq 0$
$(x-4)(x^2-4x-(x-3)^2)(x^2-4x+(x-3)^2)\leq 0$
$(x-4)(x^2-4x-x^2+6x-9)(x^2-4x+x^2-6x+9)\leq 0$
$(x-4)(2x-9)(2x^2-10x+9)\leq 0$
$2(x-4)(2x-9)(x-\frac{5-\sqrt7}{2})(x-\frac{5+\sqrt7}{2})\leq 0$
Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:
Ответ: $(3;\frac{5+\sqrt7}{2}]\cup(4;4,5]$
Метод рационализации в показательных неравенствах
Решим неравенство $3^{x^2+3x-4}<3^{5-x}$.
Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства
$(3-1)(x^2+3x-4-(5-x))<0$.
$x^2+4x-9< 0;$
$(x-(-2-\sqrt{13}))(x-(-2+\sqrt{13}))<0;$
$x\in (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13});$
Ответ: $(-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13})$.
Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль
Работая с неравенствами типа $|f|\vee |g|$, где $f,\;g -$ функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:
$\color{red}|f|\vee|g|\; \Leftrightarrow\; f^2\vee g^2\;\Leftrightarrow\; (f-g)(f+g)\vee 0$
Решим неравенство $|x+4-x^2|\leq|x^2-5x+4|$
Перейдем к равносильному неравенству:
$(x+4-x^2-x^2+5x-4)(x+4-x^2+x^2-5x+4)\leq 0$
$(6x-2x^2)(8-4x)\leq 0$
$8x(3-x)(2-x)\leq 0$
Ответ: $(-\infty;0]\cup[2;3]$.
Здесь найдете краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.
А здесь найдете несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.
Доброе утро и все-таки почему при решении методом рационализации лог неравенства 9 июня 2013г корень
одна вторая (пять минус корень из семи)не вошел в ответ?
С уважением
[latexpage] Татьяна, указанному вами корню ОДЗ не позволяет пойти в ответ. Ведь $x>3$. А $\frac{5-\sqrt7}{2}<3$
Я понимаю, что (…)(…) знак 0, равносильно совокупности двух систем.
Вопрос заключается в следующем:
Вы показываете как выводится метод рационализации, переходите от логарифмического неравенства к совокупности двух систем , впрочем что очевидно, заткем переносите в левую часть всё.. Это тоже понятно.
Но дальше, вы делаете равносильность произведению двух скобок, почему не дроби ( в Данном случае ) ? Ведь у вас в системе один знак строгий, а другой нет.. Надеюсь поняли..
И следующий вопрос, не могли бы вы, показать, как выводится произведение логарифмов ? Тоже из метода рационализации.. ?
Можно и к дроби выйти. Как вам удобно…
Я не выходила к дроби, но в системе необходимые ограничения оговорены.
А как этот метод объясняется с помощью монотонности функции ?
Спасибо, поняла
Здравствуйте, огромное спасибо. Решая предпоследнее неравенство получил ответ
{-5,-3,-1,1}U[3;4]
Метод классный
Метод рационализации не зависит от знака(,=)
Это вопрос или несогласие с чем-то? Непонятно что имеется ввиду…
Это вопрос. Знак вопроса забыл поставить. И ещё: если в исходном уравнении строгое неравенство, то после рационализации оно становится нестрогим?
Метод рационализации работает при любом знаке >, >, ≥ или ≤.
Если исходный знак – ≤, например, в неравенстве [latexpage] $log_x(x^2-3)\leq 0$, то переход будет таким: $(x-1)(x^2-3-1)\leq 0$ плюс ОДЗ!
Если $log_x(x^2-3)>0$, то переход будет таким: $(x-1)(x^2-3-1)>0$ плюс ОДЗ!
Спасибо большое
Просто на одном сайте увидел такие строчки:
Метод рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство loga(x)f(x)>loga(x)g(x) сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций a(x)>0;a(x)≠1, а также f(x)>0;g(x)>0 и допишем неравенство
(a(x)−1)(f(x)−g(x))≥0
из-за этого и удивился. Еще раз спасибо.
Спасибо за помощь в подготовке к ЕГЭ
спасибо большое, но я что-то не поняла: в школе нам объясняли, что, например logh(f)<1, то есть logh(f)<logh(h), значит f<h и без всяких 1;
или это только в равенствах?
Из того, что [latexpage] $log_{h}f1$.
А в случае $h<1$ из первого указанного неравенства следовало бы $f>h$ (не считая ОДЗ).
Таня, прежде чем осваивать метод рационализации, вам следует обязательно научиться решать неравенства с переменным основанием у логарифма классическим способом.
Добрый день! :)
Хочу сказать спасибо за этот сайт! Отличный ресурс для подготовки к ЕГЭ! ;)
Ближе к делу. К сожалению я не смогла до конца понять, откуда и как получается правая сторона в 1) logh(f)*logh(g) V 0→(h-1)*(f-1)*(p-1)*(g-1) V 0 и 2)f^h V g^h→(f-g)*h V 0 . Буду очень рада, если Вы сможете улучить время на объяснение ;)
Исламия, спасибо.
1)Главное уяснить, что [latexpage] разность $log_af-log_ag$ имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(f-g)$ (на ОДЗ).
Можно не запоминать кучу остального мусора (касаемо рационализации с логарифмами).
Например, нас интересует как решить $log_af>1$ (или $log_af-1>0$).
Разность $log_af-1$ может быть записана так: $log_af-log_aa$. Знак последней разности совпадает со знаком $(a-1)(f-a).$ Поэтому решаем неравенство $(a-1)(f-a)>0$ на ОДЗ.
Рассмотрим совсем конкретный пример:
Решим неравенство $log_3(x-3)\cdot log_x(x^2-16)>0$.
Знак множителя $log_3(x-3)$ (или что тоже самое, $log_3(x-3)-0$, или $log_3(x-3)-log_31$ ) такой же, как знак $(3-1)(x-3-1)$ (на ОДЗ), а знак множителя $log_x(x^2-16)$ такой же как знак $(x-1)(x^2-16-1)$ (на ОДЗ). Поэтому можно исходное неравенство заменить на $(3-1)(x-3-1)(x-1)(x^2-16-1)>0$ (на ОДЗ!!!).
В общем виде $log_hf\cdot log_pgV0$ заменяем на $(h-1)(f-1)(p-1)(g-1)V0.$
2) Рассмотрим пример: $5^x-3^x>0$.
Знак $5^x-3^x$ такой же, как знак $(5-3)x$, поэтому решить исходное неравенство, – значит решить неравенство $2x>0.$
Спрашивайте, если все равно что непонятно.
Всё понятно, огромное спасибо Вам за это! :)
Расстояние между городами A и B равно 131 км. Из города A в город B
выехал автомобиль, а через 19 минут 10 секунд следом за ним со скоростью 308/3 км/ч
выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он
вернулся в A , автомобиль прибыл в B . Найдите расстояние от A до C . Ответ дайте
в километрах.
в этой задаче время мотоциклиста из а в с равно времени обратному пути в А. какие уравнения нужно составить?
Извините. я уже разобралась. лучше мне объясните про теорию вероятности, а то я здесь точно не пойму
Монету бросают 131 раз. Какова вероятность того, что результаты семи первых
бросков будут одинаковы? Результат округлить до тысячных?
[latexpage]При броске может выпасть орел (c вероятностью $\frac{1}{2}$) или решка (c вероятностью $\frac{1}{2}$) . Нам интересно, чтобы
1) выпали при первых семи бросках все орлы
или
2) выпали при первых семи бросках все решки.
Тогда искомая вероятность такова: $(\frac{1}{2})^7+(\frac{1}{2})^7$~$0,016.$
в показательном неравенстве утеряно решение х=4
Евгений, спасибо за замеченную ошибку! Там вообще черти-че было… Заменила неравенством попроще для начала. Начинающим легче будет разобраться…
На данной странице был еще один пример решения показательных неравенств. Не подскажите, где можно его найти?
Здесь показательные неравенства. Но не через рационализацию.
И здесь в конце статьи есть одно показательное неравенство (через рационализацию).
А есть где-то решение пятого примера? Там ведь разные основания, как-то преобразовать тоже не получилось. Что же делать?
Перейдите к новому основанию – пологарифмному выражению. Станут одинаковые основания. Начните… Обращайтесь, если что…