Главная › 14 (С3) Неравенства › Метод рационализации. Часть 3. Примеры

15 Июн 2013

Категория: 14 (С3) НеравенстваЛогарифмыМетод рационализации

Метод рационализации. Часть 3. Примеры

Елена Репина 2013-06-15 2019-08-08

i-1

Рассмотрим несколько примеров категории С3 (№15). Решать будем, используя метод рационализации.

Пример 1.

Решить неравенство $\frac{\sqrt{x^2+5x+6}-\sqrt{28-3x-x^2}}{x^2-x-6}<0$

Решение:

Находим ОДЗ неравенства:

$\begin{cases} &x^2+5x+6\geq 0,& &28-3x-x^2\geq 0,& &x^2-x-6\neq 0;& \end{cases}$

$\begin{cases} &(x+2)(x+3)\geq 0,& &(x+7)(x-4)\leq 0,& &(x-3)(x+2)\neq 0;& \end{cases}$

sdx

$x\in[-7;-3]\cup(-2;3)\cup(3;4]$ .

Исходное неравенство будет иметь тоже решение, что и неравенство

$\frac{x^2+5x+6-28+3x+x^2}{x^2-x-6}<0$ на ОДЗ! согласно методу рационализации.

или

$(x^2+5x+6-28+3x+x^2)(x^2-x-6)<0$ (на ОДЗ)

$2(x^2+4x-11)(x-3)(x+2)<0$ (на ОДЗ)

$2(x-(-2+\sqrt{15}))(x-(-2-\sqrt{15}))(x-3)(x+2)<0$ (на ОДЗ)

wds

И, наконец, с учетом ОДЗ:

hgj

Ответ: $(-2-\sqrt{15};-3]\cup(-2+\sqrt{15};3)$ .

Пример 3.

Решить неравенство $\log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0$

Решение:

ОДЗ данного неравенства:

$\begin{cases} &\frac{x}{3}> 0,& &\frac{x}{3}\neq 1,& &\log_x\sqrt{3-x}>0,& &x>0,& &x\neq 1,& &\sqrt{3-x}>0;& \end{cases}$

Производим преобразования, – они совсем несложные. А вот к третьей строке применяем метод замены множителей:

$\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(\sqrt{3-x}-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}$

И далее применяем рационализацию ко второй скобке в третьей строке:

$\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(3-x-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}$

$\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(2-x)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}$

oplk

Возвращаемся к исходному неравенству

$\log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0$ ,

производим замену множителей:

$(\frac{x}{3}-1)(\log_x\sqrt{3-x}-1)\geq 0$

И снова применяем метод замены множителей ко второму множителю:

$(\frac{x}{3}-1)(x-1)(\sqrt{3-x}-x)\geq 0$

К третьей скобке вновь применяем рационализацию.

Заметим, вообще говоря, $\sqrt{x^2}=|x|$ , но так как в нашем случае (ОДЗ) $x>0,$ то $\sqrt{x^2}=x$ , то есть $\sqrt{3-x}-x=\sqrt{3-x}-\sqrt{x^2}$ .

$(\frac{x}{3}-1)(x-1)(3-x-x^2)\geq 0$

$-(\frac{x}{3}-1)(x-1)(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\geq 0$

wsdh

Учитываем ОДЗ:

Ответ: $[\frac{-1+\sqrt{13}}{2};2)$ .

Пример 4.

Решить неравенство $x(|x^2-1|-2|x-1|)< 0$

Решение:

Применяем метод рационализации:

$x(x^2-1-2(x-1))(x^2-1+2(x-1))<0$

$x(x^2-2x+1)(x^2+2x-3)<0$

$x(x-1)^2(x+3)(x-1)<0$

$x(x-1)^3(x+3)<0$

Снимок экрана 2013-06-17 в 21.55.43

Ответ: $(-\infty;-3)\cup(0;1).$

Пример 5.

Решить неравенство $\frac{4^{x^2+3x-2}-0,5^{2x^2+2x-1}}{5^x-1}\leq 0$

Решение:

Представим $0,5^{2x^2+2x-1}$ как $((\frac{1}{2})^2)^{x^2+x-0,5}$ ,

то есть $0,5^{2x^2+2x-1}=(\frac{1}{4})^{x^2+x-0,5}$

Тогда

$\frac{4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5}}{5^x-1}\leq 0$

или

$(4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5})(5^x-1)\leq 0,$ $5^x\neq 1$

Применяем метод рационализации к каждой из скобок:

$(4-1)(x^2+3x-2+x^2+x-0,5)(5-1)(x-0)\leq 0,$ $x\neq 0$

$(2x^2+4x-2,5)x\leq 0,$ $x\neq 0$

$2x(x-0,5)(x+2,5)\leq 0,$ $x\neq 0$

yutghj

Ответ: $(-\infty;-2,5]\cup(0;0,5].$

Автор: egeMax | комментариев 26 | Метки: метод рационализации, часть С

Печать страницы

комментариев 26

Татьяна

2014-03-16 в 16:17

Огромное спасибо за такие понятные и чёткие объяснения!

[ Ответить ]
Ирина

2014-05-12 в 12:38

Прекрасные пояснения, чётко разобранные примеры. Спасибо всем, кто помогает детям в их изучении математики.

[ Ответить ]
Кристина

2015-02-14 в 04:59

Огромное спасибо за Ваш труд!!! У меня вопрос: “При нахождении ОДЗ в 1 задании х не равен 2, то что 2 содержится в записи ОДЗ-это опечатка?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-02-14 в 09:36
  
  Кристина, спасибо большое! Опечатка была..
  
  [ Ответить ]
  - Andrey
    
    2016-03-03 в 21:12
    
    А если преобразовать начальное неравенство к виду log[x^2+10x+26](log[2x^2+10x+15](x^2+2x)),то по ОДЗ у нас будет xE(-беск;-5)+(-5;-2)+(0;+беск). Почему в этом ОДЗ не присутствует x!=2? Ведь неравенства получаются эквивалентными(преобразование по формуле).Почему в этом случае мы должны учитывать 2^(x-1)^2 -1?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-03-03 в 22:22
      
      Формула $\frac{log_ab}{log_ac}=log_cb$ верна для $a>0$ и $a\neq 1$ (про $b$ и $c$ – не говорю (на них тоже условия накладываются))!
      Так вот нельзя просто подменить $\frac{log_ab}{log_ac}$ новым выражением $log_cb$ .
      Можно подменить лишь с сохранением первоначального ограничения ( $a>0,a\neq 1$ ).
      
      [ Ответить ]
Татьяна

2015-05-07 в 08:27

Спасибо за доступность и четкость объяснения!!! Успехов Вам!

[ Ответить ]
валерия

2016-04-21 в 17:25

здравствуйте ! извините , что вопрос не по теме , но никак не могу понять , как находить примерные значения таких выражений , как log 8 по основанию 3 , log 89 по основанию 2 . Или вот вопрос принадлежит ли log 3 по основанию 2 отрезку [1.5 ;2]?? Помогите , пожалуйста

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-21 в 20:07
  
  $1,5=\frac{3}{2}=log_22^{\frac{3}{2}}=log_2\sqrt8;$
  $2=log_22^2=log_24;$
  $log_2\sqrt8<log_23<log_24.$
  
  [ Ответить ]
Андрей

2016-05-13 в 11:27

Здравствуйте.
Первый пример, Часть 2, применение второго правила рационализации (log[h](f) \/ 1 (h-1)(f-h)) ко второму множителю выражения
(x^2 + 10x + 26 – 1)(log[2x^2 + 10x + 15](x^2 + 2x) – 1) >= 0.

В результате второй множитель преобразуется в (2x^2 + 10x + 15 – 1)(x^2 + 2x – 2x^2 – 10x – 15).

Куда подевалась единица?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-05-13 в 15:31
  
  $1=log_{2x^2 + 10x + 15}(2x^2 + 10x + 15)$
  
  [ Ответить ]
Михаил

2016-06-06 в 13:38

Добрый день! Не могу решить неравенство 27^x + 9^(x+1) + (9^(x+1) – 486) / (3^x – 6) <= 81. Понимаю, что здесь должен применяться метод рационализации, но не пойму, как его применить. После некоторых преобразований получается 3^(4x) + 2 * 3^(3x+2) – 2 * 3^(3x+1) – 2 * 3^(2x+3) – 2 * 3^5 – 3^4 <= 0
А что дальше делать, непонятно… Можете помочь?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-06-06 в 18:49
  
  Условие такое $27^x+9\cdot 9^x+\frac{9\cdot 9^x-486}{3^x-6}\leq 81$ ?
  
  [ Ответить ]
  - Михаил
    
    2016-06-07 в 07:59
    
    Да-да. Это вчера на ЕГЭ такое 15 задание было. Я выше неправильно преобразовал: теперь, если обозначить 3^x как t, получается t^3 + 12t^2 – 54t – 81 = 0 в зависимости от того 3^x > или < 6. Но всё равно решить не могу.
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-06-07 в 08:41
      
      $27^x+9\cdot 9^x+\frac{9\cdot 9^x-486}{3^x-6}\leq 81.$
      Пусть $3^x=m.$
      $m^3+9m^2+\frac{9m^2-486}{m-6}\leq 81;$
      $\frac{m^4-6m^3+9m^3-54m^2+9m^2-486-81m+486}{m-5}\leq 0;$
      $\frac{m^4+3m^3-45m^2-81m}{m-6}\leq 0;$
      $\frac{m(m^3+3m^2-45m-81)}{m-6}\leq 0;$
      $\frac{m(m-9)(m+3)^2}{m-6}\leq 0;$
      …
      
      [ Ответить ]
      - Михаил
        
        2016-06-07 в 11:24
        
        Спасибо за помощь! Получается, чтобы это неравенство решалось, вместо первого плюса должен быть минус, а в дроби вместо минусов должны быть плюсы.
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-06-07 в 11:29
        
        Я ничего не поняла из сказанного вами… кроме первого предложения. Я ничего не меняла в условии. Что вы дали, то и решила…
        
        [ Ответить ]
      - Михаил
        
        2016-06-07 в 16:09
        
        Корни 9 и -3 будут у $m^3 -3m^2 -45m-81$ , а не у $m^3 +3m^2 -45m-81$ . Поэтому я говорю, что начальное условие надо немного подкорректировать.
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-06-07 в 16:17
        
        Еще раз. Я не корректировала условие!!!! Корни 9 и -3 получаются из уравнения, что вы дали, ничего в нем менять не нужно….
        
        [ Ответить ]
      - Михаил
        
        2016-06-07 в 17:40
        
        Ну как же? Если подставить -3 в $m^3 +3m^2 -45m-81$ , то получаем $-3^3 +3^3 +45\cdot 3-81=54$ .
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-06-07 в 17:50
        
        Да, да…
        Запутали себя и меня неверным условием(((
        
        [ Ответить ]
      - инга
        
        2016-06-22 в 12:32
        
        Поверьте пожалуйста у меня такое же неравенство только знак 27^x- а дальше так ответ {1} и(log основание3 по 6;2]? Мне не защитали
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-06-22 в 23:31
        
        Поздно увидела. Наверное, уже неактуально…
        В любом случае, нужно видеть решение.
        
        [ Ответить ]
Михаил

2016-06-23 в 19:09

Инга, ответ (-беск.; 1] U (log_3 6; log_3 14].

[ Ответить ]
Мария

2017-05-16 в 04:22

Здравствуйте. Я где-то читала , что у экспертов егэ, которые проверяют наши работы, нехорошее отношение к методу рационализации. Мол, что за метод рационализации, “с потолка” взялся, в школе его не проходят.Скажите, пожалуйста, правда ли это? Я как-то боюсь использовать его на реальном экзамене.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-05-16 в 07:42
  
  Почему ж в школе не проходят? Особенно в матклассах и матшколах ещё как проходят!
  “С потолка” – забавно)). Необоснованные страхи – лишнее.
  
  [ Ответить ]

Метод рационализации. Часть 3. Примеры

Добавить комментарий Отменить ответ