Метод рационализации. Часть 3. Примеры

2015-02-17

Рассмотрим несколько примеров категории С3 (№17 по новому). Решать будем, используя метод рационализации.

 

Пример 1. Решить неравенство

\frac{\log_{2^{(x-1)^2-1}}(\log_{2x^2+10x+15}(x^2 + 2x))}{\log_{2^{(x-1)^2-1}}(x^2+10x+26)}\geq 0

Решение:

Часть I. Нахождение ОДЗ.

Начинаем с ОДЗ. Помним, что для логарифма (log_ab) обязательно выполнение следующих условий: a>0,\;b>0,\;a\neq 1. К тому же, у нас знаменатель не должен равняться нулю (последняя строка системы).

1)

(1), (3), (4) и (6) строчки системы верны при любых значениях x.

Имеем следующую систему неравенств:

\begin{cases} &2^{(x-1)^2-1}\neq 1,& &x^2 + 2x>0,& &x^2+10x+26\neq 1;& \end{cases}

Откуда

\begin{cases} &(x-1)^2\neq 1,&  &x(x + 2)>0,&  &x^2+10x+25\neq 0;& \end{cases}

И далее

\begin{cases} &x-1\neq \pm 1,&  &x(x + 2)>0,&  &(x+5)^2\neq 0;& \end{cases}

\begin{cases} &x\neq 0,\;x\neq 2,&  &x(x + 2)>0,&  &x+5\neq 0;& \end{cases}

Наконец,

\begin{cases} x\neq 2,& &x(x + 2)>0,& &x\neq -5;& \end{cases}

2)  А также должно выполняться неравенство \log_{2x^2+10x+15}(x^2 + 2x))>0, которое рассмотрим, применяя метод рационализации.

\log_{2x^2+10x+15}(x^2 + 2x)>0 заменяем на

(2x^2+10x+15-1)(x^2 + 2x-1)>0 при условии

2x^2+10x+15>0 и 2x^2+10x+15\neq 1 и x^2 + 2x>0.

То есть

\begin{cases} (2x^2+10x+14)(x^2 + 2x-1)>0,& &2x^2+10x+15>0,& &2x^2+10x+15\neq 1,& &x^2 + 2x>0;& \end{cases}

\begin{cases} (x-(-1+\sqrt2))(x-(-1-\sqrt2))>0,& &x(x+2)>0;& \end{cases}

Итак, учитывая п.1 и п.2, получаем допустимые значения x для неравенства:

x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-1-\sqrt2)\cup (-1+\sqrt2;2)\cup (2;+\infty)

Часть II. 

Теперь приступим к преобразованию самого неравенства. Согласно свойству логарифмов \frac{\log_ca}{\log_cb}=\log_ba из основного неравенства вытекает:

\log_{x^2+10x+26}(\log_{2x^2+10x+15}(x^2 + 2x))\geq 0

Применяем следующее правило рационализации:

(x^2+10x+26-1)(\log_{2x^2+10x+15}(x^2 + 2x)-1)\geq 0.

И после этого ко второму множителю применяем вот такое правило рационализации:

Получаем:

(x^2+10x+26-1)(2x^2+10x+15-1)(x^2 + 2x-2x^2-10x-15)\geq 0

(x^2+10x+25)(2x^2+10x+14)(-x^2 -8x-15)\geq 0

Домножаем обе части неравенства на -1 и сокращаем обе части неравенства на  2x^2+10x+14, так как при всех x этот квадратный трехчлен принимает положительные значения:

 (x^2+10x+25)(x^2 +8x+15)\leq 0

Откуда (x+5)^2(x+3)(x+5)\leq 0 или (x+5)^3(x+3)\leq 0

Теперь это решение x\in[-5;-3] следует подчинить ОДЗ. В результате получаем, что x\in (-5;-3]

Ответ: (-5;-3]

Пример 2. 

Решить неравенство \frac{\sqrt{x^2+5x+6}-\sqrt{28-3x-x^2}}{x^2-x-6}<0

Решение:

Находим ОДЗ неравенства:

\begin{cases}  &x^2+5x+6\geq 0,&  &28-3x-x^2\geq 0,&  &x^2-x-6\neq 0;& \end{cases}

\begin{cases}  &(x+2)(x+3)\geq 0,&  &(x+7)(x-4)\leq 0,&  &(x-3)(x+2)\neq 0;& \end{cases}

x\in[-7;-3]\cup(-2;3)\cup(3;4].

Исходное неравенство будет иметь тоже решение, что и  неравенство

\frac{x^2+5x+6-28+3x+x^2}{x^2-x-6}<0 на ОДЗ! согласно методу рационализации.

или (x^2+5x+6-28+3x+x^2)(x^2-x-6)<0 (на ОДЗ)

2(x^2+4x-11)(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

2(x-(-2+\sqrt{15}))(x-(-2-\sqrt{15}))(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

И, наконец, с учетом ОДЗ:

Ответ: (-2-\sqrt{15};-3]\cup(-2+\sqrt{15};3).

Пример 3.

Решить неравенство \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0

 Решение:

ОДЗ данного неравенства:

\begin{cases} &\frac{x}{3}> 0,&  &\frac{x}{3}\neq 1,&  &\log_x\sqrt{3-x}>0,&  &x>0,&  &x\neq 1,&  &\sqrt{3-x}>0;& \end{cases}

Производим преобразования, – они совсем несложные. А вот к третьей строке применяем метод замены множителей: 

\begin{cases} &x> 0,&  &x\neq 3,&  &(x-1)(\sqrt{3-x}-1)>0,&  &x\neq 1;&  \end{cases}

И далее применяем рационализацию ко второй скобке в третьей строке:

 

\begin{cases} &x> 0,&  &x\neq 3,&  &(x-1)(3-x-1)>0,&  &x\neq 1;&  \end{cases}

\begin{cases} &x> 0,&  &x\neq 3,&  &(x-1)(2-x)>0,&  &x\neq 1;&  \end{cases}

Возвращаемся к исходному неравенству

 \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0,

производим замену множителей:

(\frac{x}{3}-1)(\log_x\sqrt{3-x}-1)\geq 0

И снова применяем метод замены множителей ко второму множителю:

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(\sqrt{3-x}-x)\geq 0

К третьей скобке вновь применяем рационализацию:

Заметим, вообще говоря, \sqrt{x^2}=|x|, но так как в нашем случае (ОДЗ) x>0, то \sqrt{x^2}=x, то есть \sqrt{3-x}-x=\sqrt{3-x}-\sqrt{x^2}.

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(3-x-x^2)\geq 0

-(\frac{x}{3}-1)(x-1)(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\geq 0

Учитываем ОДЗ:

Ответ: [\frac{-1+\sqrt{13}}{2};2).

Пример 4. 

Решить неравенство x(|x^2-1|-2|x-1|)< 0

Решение:

Применяем следующий прием рационализации:

x(x^2-1-2(x-1))(x^2-1+2(x-1))<0

x(x^2-2x+1)(x^2+2x-3)<0

x(x-1)^2(x+3)(x-1)<0

x(x-1)^3(x+3)<0

Ответ: (-\infty;-3)\cup(0;1).

Пример 5. 

Решить неравенство \frac{4^{x^2+3x-2}-0,5^{2x^2+2x-1}}{5^x-1}\leq 0

Решение:

Представим 0,5^{2x^2+2x-1} как ((\frac{1}{2})^2)^{x^2+x-0,5},

то есть 0,5^{2x^2+2x-1}=(\frac{1}{4})^{x^2+x-0,5}

Тогда

\frac{4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5}}{5^x-1}\leq 0

или

(4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5})(5^x-1)\leq 0,   5^x\neq 1

Применяем следующий прием рационализации  к каждой из скобок:

(4-1)(x^2+3x-2+x^2+x-0,5)(5-1)(x-0)\leq 0,   x\neq 0

(2x^2+4x-2,5)x\leq 0,   x\neq 0

 2x(x-0,5)(x+2,5)\leq 0,   x\neq 0

Ответ: (-\infty;-2,5]\cup(0;0,5].

Печать страницы
Комментариев: 24
  1. Татьяна

    Огромное спасибо за такие понятные и чёткие объяснения!

    [ Ответить ]
  2. Ирина

    Прекрасные пояснения, чётко разобранные примеры. Спасибо всем, кто помогает детям в их изучении математики.

    [ Ответить ]
  3. Кристина

    Огромное спасибо за Ваш труд!!! У меня вопрос: “При нахождении ОДЗ в 1 задании х не равен 2, то что 2 содержится в записи ОДЗ-это опечатка?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Кристина, спасибо большое! Опечатка была..

      [ Ответить ]
      • Andrey

        А если преобразовать начальное неравенство к виду log[x^2+10x+26](log[2x^2+10x+15](x^2+2x)),то по ОДЗ у нас будет xE(-беск;-5)+(-5;-2)+(0;+беск). Почему в этом ОДЗ не присутствует x!=2? Ведь неравенства получаются эквивалентными(преобразование по формуле).Почему в этом случае мы должны учитывать 2^(x-1)^2 -1?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Формула \frac{log_ab}{log_ac}=log_cb верна для a>0 и a\neq 1 (про b и c – не говорю (на них тоже условия накладываются))!
          Так вот нельзя просто подменить \frac{log_ab}{log_ac} новым выражением log_cb.
          Можно подменить лишь с сохранением первоначального ограничения (a>0,a\neq 1).

          [ Ответить ]
  4. Татьяна

    Спасибо за доступность и четкость объяснения!!! Успехов Вам!

    [ Ответить ]
  5. валерия

    здравствуйте ! извините , что вопрос не по теме , но никак не могу понять , как находить примерные значения таких выражений , как log 8 по основанию 3 , log 89 по основанию 2 . Или вот вопрос принадлежит ли log 3 по основанию 2 отрезку [1.5 ;2]?? Помогите , пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1,5=\frac{3}{2}=log_22^{\frac{3}{2}}=log_2\sqrt8;
      2=log_22^2=log_24;
      log_2\sqrt8<log_23<log_24.

      [ Ответить ]
  6. Андрей

    Здравствуйте.
    Первый пример, Часть 2, применение второго правила рационализации (log[h](f) \/ 1 (h-1)(f-h)) ко второму множителю выражения
    (x^2 + 10x + 26 – 1)(log[2x^2 + 10x + 15](x^2 + 2x) – 1) >= 0.

    В результате второй множитель преобразуется в (2x^2 + 10x + 15 – 1)(x^2 + 2x – 2x^2 – 10x – 15).

    Куда подевалась единица?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1=log_{2x^2 + 10x + 15}(2x^2 + 10x + 15)

      [ Ответить ]
  7. Михаил

    Добрый день! Не могу решить неравенство 27^x + 9^(x+1) + (9^(x+1) – 486) / (3^x – 6) <= 81. Понимаю, что здесь должен применяться метод рационализации, но не пойму, как его применить. После некоторых преобразований получается 3^(4x) + 2 * 3^(3x+2) – 2 * 3^(3x+1) – 2 * 3^(2x+3) – 2 * 3^5 – 3^4 <= 0
    А что дальше делать, непонятно… Можете помочь?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Условие такое 27^x+9\cdot 9^x+\frac{9\cdot 9^x-486}{3^x-6}\leq 81?

      [ Ответить ]
      • Михаил

        Да-да. Это вчера на ЕГЭ такое 15 задание было. Я выше неправильно преобразовал: теперь, если обозначить 3^x как t, получается t^3 + 12t^2 – 54t – 81 = 0 в зависимости от того 3^x > или < 6. Но всё равно решить не могу.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          27^x+9\cdot 9^x+\frac{9\cdot 9^x-486}{3^x-6}\leq 81.
          Пусть 3^x=m.
          m^3+9m^2+\frac{9m^2-486}{m-6}\leq 81;
          \frac{m^4-6m^3+9m^3-54m^2+9m^2-486-81m+486}{m-5}\leq 0;
          \frac{m^4+3m^3-45m^2-81m}{m-6}\leq 0;
          \frac{m(m^3+3m^2-45m-81)}{m-6}\leq 0;
          \frac{m(m-9)(m+3)^2}{m-6}\leq 0;

          [ Ответить ]
          • Михаил

            Спасибо за помощь! Получается, чтобы это неравенство решалось, вместо первого плюса должен быть минус, а в дроби вместо минусов должны быть плюсы.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Я ничего не поняла из сказанного вами… кроме первого предложения. Я ничего не меняла в условии. Что вы дали, то и решила…

            [ Ответить ]
          • Михаил

            Корни 9 и -3 будут у m^3 -3m^2 -45m-81, а не у m^3 +3m^2 -45m-81. Поэтому я говорю, что начальное условие надо немного подкорректировать.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Еще раз. Я не корректировала условие!!!! Корни 9 и -3 получаются из уравнения, что вы дали, ничего в нем менять не нужно….

            [ Ответить ]
          • Михаил

            Ну как же? Если подставить -3 в m^3 +3m^2 -45m-81, то получаем -3^3 +3^3 +45\cdot 3-81=54.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Да, да…
            Запутали себя и меня неверным условием(((

            [ Ответить ]
          • инга

            Поверьте пожалуйста у меня такое же неравенство только знак 27^x- а дальше так ответ {1} и(log основание3 по 6;2]? Мне не защитали

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Поздно увидела. Наверное, уже неактуально…
            В любом случае, нужно видеть решение.

            [ Ответить ]
  8. Михаил

    Инга, ответ (-беск.; 1] U (log_3 6; log_3 14].

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif