Неравенство с двумя модулями. Часть II

«Неравенство с двумя модулями. Часть I» смотрим здесь.

Решим неравенство $ |4-x|+|x^2+x-6|\geq 7$

Правило раскрытия модуля говорит, что раскрытие модуля зависит от того, какой знак имеет подмодульное выражение. Стало быть, нас будут интересовать нули подмодульных выражений, – смена знака подмодульного выражения возможна только в них.

В нашем случае нуль первого модуля – это 4,  нули второго подмодульного выражения – это -3 и 2.

Вся числовая ось указанными точками разбивается на 4 промежутка. Нам предстоит поработать с неравенством в каждом из них.

Если у вас возник вопрос, почему, например, в крайнем левом промежутке у нас число -3 не включено, а на следующем включено (аналогично с другими), – ответим на него. На самом деле,  – все равно, куда именно вы включите концы промежутков. Лишь бы при склейке все промежутки давали бы нам всю числовую прямую, если мы работаем на R.

Выясним, как распределяются знаки подмодульных выражений на каждом из промежутков.

Начнем с первого подмодульного выражения. Очевидно, что при $x>4$ знак выражения $4-x$ – минус, то есть $4-x<0$, а при $x\leq 4$    $4-x\geq0$.

«Переключателями» же знака второго подмодульного выражения из неравенства являются точки -3 и 2. Если $-3\leq x\leq 2$, то  $x^2+x-6\leq 0,$ при остальных $x$ имеем: $x^2+x-6>0$. Если вам не кажутся очевидными знаки этого подмодульного выражения на указанных промежутках, загляните сюда (метод интервалов).

Мы замечаем, что на двух промежутках (первом и третьем слева) знаки подмодульных выражений распределены одинаково.

Итак, первый случай:

Предстоит решить систему (мы объединили первый и третий промежутки в совокупность):

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x<-3,\\2<x\leq 4;\end{array}\right.\\4-x+x^2+x-6\geq 7;\end{cases}$

Во второй строке системы приводим подобные слагаемые и раскладываем на множители:

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x<-3,\\2<x\leq 4;\end{array}\right.\\(x-3)(x+3)\geq 0;\end{cases}$

Теперь переходим на ось, пересекаем два множества между собой:

$x\in(-\infty;-3)\cup[3;4]$.

Второй случай: 

$\begin{cases}
-3\leq x\leq 2,
\\4-x-x^2-x+6\geq 7;
\end{cases}$

$\begin{cases}
-3\leq x\leq 2,
\\x^2+2x-3\leq 0;
\end{cases}$

$\begin{cases}
-3\leq x\leq 2,
\\(x-1)(x+3)\leq 0;
\end{cases}$

$x\in[-3;1]$.

Третий случай: 

$\begin{cases}
x>4,
\\-4+x+x^2+x-6\geq 7;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x>4,
\\x^2+2x-17\geq 0;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x>4,
\\(x-(-1+3\sqrt2))(x-(-1-3\sqrt2))\geq 0;
\end{cases}$

$x\in(4;+\infty)$.

Нам осталось объединить решения каждого из случаев  между собой:

Ответ: $(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$

Для тренировки предлагаю Вам решить следующее неравенство:

$|x^2-3x+2|+|2x+1|\leq 5$

Ответ: + показать