Главная › Справочные материалы › Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

24 Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Елена Репина 2013-07-24 2015-09-16

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Свойства параллелограмма

свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

свойства параллелограмма

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

свойства параллелограмма 5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали $d_1,\;d_2$ параллелограмма и стороны
$a,\;b$ связаны следующим соотношением: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: $AB=CD,\;BC=AD$

2. Противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C,\;\angle B=\angle D$

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: $AB=CD,\;AB||CD$

5. $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Автор: egeMax | комментариев 7

Печать страницы

комментариев 7

Дима

2015-09-16 в 19:57

Так и не понял седьмое свойство параллелограмма. Можно сделать рисунок с обозначением сторон и более подробное объяснить

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-09-16 в 20:41
  
  Рисунок вставила. А само свойство доказывается через теорему косинусов.
  Пусть $AB=a,BC=b$ .
  Имеем
  (1): $d_1^2=a^2+b^2-2abcosB$ и
  (2): $d_2^2=a^2+b^2-2abcosA$ .
  При этом $\angle A=180^{\circ}-\angle B$ , то есть $cosB=-cosA.$
  Складывая (1) и (2), получаем: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).$
  
  [ Ответить ]
Никита

2016-05-19 в 17:24

Свойств параллелограмма намного больше. Прошу рассмотреть хотя бы 11 базовых, которые идут в программе 8-го класса.

[ Ответить ]
Сова

2017-08-02 в 02:40

Где есть чёткое определение СМЕЖНЫХ УГЛОВ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА? В каком учебнике?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-08-02 в 11:03
  
  Не знаю
  
  [ Ответить ]
СЕА

2021-10-26 в 20:35

Спасибо большое :)))))
очень сильно помогло и объяснение понятное и чёткое!!!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2021-10-26 в 23:12
  
  :)
  
  [ Ответить ]

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Добавить комментарий Отменить ответ