Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно  параллельны.

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма  попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали $d_1,\;d_2$ параллелограмма и стороны
$a,\;b$ связаны следующим соотношением: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: $AB=CD,\;BC=AD$

2. Противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C,\;\angle B=\angle D$

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: $AB=CD,\;AB||CD$

5. $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства  применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.