Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

2015-09-16

Определение параллелограмма

 

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно  параллельны.

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Свойства параллелограмма

 

1. Противоположные стороны параллелограмма  попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

 

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

 

 

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

 

 

 

 

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

 

 

 

7. Диагонали  d_1,\;d_2 параллелограмма и стороны
a,\;b связаны следующим соотношением: d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)

 

 

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

 

 

Признаки параллелограмма

 

Четырехугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: AB=CD,\;BC=AD

2. Противоположные углы попарно равны: \angle A=\angle C,\;\angle B=\angle D

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: AB=CD,\;AB||CD

5. AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2

 

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства  применяются в задачах:


Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

 

 

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Дима

    Так и не понял седьмое свойство параллелограмма. Можно сделать рисунок с обозначением сторон и более подробное объяснить

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Рисунок вставила. А само свойство доказывается через теорему косинусов.
      Пусть AB=a,BC=b.
      Имеем
      (1): d_1^2=a^2+b^2-2abcosB и
      (2): d_2^2=a^2+b^2-2abcosA.
      При этом \angle A=180^{\circ}-\angle B, то есть cosB=-cosA.
      Складывая (1) и (2), получаем: d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).

      [ Ответить ]
  2. Никита

    Свойств параллелограмма намного больше. Прошу рассмотреть хотя бы 11 базовых, которые идут в программе 8-го класса.

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif