Первообразная. Интеграл

Математики любят всякому действию сопоставить противодействие.

Сложению противодействует вычитание, умножению – деление, возведению в степень – извлечение корня и т.п.

И противодействие  дифференцированию (то есть взятию производной) есть! Это интегрирование.

Но давайте по порядку.

Первообразная

Первообразной  функцией  (также называют  антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная  которой (на всей области определения) равна f, то есть $\color{red}{F}’ = f$.

Вычисление первообразной называется интегрированием.

Пример  + показать

Множество первообразных функций для $f(x)$ называют неопределенным интегралом функции y = f(x) и обозначают  $\int f(x)dx$:

 $\color{red}\int f(x)dx=F(x)+C$

Определенный интеграл

Определенный интеграл записывается так: $\color{red}\int_a^{b} f(x)dx$

То есть у нас появляются границы интегрирования. $a$ – нижняя граница интегрирования, $b$ – верхняя.

Так вот формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл следующим образом:

$\color{red}\int_a^{b} f(x)dx=F|_a^b=F(b)-F(a)$

При вычислении первообразных вы можете пользоваться таблицей первообразных.

Пример:  + показать

Геометрический смысл определенного интеграла

Сначала нам придется познакомиться с понятием «криволинейная трапеция».

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой неотрицательной непрерывной функции $y=f(x)$, осью $ox$  и прямыми $x=a,\;x=b$:

Так вот, с геометрической точки зрения площадь $S$ криволинейной трапеции,  ограниченной графиком  функции $y=f(x)$, осью $ox$  и прямыми $x=a,\;x=b$ есть интеграл от $f(x)$ на отрезке $[a;b]$:

$\color{red}S=\int_a^bf(x)dx$

Примеры: + показать