10 Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Первообразная. Интеграл

Елена Репина 2013-08-10 2018-12-01

Математики любят всякому действию сопоставить противодействие.

Сложению противодействует вычитание, умножению – деление, возведению в степень – извлечение корня и т.п.

И противодействие дифференцированию (то есть взятию производной) есть! Это интегрирование.

Но давайте по порядку.

Первообразная

Первообразной функцией (также называют антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть ${F}' = f$ .

Вычисление первообразной называется интегрированием.

Пример:

+ показать

Множество первообразных функций для $f(x)$ называют неопределенным интегралом функции y = f(x) и обозначают $\int f(x)dx$ :

$\int f(x)dx=F(x)+C$

Определенный интеграл

Определенный интеграл записывается так: $\int_a^{b} f(x)dx$

То есть у нас появляются границы интегрирования. $a$ – нижняя граница интегрирования, $b$ – верхняя.

Так вот формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл следующим образом:

$\int_a^{b} f(x)dx=F|_a^b=F(b)-F(a)$

При вычислении первообразных вы можете пользоваться таблицей первообразных.

Пример:

+ показать

Геометрический смысл определенного интеграла

Сначала нам придется познакомиться с понятием «криволинейная трапеция».

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой неотрицательной непрерывной функции $y=f(x)$ , осью $ox$ и прямыми $x=a,\;x=b$ :

Так вот, с геометрической точки зрения площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ , осью $ox$ и прямыми $x=a,\;x=b$ есть интеграл от $f(x)$ на отрезке $[a;b]$ :

$S=\int_a^bf(x)dx$

Примеры:

+ показать

Автор: egeMax | комментария 4

Печать страницы

комментария 4

ololoy

2016-06-02 в 16:49

Почему у вас выражение (2-3) в квадрате, а не в кубе?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-06-02 в 20:57
  
  Описка. Спасибо!
  
  [ Ответить ]
  - Илья
    
    2018-12-01 в 00:47
    
    У вас ошибка, ошиблись со знаком, правильный ответ 9
    (8/3+1/3) а у вас «минус»
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2018-12-01 в 21:40
      
      Спасибо, милчеловек!
      
      [ Ответить ]

Первообразная. Интеграл

Первообразная

Определенный интеграл

Геометрический смысл определенного интеграла

Добавить комментарий Отменить ответ