Подобные треугольники

2014-01-31

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

 II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
 III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрисмедианвысот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

 

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники  AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – k=\frac{AO}{OC}.

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете  подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Печать страницы
комментариев 47
  1. Вася

    Помогите решить, пожалуйста.
    Диагональ АС трапеции ABCD (AB парал. CD)) делит ее на два подобн. треугольника. Найдите площадь трапеции, если AB=25cм, ВC=20 см, AC=15см.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Главное – понять какая сторона какой соответствует. Углы подскажут…
      Тогда AC:DC=AB:AC=BC:AD.
      15:DC=25:15=20:AD, откуда находим DC,AD.
      Далее площадь легко найти…

      [ Ответить ]
  2. denis

    Помогите решить задачу
    AB=32см BC=16см AC=24см AD=18см CD=12см найдите подобные треугольники и докажите их подобие

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Треугольник ABC подобен треугольнику ACD по третьему признаку.
      Действительно, AB:AC=BC:CD=AC:AD=4:3.

      [ Ответить ]
  3. denis

    Спасибо большое:)

    [ Ответить ]
  4. Аля

    Помогите доказать,пожалуйста!В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АК и ВМ.Доказать,что треугольник АКС и ВМС подобны.//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Аля, используйте тот факт, что общая гипотенуза двух треугольников является диаметром описанной около них окружности.
      Это приведет вас к равенству соответствующих вписанных углов, опирающихся на одну дугу.

      [ Ответить ]
  5. Гена

    //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif

    [ Ответить ]
  6. Dima

    длина отрезка АB 27 смю Точка N находится между точками А и B АN:NB=5:4. Найдите AN и NB

    [ Ответить ]
  7. Dima

    //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif

    [ Ответить ]
  8. Dima

    памагите написать

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть AN=5x, NB=4x. Тогда 9x=27.
      Тогда AN=5*3=15, BN=4*3=12.

      [ Ответить ]
  9. Dima

    спасибо большое

    [ Ответить ]
  10. София

    Как опредилить что на что надо делить чтобы получить коэфициент подобия? Если есть два треугольника, один больше другой меньше, они подобны. То надо меньшую сторону(то-есть из маленького треугольника) поделить на сторону из большего или наоборот?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      София, когда говорят, например, что коэффициент подобия треугольников 2, или 1/2 – это означает одно и тоже.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четырнадцать + двадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif