Подобные треугольники

2014-01-31

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

 II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
 III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрисмедианвысот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

 

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники  AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – k=\frac{AO}{OC}.

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете  подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Печать страницы
Комментариев: 47
  1. Виктория

    Помогите пожалуйста решить вот такую задачу окруж. пересекает АВ и АС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР если АК=14, а сторона АС в 2 раза больше ВС. Буду очень благодарна. Спасибо

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Треугольники AKP,ACB подобны по двум углам.
      AK:AC=KP:BС, откуда KP=7.

      [ Ответить ]
      • Виктория

        Спасибо!:-)

        [ Ответить ]
      • Сергей

        По условию!!!

        [ Ответить ]
  2. Сергей

    очень интересная и полезная информация спасибо

    [ Ответить ]
  3. Полина

    Найти отношение периметров подобных треугольников ∆ и ∆,
    если = 18, = 6.
    Помогите)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не понятно, что такое 18 и 6…

      [ Ответить ]
      • Полина

        Найти отношение периметров подобных треугольников ∆ и ∆,
        если = 18см, = 6см.

        [ Ответить ]
      • Полина

        Найти отношение периметров подобных треугольников ∆АВС и ∆КМН,
        если ВС = 18, КМ = 6.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
          Коэффициент подобия в вашем случае, судя по-всему, равен 3.
          По хорошему, если BC и KM сходственные стороны, то следовало бы написать вместо ∆KMH – ∆HKM…

          [ Ответить ]
          • cool

            здравствуйте! egemax

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Здравствуйте!

            [ Ответить ]
  4. Наталья

    В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) BD — биссектриса. Площади треугольников ABD и BCD относятся как 17:8. Найдите синус угла ABC.

    [ Ответить ]
  5. Арина

    Добрый вечер, помогите пожалуйста решить такую задачу:
    Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN – касательные к окружности, описанной около треугольника KLN/
    a) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть \angle NLM=\alpha. Тогда и \angle KNL=\alpha.
      Треугольник LMN – равнобедренный.
      Но и KNL – равнобедренный, так как вписанный угол K опирается на дугу в 2\alpha (подумайте, почему…).
      Итак, треугольники указанные подобны, так как оба равнобедренные с равными углами при основании (то есть по двум углам).

      [ Ответить ]
      • Даша

        Почему треугольник LMN равнобедренный?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Даша, вы про какую задачу

          [ Ответить ]
          • Кирилл

            Про эту, конечно же. Которая с трапецией.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Не всегда вижу, к чему идет коммент…
            Потому что по условию MN,ML – касательные к окр. По свойству отрезков касательных.

            [ Ответить ]
  6. Саша

    Помогите решить задачу:Стороны прямоугольника пропорциональны числам 3,4,5.Какими будут стороны подобного ему треугольника с периметром 58,5.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Прямоугольник не может быть подобен треугольнику. Видимо, имелось ввиду – Стороны прямоугольного треугольника пропорциональны числам 3,4,5.
      Пусть k – коэффициент подобия. Тогда стороны второго треугольника – 3k,4k,5k.
      А поскольку его периметр – 58,5, то 12k=58,5.

      [ Ответить ]
  7. Саша

    2. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –если я найду k мне еще надо найти сторону то как?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вопрос неточен… Нет конкретики.

      [ Ответить ]
  8. Аноним

    Добрый вечер. Помогите пожалуйста решить эту задачу: в треугольнике АВС угол С – прямой, АС=4. Чему равно расстояние от вершины В до биссектрисы угла А, если расстояние от вершины С до этой биссектрисы равно 2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть BH_1,CH_2 – перпендикуляры к биссектрисе угла A.
      В треугольнике CH_2A гипотенуза вдвое больше катета CH_2, поэтому \angle H_2AC=30^{\circ}.
      Тогда \angle A=60^{\circ}, \angle B=30^{\circ}. Стало быть, AB=8.
      В треугольнике H_1BA также есть угол в 30 градусов. Тогда BH_1=4.

      [ Ответить ]
  9. айсель

    Помогите срочно!!!!!!!!!!доказать,что отношение соответствующих биссектрис в подобных треугольниках равно коэффициэнту подобия

    [ Ответить ]
  10. Света

    В параллелограмме ABCD точка К лежит на стороне AD. Отрезок СК пересекает диагональ BD в точке N. Найдите длину диагонали BD, если известно, что ВС=10см, АК=4см, BN=7см.https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вот и я https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif … – что вы задачку здесь бросили??? Что хотите?

      [ Ответить ]
      • Света

        Помогhttps://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gifите решить, там через подобие

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Треугольники BCN,DKN подобны по двум углам. BN:DN=BC:DK, то есть 7:DN=10:6
          Дальше сами…

          [ Ответить ]
  11. Анна

    Помогите пожалуйста решить задачу. Треугольники АВС И EFG подобны, стороны АВ и EF – сходственные, AB:EF = 1:4. Стороны треугольника АВС равны 5,7,9. Найдите наименьшую сторону треугольника EFG.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Стороны треугольника EFG – 20, 28, 36 (каждая сторона в 4 раза больше соответствующей стороны треугольника ABC).
      Думаю, наименьшее из трех чисел выбрать не сложно.

      [ Ответить ]
  12. Вася

    Помогите решить, пожалуйста.
    Диагональ АС трапеции ABCD (AB парал. CD)) делит ее на два подобн. треугольника. Найдите площадь трапеции, если AB=25cм, ВC=20 см, AC=15см.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Главное – понять какая сторона какой соответствует. Углы подскажут…
      Тогда AC:DC=AB:AC=BC:AD.
      15:DC=25:15=20:AD, откуда находим DC,AD.
      Далее площадь легко найти…

      [ Ответить ]
  13. denis

    Помогите решить задачу
    AB=32см BC=16см AC=24см AD=18см CD=12см найдите подобные треугольники и докажите их подобие

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Треугольник ABC подобен треугольнику ACD по третьему признаку.
      Действительно, AB:AC=BC:CD=AC:AD=4:3.

      [ Ответить ]
  14. denis

    Спасибо большое:)

    [ Ответить ]
  15. Аля

    Помогите доказать,пожалуйста!В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АК и ВМ.Доказать,что треугольник АКС и ВМС подобны.https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Аля, используйте тот факт, что общая гипотенуза двух треугольников является диаметром описанной около них окружности.
      Это приведет вас к равенству соответствующих вписанных углов, опирающихся на одну дугу.

      [ Ответить ]
  16. Гена

    https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gifhttps://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif

    [ Ответить ]
  17. Dima

    длина отрезка АB 27 смю Точка N находится между точками А и B АN:NB=5:4. Найдите AN и NB

    [ Ответить ]
  18. Dima

    https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif

    [ Ответить ]
  19. Dima

    памагите написать

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть AN=5x, NB=4x. Тогда 9x=27.
      Тогда AN=5*3=15, BN=4*3=12.

      [ Ответить ]
  20. Dima

    спасибо большое

    [ Ответить ]
  21. София

    Как опредилить что на что надо делить чтобы получить коэфициент подобия? Если есть два треугольника, один больше другой меньше, они подобны. То надо меньшую сторону(то-есть из маленького треугольника) поделить на сторону из большего или наоборот?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      София, когда говорят, например, что коэффициент подобия треугольников 2, или 1/2 – это означает одно и тоже.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif