Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Продолжаем решать задачи из открытого банка Заданий №8 ЕГЭ по математике. В этот раздел попадают стереометрические задачи.
Смотрите также 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 7 (конус), 8 (шар).
Итак, сегодня работаем с призмой.
Задача 1.
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.
Решение: + показать
:
:
(по свойству ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам):
Задача 2.
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10.
Решение: + показать
Задача 3.
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 15, а площадь поверхности равна 930.
Решение: + показать
где 
– длина бокового ребра призмы.
Задача 4.
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: + показать
(
Задача 5.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1300 см
воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см
Решение: + показать
объема жидкости.
cм
Задача 6.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Решение: + показать
. Тогда площадь основания 
Объем воды, налитой в призму до уровня 18 см, равен 
. Тогда площадь основания 
, где 
Задача 7.
Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: + показать
призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это 1 и 2.
Задача 8.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 
, а высота равна 1.
Решение: + показать
,
Задача 9.
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 
, а высота равна 1.
Решение: + показать
(высота призмы).
:
является и биссектрисой, и медианой.
:
Задача 10.
Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.
Решение: + показать
Задача 11.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 19,5. Найдите объем исходной призмы.
Решение: + показать
).
Задача 12.
Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 8, а боковые ребра равны 
и наклонены к плоскости основания под углом 30°.
Решение: + показать
где 
– площадь основания.
Задача 13.
В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 16 и отстоит от других боковых ребер на 9 и 12. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
Решение: + показать
где 
– длина бокового ребра, 
– периметр перпендикулярного сечения призмы (это сечение – прямоугольный треугольник согласно условию).
, а 
( третью сторону сечения находим по т. Пифагора: 
).
Задача 14.
Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 19. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в семь раз?
Решение: + показать
(если коэффициент подобия – 
). А при увеличении каждого ребра исходной призмы в 7 раз мы получаем именно призму, подобную исходной.Задача 15.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 
, а высота равна 3.
Решение: + показать
, где 
).
(см. рис.), значит, 
Итого, высота треугольника равна 
значит сторона треугольника 
.
, если знать 
).
Время передохнуть немного. –>+ показать
Вы можете пройти тест по Задачам №8, призма.
1-я задача, по условию можно подумать что 25 – это не ребро призмы, а сторона ромба, формулировка явно не верна, хотя я понимаю что задачу не вы составляли 😉
Все-таки, там точно сказано – боковое ребро! Поэтому разногласий быть не должно.
да просто “грамотеи” какие-то составляют эти задачи…
Просто люди… 🙂
Я так понял в 5-й задаче вы используете пропорцию?
Да, именно.
задача 11. Скажите, у вас есть статья о коэффициенте подобия и как его определять? а то я напрочь забыл эту тему…
Загляните сюда: //egemaximum.ru/podobnye-treugolniki/
коэффициент подобия используется только для треугольников? я имею ввиду, в ЕГЭ встретятся только такие задания?
Нет, не только для треугольников.
(если коэффициент подобия – 
). Периметры – в отношении 
.
, объемы – в отношении 
(если коэффициент подобия – 
).
Площади подобных фигур находятся в отношении
Более того, коэффициент подобия широко используется не только для плоских подобных фигур, но и для объемных тел. Площади поверхностей находятся в отношении
Например, если конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, и эта плоскость проходит через середину высоты, то в результате образуется малый конус, подобный исходному. Коэффициент подобия – 2. Значит, например, объемы конусов различаются в 8 раз.
Спасибо, всё понял 😉
В 13-й задаче не говорится, что призма наклонная. Или тут нужно смотреть по рисунку?
Формулу, которая используется в этой задаче, я в справочнике не видел…
Анатолий, вы про какую формулу?
Вполне можно обойтись и без нее… Это мне просто лень было расписывать тогда…
Смотрите, вам попросту нужно сложить площади всех боковых граней (параллелограммов). А как мы находим площадь параллелограмма? Высота – на соответствующую сторону!
Три слагаемых получаем, выносим за скобку общий множитель (l), получаем, собственно, эту формулу.
Если не говорится в условии, что призма прямая, то нельзя на это опираться, каков бы ни был рисунок… Пусть даже на нем призма ну очень похожа на прямую…
то есть мы как-бы предполагаем, что призма наклонная, даже если по рисунку кажется что она прямая? в таком случае, даже если она прямая, решение будет верным?
Да 🙂 . Только мы не предполагаем. А принимаем все как есть. Даже если призма окажется прямой, все верно будет…
ну да, ведь если бы она была прямая, то боковые грани состояли бы из прямоугольников, которые сами по себе являются частным случаем параллелограмма 😉 а значит и формула для них работает та же самая 🙂
То есть, в 13-й задаче мы в качестве оснований (параллелограммов/боковых граней) берём боковое ребро, равное 16, а в качестве высот берём числа 9, 12 и 15?
Уф…сложно, но я, кажется, понял 😉
Да! 🙂
Чтоб я без вас делал!
Надеюсь, остальные пользователи, прочитав эти комментарии, смогут во всём разобраться и не будут беспокоить вас лишний раз как я 🙂
Мне приятно, что кому-то мои «труды» помогают. И я рада, что возникает диалог. А то, знаете, иногда ощущение, что в пустоту пишешь…
И потом, я лишний раз вижу, какие моменты у меня, как выясняется, недостаточно оговорены. Иногда я возвращаюсь к записям, проговариваю что-то подробнее.
Да, надеюсь, комментарии кому-то тоже помогут 🙂 .
Вообще, для сайтопродвижения количество комментариев играет роль! Пусть в чем-то остается интрига… :)))))
С другой стороны, человек, не найдя тго, что ему нужно, может уйти в другое место…
В общем, палка о двух концах… 🙁
У тебя отличный сайт! Самый лучший из тех, что я встречал. Это я тебе как программист говорю! 😀
Опа-на. Программист, значит!.. Я ж теперь вопросами засыплю! Можно?
Почему яндекс в 3-4 раза меня хуже индексирует? Гуглу что не дай, – все ест… основной трафик с него…
Какие могут быть причины? Как с этим бороться?
Вот и я понял эту 13 задачку, прочитав комментарий! Спасибо)
может быть потому-что пользователи чаще пользуются поисковиком google чем yandex ? 😉
Ну, допустим, так… А как помочь Яндексу меня
интегрироватьиндексировать?Еще он мне какие-то ошибки все выдает… 🙁 Я скину во вк фотку…
на чём ты писала свой сайт? wordpress, joomla, ucoz? это может играть роль 😉
Первое
многие пишут на форумах что яндекс “не любит” wordpress, так что…Ничего не поделаешь, нужно больше делать акцент на seo-оптимизацию 🙂
🙁
появится свободное время, почитайте вот эту статью + комментарии к ней:
Спасибо, почитаю!
Кусочек тортика в начале темы… выглядит божественно :3
Дадите рецептик? 🙂
По-моему, в задаче #15 ошибка в подсчетах. 3*18*3=162, а не 108.
Спасибо, конечно. 9*18=162, а не 108. Исправлено.
Спсибо вам
За комментарии и сайт)
Здравствуйте У меня вопрос к 6 задаче Как из (3а)^2*корень из 3 все это деленное на 4 получить 9*корень из 3*а^2 деленное на 4
Вероника, а сколько должно быть?
Я не понимаю,как а в квадрате занести под корень,ведь корень из а в квадрате это просто а.А у нас а в квадрате,тогда нужно написать корень из а в 4 ??
Никакое “а” или “а^2” под корень не заносили. Я не понимаю о чем речь…
Почитайте внимательней!