
Продолжаем решать задачи из открытого банка Заданий №8 ЕГЭ по математике. В этот раздел попадают стереометрические задачи.
Смотрите также 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 7 (конус), 8 (шар).
Итак, сегодня работаем с призмой.
Задача 1.
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.

Решение: + показать
Площадь поверхности призмы
:

Площадь ромба с диагоналями
:

поэтому 
Боковая поверхность данной прямой призмы – четыре равных прямоугольника.


Нам потребуется длина стороны ромба. Найдем ее по т. Пифагора из треугольника
(по свойству ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам):


Итак, 
Наконец, 
Ответ: 4750.
Задача 2.
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10.

Решение: + показать
Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы складывается из площадей 6-ти равных прямоугольников (одна сторона прямоугольника – сторона основания, вторая – высота призмы).

Ответ: 180.
Задача 3.
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 15, а площадь поверхности равна 930.

Решение: + показать
Задача 4.
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение: + показать
Объем призмы вычисляется по следующей формуле:
(
– высота, в данном случае и боковое ребро прямой призмы).
При этом в основании – прямоугольный треугольник, площадь которого находится как полупроизведение катетов:

Тогда 
Ответ: 60.
Задача 5.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1300 см
воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см

Решение: + показать

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен объему прямой призмы с высотой 3 и основанием, равным основанию исходной призмы. То есть объем вытесненной жидкости составляет
объема жидкости.
Итак, объем детали есть
cм
Ответ: 156.
Задача 6.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: + показать
Задача 7.
Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение: + показать
1) Высота призмы равна высоте цилиндра.

2) В основании правильной призмы – квадрат.
Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона квадрата).
3) Площадь боковой поверхности
призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это 1 и 2.
Поэтому 
Ответ: 8.
Задача 8.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен
, а высота равна 1.

Решение: + показать
1) Высота призмы равна высоте цилиндра.
2) В основании правильной пирамиды – равносторонний треугольник.

Радиус вписанного в него круга (основания цилиндра) ищем из прямоугольного треугольника с углом 30°(помечен на рисунке красным цветом, – в нем катет, прилежащий к углу 30°, есть половина стороны треугольника):
,
где
– cсторона треугольника.


4) Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы – есть сумма площадей трех равных прямоугольников с измерениями 6 и 1 (высота призмы).

Ответ: 18.
Задача 9.
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен
, а высота равна 1.

Решение: + показать
Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы составлена из шести равных друг другу прямоугольников с измерениями
(сторона основания) и
(высота призмы).
Выразим
через заданный
:
Правильный шестиугольник составлен из шести равных правильных треугольников (см. рис.).

Высота (радиус вписанной окружности)
является и биссектрисой, и медианой.
Из треугольника
:





Подставляя известное значение
, имеем: 
Тогда 
Ответ: 1,2.
Задача 10.
Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Решение: + показать
Площадь каждой боковой грани отсеченной призмы вдвое меньше соответствующей площади боковой грани исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.
Стало быть, площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 13.
Ответ: 13.
Задача 11.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 19,5. Найдите объем исходной призмы.

Решение: + показать
Так как плоскость проведена через среднюю линию основания, то площадь основания отсеченной призмы меньше площади основания исходной в 4 раза (основания (как треугольники)) подобны друг другу с коэффициентом подобия 2, значит площади находятся в отношении
).
Высоты призм совпадают.
Поэтому объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной призмы, то есть равен 
Ответ: 78.
Задача 12.
Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 8, а боковые ребра равны
и наклонены к плоскости основания под углом 30°.

Решение: + показать
Объем призмы есть
где
– высота призмы,
– площадь основания.

Площадь основания – 6 площадей правильных треугольников со стороной 8: 
Высота же есть половина бокового ребра призмы (см. рис. (высота – катет, противолежащий углу в 30° в прямоугольном треугольнике): 
Тогда 
Ответ: 576.
Задача 13.
В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 16 и отстоит от других боковых ребер на 9 и 12. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение: + показать
Задача 14.
Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 19. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в семь раз?

Решение: + показать
Достаточно просто сказать следующее:
Площали поверхностей подобных многогранников находятся в отношении
(если коэффициент подобия –
). А при увеличении каждого ребра исходной призмы в 7 раз мы получаем именно призму, подобную исходной.
Поэтому площадь поверхности новой призмы будет в 49 раз больше исходной, то есть будет равняться 931.
Ответ: 931.
Задача 15.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен
, а высота равна 3.

Решение: + показать

Время передохнуть немного. –>+ показать
Наглядная иллюстрация пересечения двух множеств :)


Вы можете пройти тест по Задачам №8, призма.
1-я задача, по условию можно подумать что 25 – это не ребро призмы, а сторона ромба, формулировка явно не верна, хотя я понимаю что задачу не вы составляли ;)
Все-таки, там точно сказано – боковое ребро! Поэтому разногласий быть не должно.
да просто “грамотеи” какие-то составляют эти задачи…
Просто люди… :)
Я так понял в 5-й задаче вы используете пропорцию?
Да, именно.
задача 11. Скажите, у вас есть статья о коэффициенте подобия и как его определять? а то я напрочь забыл эту тему…
Загляните сюда: http://egemaximum.ru/podobnye-treugolniki/
коэффициент подобия используется только для треугольников? я имею ввиду, в ЕГЭ встретятся только такие задания?
Нет, не только для треугольников.
(если коэффициент подобия –
). Периметры – в отношении
.
, объемы – в отношении
(если коэффициент подобия –
).
Площади подобных фигур находятся в отношении
Более того, коэффициент подобия широко используется не только для плоских подобных фигур, но и для объемных тел. Площади поверхностей находятся в отношении
Например, если конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, и эта плоскость проходит через середину высоты, то в результате образуется малый конус, подобный исходному. Коэффициент подобия – 2. Значит, например, объемы конусов различаются в 8 раз.
Спасибо, всё понял ;)
В 13-й задаче не говорится, что призма наклонная. Или тут нужно смотреть по рисунку?
Формулу, которая используется в этой задаче, я в справочнике не видел…
Анатолий, вы про какую формулу?
Вполне можно обойтись и без нее… Это мне просто лень было расписывать тогда…
Смотрите, вам попросту нужно сложить площади всех боковых граней (параллелограммов). А как мы находим площадь параллелограмма? Высота – на соответствующую сторону!
Три слагаемых получаем, выносим за скобку общий множитель (l), получаем, собственно, эту формулу.
Если не говорится в условии, что призма прямая, то нельзя на это опираться, каков бы ни был рисунок… Пусть даже на нем призма ну очень похожа на прямую…
то есть мы как-бы предполагаем, что призма наклонная, даже если по рисунку кажется что она прямая? в таком случае, даже если она прямая, решение будет верным?
Да :) . Только мы не предполагаем. А принимаем все как есть. Даже если призма окажется прямой, все верно будет…
ну да, ведь если бы она была прямая, то боковые грани состояли бы из прямоугольников, которые сами по себе являются частным случаем параллелограмма ;) а значит и формула для них работает та же самая :)
То есть, в 13-й задаче мы в качестве оснований (параллелограммов/боковых граней) берём боковое ребро, равное 16, а в качестве высот берём числа 9, 12 и 15?
Уф…сложно, но я, кажется, понял ;)
Да! :)
Чтоб я без вас делал!
Надеюсь, остальные пользователи, прочитав эти комментарии, смогут во всём разобраться и не будут беспокоить вас лишний раз как я :)
Мне приятно, что кому-то мои «труды» помогают. И я рада, что возникает диалог. А то, знаете, иногда ощущение, что в пустоту пишешь…
И потом, я лишний раз вижу, какие моменты у меня, как выясняется, недостаточно оговорены. Иногда я возвращаюсь к записям, проговариваю что-то подробнее.
Да, надеюсь, комментарии кому-то тоже помогут :) .
Вообще, для сайтопродвижения количество комментариев играет роль! Пусть в чем-то остается интрига… :)))))
С другой стороны, человек, не найдя тго, что ему нужно, может уйти в другое место…
В общем, палка о двух концах… :(
У тебя отличный сайт! Самый лучший из тех, что я встречал. Это я тебе как программист говорю! :D
Опа-на. Программист, значит!.. Я ж теперь вопросами засыплю! Можно?
Почему яндекс в 3-4 раза меня хуже индексирует? Гуглу что не дай, – все ест… основной трафик с него…
Какие могут быть причины? Как с этим бороться?
Вот и я понял эту 13 задачку, прочитав комментарий! Спасибо)
может быть потому-что пользователи чаще пользуются поисковиком google чем yandex ? ;)
Ну, допустим, так… А как помочь Яндексу меня
интегрироватьиндексировать?Еще он мне какие-то ошибки все выдает… :( Я скину во вк фотку…
на чём ты писала свой сайт? wordpress, joomla, ucoz? это может играть роль ;)
Первое
многие пишут на форумах что яндекс “не любит” wordpress, так что…Ничего не поделаешь, нужно больше делать акцент на seo-оптимизацию :)
:(
появится свободное время, почитайте вот эту статью + комментарии к ней:
Спасибо, почитаю!
Кусочек тортика в начале темы… выглядит божественно :3
Дадите рецептик? :)
По-моему, в задаче #15 ошибка в подсчетах. 3*18*3=162, а не 108.
Спасибо, конечно. 9*18=162, а не 108. Исправлено.
Спсибо вам
За комментарии и сайт)
Здравствуйте У меня вопрос к 6 задаче Как из (3а)^2*корень из 3 все это деленное на 4 получить 9*корень из 3*а^2 деленное на 4
Вероника, а сколько должно быть?

Я не понимаю,как а в квадрате занести под корень,ведь корень из а в квадрате это просто а.А у нас а в квадрате,тогда нужно написать корень из а в 4 ??
Никакое “а” или “а^2” под корень не заносили. Я не понимаю о чем речь…
Почитайте внимательней!
когда мы заносим число под корень мы его переумножаем. то есть возьмем такой пример как 2² занесем под корень =) корень из 2⁴, и мы можем сократить корень и степень и выйдет просто 2². так же и в этой задаче