Производная функции

Елена Репина 2013-08-06 2014-01-11

Определение производной

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$ , если этот предел существует.

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Пример:

$(x^2+1)'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((x+\Delta x)^2+1)-(x^2+1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}=$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x$

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.

Геометрический смысл производной

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ , то заметим, что $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ есть $tgBAC$ .

А при стремлении $\Delta x$ к нулю, точка $B$ будет приближаться к точке $A$ и секущая $AB$ «превратится» в касательную к графику функции $f(x)$ в точке $A(x_0;f(x_0))$ .

Поэтому геометрический смысл производной таков:

Производная в точке $x_0$ ( $f'(x_0)$ ) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в этой точке:

$f'(x_0)=tg\alpha$ ,

где $\alpha$ – угол наклона касательной (проведенной к $f(x)$ в т. $x_0$ )

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси $x$ и ее координаты изменяются по закону $x(t)$ , то мгновенная скорость точки:

$v(t)=x'(t)$ ,

а ускорение:

$a(t)=v'(t)=x''(t)$

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=6t^2-48t+17$ , где $x(t)$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=9$ .