Производная функции

2021-06-30

Определение производной

Производной функции  f(x) в точке  x_0 называется предел отношения приращения функции \Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) к приращению аргумента \Delta x при \Delta x\rightarrow 0, если этот предел существует.

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

rd

Пример. + показать

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования


Геометрический смысл производной

+ показать

Поэтому геометрический смысл производной таков:

Производная  в точке  x_0  равна тангенсу угла   наклона   касательной к графику функции f(x) в этой точке:

f'(x_0)=tg\alpha,

где \alpha – угол наклона касательной (проведенной  к f(x) в т. x_0)

65


Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси x и ее координаты изменяются по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

v(t)=x'(t),

а ускорение:

a(t)=v'(t)=x''(t)

Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t^2-48t+17, где x(t)  — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9.

Решение: + показать


Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику f(x) в точке x_0:

y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Пример. Составить уравнение касательной к графику функции y=\frac{1}{3}x^3-4x+1 в точке x_0=3.

Решение: + показать


Смотрите также  «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




3 × один =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif