Производная функции

2014-01-11

Определение производной

 

Производной функции f(x) в точке x_0 называется предел отношения приращения функции \Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) к приращению аргумента \Delta x при \Delta x\rightarrow 0, если этот предел существует.

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

 

 

 

 

Пример: 

(x^2+1)'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((x+\Delta x)^2+1)-(x^2+1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}=

=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.

 

Геометрический смысл производной

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, то заметим, что \frac{\Delta f}{\Delta x} есть tgBAC.

А при стремлении \Delta x к нулю, точка B будет приближаться к точке A и секущая AB «превратится» в касательную к графику функции f(x) в точке A(x_0;f(x_0)).

 

Поэтому геометрический смысл производной таков:

Производная  в точке x_0  (f'(x_0)) равна тангенсу угла   наклона   касательной к графику функции f(x) в этой точке:

f'(x_0)=tg\alpha,

где \alpha – угол наклона касательной (проведенной  к f(x) в т. x_0)

 

Физический смысл производной

 

Если точка движется вдоль оси x и ее координаты изменяются по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

v(t)=x'(t),

а ускорение:

a(t)=v'(t)=x''(t)

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t^2-48t+17, где x(t)  — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9.

Решение:

v(t)=x'(t)=12t-48;

v(9)=12\cdot 9-48=60 м/с

Ответ: 60.

Уравнение касательной

 

Уравнение касательной к графику f(x) в точке x_0:

y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Пример:

Составить уравнение касательной к графику функции y=\frac{1}{3}x^3-4x+1 в точке x_0=3.

Решение:

1. f'(x)=x^2-4;

f'(3)=3^2-4=5;

2. f(3)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-4\cdot 3+1=9-12+1=-2;

3. y_k=5(x-3)-2;

y_k=5x-17;

Ответ: y=5x-17.

Смотрите также  «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif