Определение производной
Производной функции в точке
называется предел отношения приращения функции
к приращению аргумента
при
, если этот предел существует.
Пример:
Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…
Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.
Геометрический смысл производной
Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник , то заметим, что
есть
.
А при стремлении к нулю, точка
будет приближаться к точке
и секущая
«превратится» в касательную к графику функции
в точке
.
Поэтому геометрический смысл производной таков:
Производная в точке (
) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции
в этой точке:
,
где – угол наклона касательной (проведенной к
в т.
)
Физический смысл производной
Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону
, то мгновенная скорость точки:
,
а ускорение:
Пример:
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где
— расстояние от точки отсчета в метрах,
— время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени
.
Решение:
м/с
Ответ: 60.
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику в точке
:
Пример:
Составить уравнение касательной к графику функции в точке
.
Решение:
1.
2.
3.
Ответ:
Смотрите также «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»
Добавить комментарий