Определение производной
Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$, если этот предел существует.
$\color{red}f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
Пример. + показать
Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…
Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования
Геометрический смысл производной
Поэтому геометрический смысл производной таков:Производная в точке $\color{red}x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции $\color{red}f(x)$ в этой точке:
$\color{red}f'(x_0)=tg\alpha$,
где $\alpha$ – угол наклона касательной (проведенной к $f(x)$ в т. $x_0$)
Физический смысл производной
Если точка движется вдоль оси $x$ и ее координаты изменяются по закону $x(t)$, то мгновенная скорость точки:
$\color{red}v(t)=x'(t)$,
а ускорение:
$\color{red}a(t)=v'(t)=x”(t)$
Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=6t^2-48t+17$, где $x(t)$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=9$.
Решение: + показать
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику $f(x)$ в точке $x_0$:
$\color{red}y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
Пример. Составить уравнение касательной к графику функции $y=\frac{1}{3}x^3-4x+1$ в точке $x_0=3$.
Решение: + показать
Смотрите также «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»
Добавить комментарий