Производная функции. Геометрический смысл

Рассмотрим график функции, изображенный на рисунке.

Мы видим, что  функция возрастает в точке [latexpage]$x_1$. Касательная, проведенная к графику функции в точке $x_1$, имеет острый угол наклона к оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной положителен, а значит, положительна и производная функции в точке $x_1$.

Точка $x_2$ – точка минимума функции, касательная проведенная к графику функции через точку $x_2$, параллельна оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной равен нулю, значит и производная функции в точке $x_2$ равна нулю.

В точке $x_3$ функция убывает. Касательная, проведенная к графику функции в точке $x_3$, имеет тупой угол наклона к оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной отрицателен, а значит, отрицательна  производная функции в точке $x_3$.