Часть 1
(Часть 2 см. здесь)
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида
$sinx\vee a$,
$cosx\vee a$,
$tgx\vee a$,
$ctgx\vee a$,
где $\vee$ – один из знаков $<,\;>,\;\leq,\;\geq$, $a\in R$.
Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).
Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.
Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.
Пример 1
Решить неравенство: $cosx<\frac{1}{2}.$
Решение: + показать
Отмечаем на оси косинусов $\frac{1}{2}.$
Все значения $cosx$, меньшие $\frac{1}{2},$ – левее точки $\frac{1}{2}$ на оси косинусов.
Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше $\frac{1}{2}.$
Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$.
Обратите внимание, многие, назвав первую точку $\frac{\pi}{3},$ вместо второй точки $\frac{5\pi}{3}$ указывают точку $-\frac{\pi}{3}$, что неверно!
Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения $x:$
$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z.$
Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».
Не забываем «накидывать» счетчик $2\pi n,\;n\in Z.$
Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:
Пример 2
Решить неравенство: $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.$
Решение: + показать
Отмечаем на оси косинусов $-\frac{\sqrt2}{2}.$
Все значения $cosx$, большие или равные $-\frac{\sqrt2}{2}$ – правее точки $-\frac{\sqrt2}{2}$, включая саму точку.
Тогда выделенные красной дугой аргументы $x$ отвечают тому условию, что $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}$.
$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$
Пример 3
Решить неравенство: $sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.$
Решение:+ показать
Отмечаем на оси синусов $-\frac{\sqrt3}{2}.$
Все значения $sinx$, большие или равные $-\frac{\sqrt3}{2},$ – выше точки $-\frac{\sqrt3}{2}$, включая саму точку.
«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:
$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z$
Пример 4
Решить неравенство: $sinx<1.$
Решение:+ показать
Кратко:
$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z$
или все $x$, кроме $\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$
Пример 5
Решить неравенство: $sinx\geq 1.$
Решение:+ показать
Неравенство $sinx\geq 1$ равносильно уравнению $sinx=1$, так как область значений функции $y=sinx$ – $[-1;1].$
$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$
Пример 6
Решить неравенство: $sinx<\frac{1}{3}.$
Решение:+ показать
Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.
Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.
$\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n<x<arcsin\frac{1}{3}+2\pi+2\pi n,\;n\in Z$
Если не очень понятно, загляните сюда –>[spoiler]
Согласны с таким вариантом (одним из) названия углов, соответствующих тому, что синус в них равен $\frac{1}{3},\;-\frac{1}{3}?$
А теперь мы должны позаботиться о том, чтобы правый конец промежутка, являющего собой решение неравенства, был бы больше левого конца.
Поэтому
Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств
Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: $\frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$
1. Решить неравенство: $sinx<-\frac{1}{2}.$
Ответ: + показать
$(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n),\;n\in Z$
2. Решить неравенство: $cosx>-\frac{1}{2}.$
Ответ: + показать
$(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n),\;n\in Z$
3. Решить неравенство: $sinx\geq -1.$
Ответ: + показать
$(-\infty;+\infty)$
4. Решить неравенство: $sinx\geq 0.$
Ответ: + показать
$[2\pi n;\pi +2\pi n,\;n\in Z]$
5. Решить неравенство: $cosx\leq 0,2.$
Ответ: + показать
$[arccos0,2+2\pi n;2\pi-arccos0,2+2\pi n,\;n\in Z]$
Часть 2
Если у вас есть вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Почему в решении с синусом период берется 2Пn, у синуса ведь период 2П?
2пи – это только наименьший период.
Здравствуйте, не могу справиться с двумя тригонометрическим неравенством: cos(2x+(5п/6))>sin(2x+(5п/6))-1 и (sin2x)^(2)+(sin3x)^(2)+(sin4x)^(2)+(sin5x)^(2)>=2. Помогите, пожалуйста. Буду очень вам признателен.
1) Переносим синус в левую сторону. Домножаем обе части неравенства на корень из 2-х на два. То есть используем введение вспомогательного аргумента.
Тогда в левой части – синус разности. Справа – минус корень из 2-х на два. Думаю, дальше понятно…
2) Используем формулу понижения степени, то есть первое слагаемое – это (1-cos4x):2, второе – (1-cos6x):2 и т.д.
Тогда выйдете на неравенство: cos4x+cos6x+cos8x+cos10x≤0. Далее группируйте слагаемые.
Спасибо вам огромное, Елена Юрьевна.
Статья очень помогла, но до сих пор не могу понять. Почему в одном случае ставим,например, -pi/3 и pi/3, а в других pi/6 и 5pi/6? Также, как определяются точки?
Евгения, к сожалению, я не могу вам этого объяснить в двух словах. У меня по этому поводу написаны статьи. Ищите ссылки вначале этой статьи.
arcsin [sin(2)x30+(676,45xsin2x30xcos30xtg30/28800) в 0.75 степени] в 0.5 степени где sin (2) это синус в квадрате Здравствуйте! Помогите пожалуйста это решить.
Ирина, что такое “x30” в записи “sin(2)x30”?
синус в квадрате а 30 это градусы
Интересно, а что же такое “x”?.. Уж не думаете ли вы, что это знак умножения? Если так, то вам совсем рано решать подобные примеры…
Очень сложно понять условие. Такое:
[latexpage]$(arcsin(sin^230^{\circ}+(\frac{676,45sin^230^{\circ}\cdot cos30^{\circ}}{28800})^{0,75})^{0,5}$?
все так только перед arcsin нет скобки и в числителе sin2 а не в квадрате и cos30 умножено еще и на tg30 (извините….я не умею писать формулы как Вы )))
Ирина, простите, но я вряд ли смогу вам помочь… Я так и не понимаю что к чему в условии…
Подскажите пожалуйста, как решать неравенство tg x >= 0?
Вам сюда
Если уж и тогда будет непонятно, – пишите еще…
Можете объяснить, пожалуйста? Так и не поняла, как решать своё неравенство
Первый способ рассуждений:
[latexpage]Тангенс положителен в I, III четвертях. Равен нулю в точках $\pi n, n\in Z$.
Итого $x\in [\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n), n\in Z$ (за счет счетчика $\pi n$ взяты обе четверти).
Второй (если знакомы с осью тангенсов):
На оси тангенсов отмечаем зону $[0;+\infty).$ Транслируем ее на тригонометрический круг – получаем объединение двух дуг (I, III четверти) с одним открытым концом. В приведенной выше ссылке расписано все подробно, я не буду повторяться здесь.
Спасибо
Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с примером.
Sin4x меньше – корень из 3/2
[latexpage] $sin4x<-\frac{\sqrt3}{2}$. Начертите тригонометрический круг. Проведитечерез точку минус корень из 3 на два на оси синусов горизонталь, рабочая зона - часть оси синусов под этой точкой. Этой зоне соответствуют следующие значения аргумента: $4x\in (\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n), n\in Z;$ Далее сами... $x\in...$
здраствуйте) помогите решыть
под коренем cosx-sinx>=1/2+3cosx
[latexpage]Такое условие $\sqrt{cosx-sinx}\geq \frac{1}{2}+3cosx?$
Если да, то начинаем рассуждать так:
Если $\frac{1}{2}+3cosx<0,$ то $cosx-sinx\geq 0.$
Если $\frac{1}{2}+3cosx\geq 0,$ то $cosx-sinx\geq \frac{1}{4}+9cos^2x+3cosx.$
Понятно ли начало решения? Если нет, то дальше мне писать бессмысленно. Задавайте вопросы...
да, спасибо)
хрень полная
Помогите пожалуйста
sin (2x+y) >= 0
2pi n =<2x+y=
sinx меньше корень из 3/2
Спасибо вам за помощь ! Хорошо и толково объяснено :)
Помогите пожалуйста
Cos5x больше и равен корень из 3 на 2
[latexpage]$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\leq 5x\leq \frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z;$
$-\frac{\pi}{30}+0,4\pi n\leq x\leq \frac{\pi}{30}+0,4\pi n, n \in Z.$