Простейшие тригонометрические неравенства

2023-07-23

Часть 1

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

$sinx\vee a$,

 $cosx\vee a$,

 $tgx\vee a$,

$ctgx\vee a$,

где $\vee$ – один из знаков $<,\;>,\;\leq,\;\geq$, $a\in R$.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1

Решить неравенство: $cosx<\frac{1}{2}.$

Решение: + показать


Пример 2

Решить неравенство: $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.$

Решение: + показать

Пример 3

Решить неравенство: $sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.$

Решение:+ показать

Пример 4

Решить неравенство: $sinx<1.$

Решение:+ показать

Пример 5

Решить неравенство: $sinx\geq 1.$

Решение:+ показать

Пример 6

Решить неравенство: $sinx<\frac{1}{3}.$

Решение:+ показать


Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: $\frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$

1. Решить неравенство: $sinx<-\frac{1}{2}.$

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: $cosx>-\frac{1}{2}.$

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: $sinx\geq -1.$

Ответ: + показать

4. Решить неравенство: $sinx\geq 0.$

Ответ: + показать

5. Решить неравенство: $cosx\leq 0,2.$

Ответ: + показать


Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

стрелка вниз

Печать страницы
комментариев 180
  1. Татьяна

    Почему в решении с синусом период берется 2Пn, у синуса ведь период 2П?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      2пи – это только наименьший период.

      [ Ответить ]
  2. Михаил

    Здравствуйте, не могу справиться с двумя тригонометрическим неравенством: cos(2x+(5п/6))>sin(2x+(5п/6))-1 и (sin2x)^(2)+(sin3x)^(2)+(sin4x)^(2)+(sin5x)^(2)>=2. Помогите, пожалуйста. Буду очень вам признателен.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) Переносим синус в левую сторону. Домножаем обе части неравенства на корень из 2-х на два. То есть используем введение вспомогательного аргумента.
      Тогда в левой части – синус разности. Справа – минус корень из 2-х на два. Думаю, дальше понятно…
      2) Используем формулу понижения степени, то есть первое слагаемое – это (1-cos4x):2, второе – (1-cos6x):2 и т.д.
      Тогда выйдете на неравенство: cos4x+cos6x+cos8x+cos10x≤0. Далее группируйте слагаемые.

      [ Ответить ]
      • Михаил

        Спасибо вам огромное, Елена Юрьевна.

        [ Ответить ]
  3. Евгения

    Статья очень помогла, но до сих пор не могу понять. Почему в одном случае ставим,например, -pi/3 и pi/3, а в других pi/6 и 5pi/6? Также, как определяются точки?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Евгения, к сожалению, я не могу вам этого объяснить в двух словах. У меня по этому поводу написаны статьи. Ищите ссылки вначале этой статьи.

      [ Ответить ]
      • Ирина

        arcsin [sin(2)x30+(676,45xsin2x30xcos30xtg30/28800) в 0.75 степени] в 0.5 степени где sin (2) это синус в квадрате Здравствуйте! Помогите пожалуйста это решить.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ирина, что такое “x30” в записи “sin(2)x30”?

          [ Ответить ]
          • Ирина

            синус в квадрате а 30 это градусы

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Интересно, а что же такое “x”?.. Уж не думаете ли вы, что это знак умножения? Если так, то вам совсем рано решать подобные примеры…
            Очень сложно понять условие. Такое:
            [latexpage]$(arcsin(sin^230^{\circ}+(\frac{676,45sin^230^{\circ}\cdot cos30^{\circ}}{28800})^{0,75})^{0,5}$?

            [ Ответить ]
          • Ирина

            все так только перед arcsin нет скобки и в числителе sin2 а не в квадрате и cos30 умножено еще и на tg30 (извините….я не умею писать формулы как Вы )))

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Ирина, простите, но я вряд ли смогу вам помочь… Я так и не понимаю что к чему в условии… https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif

            [ Ответить ]
  4. ma19ria99

    Подскажите пожалуйста, как решать неравенство tg x >= 0?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вам сюда
      Если уж и тогда будет непонятно, – пишите еще…

      [ Ответить ]
      • ma19ria99

        Можете объяснить, пожалуйста? Так и не поняла, как решать своё неравенство

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Первый способ рассуждений:
          [latexpage]Тангенс положителен в I, III четвертях. Равен нулю в точках $\pi n, n\in Z$.
          Итого $x\in [\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n), n\in Z$ (за счет счетчика $\pi n$ взяты обе четверти).
          Второй (если знакомы с осью тангенсов):
          На оси тангенсов отмечаем зону $[0;+\infty).$ Транслируем ее на тригонометрический круг – получаем объединение двух дуг (I, III четверти) с одним открытым концом. В приведенной выше ссылке расписано все подробно, я не буду повторяться здесь.

          [ Ответить ]
          • ma19ria99

            Спасибо

            [ Ответить ]
  5. Алина

    Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с примером.
    Sin4x меньше – корень из 3/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage] $sin4x<-\frac{\sqrt3}{2}$. Начертите тригонометрический круг. Проведитечерез точку минус корень из 3 на два на оси синусов горизонталь, рабочая зона - часть оси синусов под этой точкой. Этой зоне соответствуют следующие значения аргумента: $4x\in (\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n), n\in Z;$ Далее сами... $x\in...$

      [ Ответить ]
  6. Ruslana

    здраствуйте) помогите решыть
    под коренем cosx-sinx>=1/2+3cosx

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]Такое условие $\sqrt{cosx-sinx}\geq \frac{1}{2}+3cosx?$
      Если да, то начинаем рассуждать так:
      Если $\frac{1}{2}+3cosx<0,$ то $cosx-sinx\geq 0.$
      Если $\frac{1}{2}+3cosx\geq 0,$ то $cosx-sinx\geq \frac{1}{4}+9cos^2x+3cosx.$
      Понятно ли начало решения? Если нет, то дальше мне писать бессмысленно. Задавайте вопросы...

      [ Ответить ]
      • Ruslana

        да, спасибо)

        [ Ответить ]
  7. Абдрахман

    хрень полная

    [ Ответить ]
  8. Катя

    Помогите пожалуйста
    sin (2x+y) >= 0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      2pi n =<2x+y=

      [ Ответить ]
  9. Артур

    sinx меньше корень из 3/2

    [ Ответить ]
  10. Aleksandr

    Спасибо вам за помощь ! Хорошо и толково объяснено :)

    [ Ответить ]
  11. D

    Помогите пожалуйста
    Cos5x больше и равен корень из 3 на 2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\leq 5x\leq \frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z;$
      $-\frac{\pi}{30}+0,4\pi n\leq x\leq \frac{\pi}{30}+0,4\pi n, n \in Z.$

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




18 + 10 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif