Простейшие тригонометрические неравенства

2023-07-23

Часть 1

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

$sinx\vee a$,

 $cosx\vee a$,

 $tgx\vee a$,

$ctgx\vee a$,

где $\vee$ – один из знаков $<,\;>,\;\leq,\;\geq$, $a\in R$.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1

Решить неравенство: $cosx<\frac{1}{2}.$

Решение: + показать


Пример 2

Решить неравенство: $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.$

Решение: + показать

Пример 3

Решить неравенство: $sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.$

Решение:+ показать

Пример 4

Решить неравенство: $sinx<1.$

Решение:+ показать

Пример 5

Решить неравенство: $sinx\geq 1.$

Решение:+ показать

Пример 6

Решить неравенство: $sinx<\frac{1}{3}.$

Решение:+ показать


Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: $\frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$

1. Решить неравенство: $sinx<-\frac{1}{2}.$

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: $cosx>-\frac{1}{2}.$

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: $sinx\geq -1.$

Ответ: + показать

4. Решить неравенство: $sinx\geq 0.$

Ответ: + показать

5. Решить неравенство: $cosx\leq 0,2.$

Ответ: + показать


Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

стрелка вниз

Печать страницы
комментариев 180
  1. Dasha

    Как можно решить такие неравенство
    Sinx>0
    tgx <0
    cosx0https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пользуясь точно таким же алгоритмом, что использован при решении разобранных в статье неравенств…

      [ Ответить ]
  2. Dasha

    Cgtx>0

    [ Ответить ]
  3. egeMax

    Решила https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif

    [ Ответить ]
    • Надя

      Решите систему неравенств:
      Sinx больше или равно 1/3
      Cos меньше 7/8
      Буду очень благодарна)

      [ Ответить ]
      • egeMax

        На одном тригонометрическом круге решаете графически оба неравенства. Первое – дуга, что над 1/3 (включая концы), второе – дуга, что левее 7/8. Пересекаете дуги. Один конец дуги – arccos7/8 +2pin, второй – pi-arcsin 1/3 +2pin. Делайте вывод.

        [ Ответить ]
  4. Ольга

    Tg(П+х) меньше1 Как решить с помощью круга

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сначала примените формулы приведения!

      [ Ответить ]
  5. Марина

    Помогите пожалуйста)
    cosX<-корень из 3/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Марина, посмотрите решение примера №1.

      [ Ответить ]
  6. Саша

    помогите пожалуйста решить: 1) sin x >1/2 2) cos(x+ Pi/12)0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Второе неравенство у вас криво написано, первое аналогично примеру 3. Если разбор аналогичного задания вам не помогает, то дело плохо и вам сперва нужно подружиться с тригонометрическим кругом

      [ Ответить ]
  7. Женя

    не могу решить, помогите,пожалуйста 2cos^2x+cosx≤0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      2cos^2x+cosx<=0 Cosx(2cosx+1)<=0 На оси косинусов отмечайте 0, -1/2. Между этими точками (включая точки) - искомые значения косинуса. Осталось понять, какие аргументы соответствуют отреку [-1/2;0]. От -2пи/3+2пиn до -пи/2+2пиn и от пи/2+2пиn до 2пи/3 +2пиn включительно, не так ли?

      [ Ответить ]
  8. Антонина

    Помогите, пожалуйста, школу давно закончила, дочке не могу объяснить. Заранее спасибо.
    Найти сумму решений, удовлетворяющих неравенству: |x+2pi/3|<=pi/2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]$|x+\frac{2\pi}{3}|\leq \frac{\pi}{2};$
      $-\frac{\pi}{2}\leq x+\frac{2\pi}{3}\leq \frac{\pi}{2};$
      $-\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\leq x\leq \frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3};$
      $-\frac{7\pi}{6}\leq x\leq -\frac{\pi}{6}.$
      А про сумму решений ничего не могу ответить – не понимаю вопроса…

      [ Ответить ]
  9. Валерия

    Помогите пожалуйста)
    2cos(45(градусов)-3x)>= -sqrt2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]$2cos(45^{\circ}-3x)\geq -\sqrt2;$
      $cos(45^{\circ}-3x)\geq -\frac{\sqrt2}{2};$
      $-\frac{3\pi}{4}+2\pi n \geq 45^{\circ}-3x\geq \frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;$

      [ Ответить ]
  10. Katya

    А скажите пожалуйста как находить P1 И P2 Все никак не могу понять

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Простите, я не могу понять, что вы хотите…

      [ Ответить ]
  11. Павел

    Здравствуйте! Пожалуйста объясните ответ к заданию 5,не понятно просто,особенно часть: 2п-arccos0,2+2пn. Я не понимаю почему 2п-arccos0,2? Я вообще не очень понимаю как записываются ответы с arccos,arcsin понятен,а вот arccosin нет,помогите,пожалуйста.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Павел, скажите, что по-вашему, должно быть вместо 2пи-arccos0,2+2пиn?
      И ещё вопрос: как вы считаете, arccos 0,2 – это сколько примерно (очень примерно) в градусах?
      Если вы ответите, я возможно смогу понять где вы заблуждаетесь…

      [ Ответить ]
      • Павел

        arccos0,2-это примерно 78°,но видимо я не корректно поставил вопрос. Я не понимаю что вообще на этом месте ставится и почему,точнее всегда ли ставится вначале 2п или это индивидуально для каждого примера

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Хорошо. А когда мы проводили вертикаль к оси косинусов через 0,2, мы же тригонометрическую окружность пересекали дважды? Как по вашему можно примерно в градусах определить точку, что ниже второй? И понимаете ли вы, что указывая промежуток, мы должны следить за тем, чтобы левый конец был бы меньше правого?

          [ Ответить ]
          • Павел

            Ааа,до меня дошло,спасибо вам!

            [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




19 + 13 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif