01. Решение прямоугольного треугольника

Определение косинуса угла смотрите здесь

$cosA=\frac{AC}{AB};$

$\frac{1}{4}=\frac{AC}{12};$

$AC=3.$

Ответ: $3.$ 

Определение синуса угла смотрите здесь

$sinA=\frac{BC}{AB};$

$\frac{8}{17}=\frac{BC}{17};$

$BC=8.$

Тогда по т. Пифагора

$AC=\sqrt{17^2-8^2}=15.$

Ответ: $15.$ 

Способ 1

Воспользуемся формулой

$1+tg^2A=\frac{1}{cos^2A};$

Так как $tgA=\frac{5}{\sqrt{20}}$, то

 $1+\frac{25}{20}=\frac{1}{cos^2x};$

$\frac{45}{20}=\frac{1}{cos^2x};$

$\frac{4}{9}=cos^2x;$

Поскольку $\angle A$ – острый, то $cosA=\frac{2}{3};$

Наконец,

$cosA=\frac{AC}{AB};$

$\frac{3}{2}=\frac{AC}{1,5};$

$AC=1;$

Способ 2

Так как $tgA=\frac{5}{\sqrt{20}}=\frac{BC}{AC}$, то  пусть $BC=5x,\;AC=\sqrt{20}x.$

По т. Пифагора

$1,5^2=(5x)^2+(\sqrt{20}x)^2;$

$1,5^2=45x^2;$

$x=\frac{1,5}{\sqrt{45}}.$

Тогда

$AC=\sqrt{20}x=\sqrt{20}\cdot \frac{1,5}{\sqrt{45}}=1.$

Ответ: $1.$ 

$sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{24}{\sqrt{AC^2+BC^2}}=\frac{24}{\sqrt{7^2+24^2}}=\frac{24}{25}=0.96.$

Ответ: $0,96.$ 

$\angle A=\angle BCH,$ поэтому

$tgA=tg BCH=\frac{BH}{CH}=\frac{\sqrt{BC^2-CH^2}}{CH}=\frac{\sqrt{(\sqrt2)^2-1}}{1}=1.$

Ответ: $1.$ 

$sinA=sinBCH=\frac{BH}{BC}=\frac{3}{12}=0,25.$

Ответ: $0,25.$ 

$tgA=tgBCH=\frac{BH}{CH}=\frac{21}{\sqrt{BC^2-BH^2}}=$

$=\frac{21}{\sqrt{(3\sqrt{65})^2-21^2}}=\frac{21}{12}=1,75.$

Ответ: $1,75.$ 

Треугольник $ABC:$

$tgA=\frac{1}{3},$ тогда $BC=x,AC=3x.$

$(3x)^2+x^2=10^2;$

$10x^2=100;$

$x=\sqrt{10}.$

Треугольник $BCH:$

$tgA=tgBCH=\frac{1}{3},$ тогда $BH=y,CH=3y.$

$(3y^2)+y^2=(\sqrt{10})^2;$

$y=1.$

Ответ: $1.$ 

$\angle A=\angle BCH,$ поэтому $sin BCH=\frac{3}{5}.$

Пусть тогда $BH=3x, BC=5x.$

А так как $BC=25$ по условию, то

$5x=25;$

$x=5.$

Далее, так как $CH=4x$ (по теореме Пифагора из треугольника $BCH$), то

$CH=4\cdot 5=20.$

Ответ: $20.$ 

$\angle A=\angle BCH,$ поэтому $sin BCH=sinA=0,25=\frac{1}{4}.$

Тогда пусть в треугольнике $BCH$   $BH=x, BC=4x.$

А поскольку $BC=8,$то

$8=4x,$

откуда

$x=BH=2.$

Ответ: $2.$ 

Треугольник $ABC:$

$CosA=\frac{\sqrt{33}}{7},$ тогда пусть $AC=\sqrt{33}x, AB=7x.$

Стало быть,

$(\sqrt{33}x)^2+7^2=(7x)^2;$

$16x^2=7^2;$

$x=\frac{7}{4}.$

Треугольник $ACH:$

$CosA=\frac{\sqrt{33}}{7},$ тогда пусть $AH=\sqrt{33}y, AC=7y.$

Имеем:

$AC=\sqrt{33}x=7y;$

$y=\frac{\sqrt{33}\cdot \frac{7}{4}}{7}=\frac{\sqrt{33}}{4}.$

Стало быть,

$AH=\sqrt{33}y=\sqrt{33}\cdot \frac{\sqrt{33}}{4}=\frac{1}{4}=0,25.$

Ответ: $0,25.$ 

Треугольник $ACH:$

$tgA=\frac{CH}{AH},$ тогда пусть $CH=x, AH=3x.$

А так как по условию $AH=27,$ то $3x=27,$ то есть $x=9.$

Треугольник $BCH:$

$tgA=tgBCH=\frac{BH}{CH},$ тогда пусть $BH=y,CH=3y.$

В тоже время $CH=x.$

Стало быть, $3y=9,$  $y=3.$

Ответ: $3.$ 

Из треугольника $ABC:$

$BC=\frac{AB}{2},$ так как катет $BC$ лежит против угла в $30^{\circ}.$

$BC=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3.$

Значит по т. Пифагора

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2-(\sqrt3)^2}=3.$

Из треугольника $ACH$:

$CH=\frac{AC}{2}$, так как катет $CH$ лежит напротив угла в $30^{\circ}.$

$CH=1,5.$

Ответ: $1,5.$ 

Из треугольника $ABC:$

$BC=\frac{AB}{2}=\frac{60}{2}=30,$

так как катет $BC$ лежит против угла в $30^{\circ}.$

Аналогично из треугольника $CBH:$

$BH=\frac{BC}{2}=\frac{30}{2}=15.$

Тогда

$AH=AB-BH=60-15=45.$

Ответ: $45.$