Путеводитель по задачам №19 (С7)

2017-05-14
Список всех задач №19, разобранных на сайте 

(список пополняется)


0. (Досрочн., 2017)  На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Ответ: а) да; б) нет; в) 35. Решение


1. (ЕГЭ, 2015) Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из‐за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест – 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? Ответ: а) да; б) да; в) 15. Решение


2. (ЕГЭ ДЕМО, 2015) На доске написано более 40, но меее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответ: а) 44; б) отрицательных больше; в) 17. Решение


3. (ЕГЭ резервн., 2016)  На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \frac{A+B}{2}.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее

арифметическое всех чисел будет равно \frac{A+B}{2}.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \frac{A+B}{2}.

Ответ: а) все пятерки в одной группе, остальные числа – в другой; в) 4\frac{14}{29}. Решение


4. (ЕГЭ, 2016)  На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек числа, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательности 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Ответ: а) (1;10;23)(2;9;22), (3;8;21), (4;7;20)(5;6;19). б) нет; в) 6. Решение


 5. (Т/Р МИОО, 2016) Возрастающие арифметические прогрессии a_1,a_2,...,a_n,... и b_1,b_2,...,b_n,... состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогресcии, для которых  \frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2} и \frac{a_4}{b_4} – различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \frac{a_1}{b_1},\frac{b_2}{a_2} и \frac{a_4}{b_4} – различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \frac{a_2}{b_2}, если известно, что \frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2} и \frac{a_{10}}{b_{10}} – различные натуральные числа? Ответ: a) да; б) нет; в) 2. Решение


6. (Досрочн., 2016) Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {200;201;202;...;299} хорошим?
б) Является ли множество {2;4;8;...;2^{100}} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества

{1;2;4;5;7;9;11}?

Ответ: а) да; б) нет; в) 8. Решение


7. (Т/Р Ларина) Рассматриваются дроби вида \frac{n}{n+1}, где n\in N.

а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида \frac{n}{n+1} быть целым числом?

б) Может ли сумма двух различных дробей вида \frac{n}{n+1} равняться дроби вида \frac{n}{n+1}?

в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида \frac{n}{n+1}, сумма которых больше 10.

Ответ: а) да; б) нет; в) 11. Решение


8. (Т/Р Ларина) Решите в целых числах уравнение

а) 2x^2+5y^2=7;

б) 2x^2-5y^2=7;

в) 2x^2+5y^2=7xy.

Ответ: а) (1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1); б) решений нет; в) (n;n), (5n;2n), n\in Z. Решение


9. (Т/Р Ларина) Многозначное число 123456789101112…9991000 получено в результате последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.

а) Какое наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, содержится в записи этого числа?
б) Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?
в) Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?

Ответ: а) 5; б) 2893; в) 8. Решение


10. (Т/Р Ларина) На доске записаны два натуральных числа: 672 и 560. За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).
а) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?
б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число 2?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов. Ответ: а) да; б) нет; в) 7.  Решение


11. (Т/Р Ларина) Целые числа x,y и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а) Могут ли числа x+3, y^2 и z+5 образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б) Могут ли числа 5x, y и 3z образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в) Найдите все x,y и z, при которых числа 5x+3,y^2  и  3z+5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию. Ответ:  а) да; б) нет; в) 2;6;18 или 2;-6;18. Решение


12. (Т/Р Ларина) Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6.
а) Можно ли, используя все палочки, сложить равнобедренный треугольник?

б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя). Ответ: а) да; б) нет; в) 4\sqrt5. Решение


13. (Т/Р Ларина)  Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на 12, и сумма его цифр делится на 12.

А) Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?
Б) Найдите наименьшее возможное число N;
В) Найдите наибольшее возможное число N;
Г) Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N (содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр)?

Ответ: а) да; б) 10056; в) 99972; г) 4; 12. Решение


14. (Т/Р Ларина) а) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел равняться кубу натурального числа?

б) Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?
в) Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.

Ответ: а) да; б) да; в) 19. Решение


15. (Т/Р Ларина) Дан клетчатый квадрат размером 6х6.

а) Можно ли этот квадрат разрезать на десять попарно различных клетчатых многоугольников?
б) Можно ли этот квадрат разрезать на одиннадцать попарно различных клетчатых многоугольников?
в) На какое наибольшее число попарно различных клетчатых прямоугольников можно разрезать этот квадрат? Ответ: а) да; б) нет; в) 8. Решение


16. (Т/Р Ларина) a) Найти натуральное число n такое, чтобы сумма 1+2+3+...+n равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

Ответ: а) 36; б) 0,1;0,2;0,3;0,4. Решение


17. (Т/Р, 2017) Конечная возрастающая последовательность a_1;a_2;...;a_n состоит из n\geq 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k\leq n-2 выполнено равенство 4a_{k+2}=7a_{k+1}-3a_{k}.

а) Приведите пример такой последовательности при n=5.
б) Может ли в такой последовательности при некотором n\geq 3 выполняться равенство a_{n}=4a_{2}-3a_{1}?

в) Какое наименьшее значение может принимать a_1, если a_n = 527?

Ответ: a) 1;65;113;149;176; б) нет; в) 2. Решение


18. (Т/Р Ларина) Заданы числа: 1,2,3,..,100. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

a) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10.
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на умма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?

Ответ: а) нет; б) да; в) нет. Решение


19. (Т/Р Ларина) Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: (1); (3;5); (7;9;11);(13;15;17;19)...

а) Найти сумму чисел в десятой группе;
б) Найти сумму чисел в сотой группе;
в) Определить среди первых ста групп количество групп, в которых сумма чисел делится на 3.

Ответ: a) 1000;  б) 1000000; в) 33. Решение


20. (Т/Р Ларина) Пусть S_n – сумма n первых членов арифметической прогрессии {a_n}.

Известно,что S_{n+1}=2n^2 -21n-23, а S_{n‐2}=2n^2-33n+58.
а) Укажите формулу n‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму S_n.
в) Найдите наименьшее n, при котором S_n будет квадратом целого числа.

Ответ: a) 4n-27; б) 12; в) 25. Решение


21. (Т/Р Ларина) Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших – по 200 руб. за штуку, средних – по 150 руб. за штуку и маленьких – по 100 руб. за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на 2.

a) Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на 5000 рублей?

б) Сможет ли Василий при таких условиях купить 14 больших раков?
в) Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?

Ответ: а) да; б) нет; в) 34. Решение


22. (Т/Р Ларина) а) Найдите значение выражения tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg88^{\circ}\cdot tg89^{\circ}.

б) Докажите, что tg40^{\circ}+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}=tg40^{\circ}\cdot tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}.

в) Найдите значение выражения (1+tg1^{\circ})\cdot (1+tg2^{\circ})\cdot ...\cdot (1+tg44^{\circ}).

Ответ: а) 1; б) 2^{22}. Решение


Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif