Главная › 17 (С6) Параметры* › Путеводитель по задачам с параметром

12 Июл 2016

Категория: 17 (С6) Параметры*

Путеводитель по задачам с параметром

Елена Репина 2016-07-12 2021-06-13

Список всех задач с параметром, разобранных на сайте (список пополняется)

Смотрите также подборку задач С6 (с ответами) для подготовки к ЕГЭ

Системы с параметром + показать

-5. (ДЕМО ЕГЭ, 2020) Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} (|x|-5)^2+(y-4)^2=9,& & (x+2)^2+y^2=a^2; \end{cases}$

имеет ровно одно решения.

Ответ: $2;\sqrt{65}+3.$ Видеорешение

-4. (Реальный ЕГЭ, 2018) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

$\begin{cases} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,& & x^2=y^2; \end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Ответ: $(\frac{-2-\sqrt2}{3};-1)\cup (-1;-0,6)\cup (-0,6;-2+\sqrt2).$ Решение

-3. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} ((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot ln(9-x^2-y^2)=0,& & ((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot (x+y-a+5)=0; \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Ответ: $(1;2]\cup [8;9).$ Решение

-2. (Досрочный ЕГЭ, 2018) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &xy=a^2-3a \end{cases}$

имеет ровно два различных решения?

Ответ: $2;6.$ Решение

-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} &(y^2-xy+x-3y+2)\sqrt{x+3}=0,& &a-x-y=0;& \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Ответ: $(-4;-2]\cup$ { $0$ }. Решение

0. (Досрочный, 2017) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система неравенств

$\begin{cases} ax\geq 2,& &\sqrt{x-1}>a,& &3x\leq 2a+11;& \end{cases}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4].$

Ответ: $[0,5;\sqrt3).$ Решение

1. (Досрочный, 2016) Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} \frac{xy^2-3xy-3y+9}{\sqrt{x+3}}=0,& &y=ax;& \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Ответ: $(0;\frac{1}{3}]\cup$ { $3$ } Решение

2. (Т/Р, 2016) Найдите все неотрицательные значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} \sqrt{(x+2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-a)^2}=\sqrt{4+a^2},& &5y=|6-a^2|;& \end{cases}$

имеет единственное решение.

Ответ: $[1;6].$ Решение

3. (ЕГЭ, 2016) Определите, при каких значениях параметра система уравнений

$\begin{cases} x(x^2+y^2+y-2)=|x|(y+2),& &y=x+a& \end{cases}$

имеет ровно три различных решения.

Ответ: $(-2\sqrt2;-2)\cup (-2;0]\cup$ { $-1+\sqrt2$ }. Решение

4. (ЕГЭ, 2016, резерв) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} (x-3)(y+3x-9)=|x-3|^3,& &y=x+a;& \end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Ответ: $(-7;-3)\cup (-3;1).$ Решение

5. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при которых система

$\begin{cases} |x^2-x-6|=(y-1)^2+x-7,& &3y=2x+a;& \end{cases}$

имеет ровно один или два корня.

Ответ: $(-\infty;-10)\cup(-9;-2]\cup[3;+\infty).$ Решение

6. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} 2cosx+asiny=1,& &log_zsiny=(log_za)\cdot log_a(2-3cosx),& &log_az+log_a(\frac{1}{2a}-1)=0;& \end{cases}$

имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $(0;\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4};\frac{1}{3}].$ Решение

7. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $b$ , при которых система

$\begin{cases} cos(y-b)-2cosx=0,& &log_2(by-y^2)=2log_4(-x)-log_{\frac{1}{2}}(3y);& \end{cases}&$

имеет нечетное число решений.

Ответ: $(\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\frac{9\pi}{2}+6\pi n],n\in Z.$ Решение

8. (Т/Р Ларина) При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} 2|x-a+3|+|2y+a|=4,& &(x-y+3)(x-y+6)=0;& \end{cases}&$

имеет ровно два решения?

Ответ: $(-\frac{10}{3};-\frac{4}{3})\cup (-\frac{2}{3};\frac{4}{3}).$ Решение

9. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , прри каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2+3(3-2|x|)}+\sqrt{y^2+y-a+8(2-|y|)}=5,& &y-x^2=a;& \end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Ответ: $(-9;-4)\cup$ { $-\frac{32}{9}$ }. Решение

10. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \sqrt{(x-4)^2+y^2}+\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}=4,& &(x-a)^2+(y-a)^2=4;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Ответ: { $2$ } $\cup (4-\sqrt2;4+\sqrt2].$ Решение

11. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} \frac{x^2+y^2+8x-6y+21}{\sqrt{y-x-5}}=0,& &y=a(x-1)+3;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Ответ:{ $-\frac{2\sqrt{21}}{21}$ } $\cup [0;\frac{2}{5}).$ Решение

12. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} (x+3)^2+(|y|-7)^2=9,& &(x-9)^2+(y-2)^2=a;& \end{cases}$

имеет ровно три решения.

Ответ: $144;256.$ Решение

13. (ЕГЭ, 2015) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|,& &x+2y=a;& \end{cases}$

имеет более двух решений.

Ответ: $(-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).$ Решение

14. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} \sqrt{y^2+y-20|y|-6x-a+113}+\sqrt{y^2+y+12|y|+10x-a+49}=\sqrt{320},& &x^2-2x-y+a+3=0.& \end{cases}$

имее ровно два решения.

Ответ: { $-6;-5$ } $\cup [-1;3)$ . Решение

15. (Т/Р Ларина)Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\begin{cases} (y-2a+2)^2+(x-a)^2}=a^2-5a+4,& &y\geq |x|;& \end{cases}$

имеет единственное решение.

Ответ: $0;4;3-\sqrt5.$ Решение

16. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\begin{cases} x(xy-x^2+6x-9)=y(2x+y+3),& &4(y-ax)=3(4a-3);& \end{cases}$

имеет ровно два решения.

Ответ: $-18;0;\frac{1}{16};\frac{3}{8};1.$ Решение

17. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \frac{(y^2+x^2-1)(y^2-y+x^2-x)}{\sqrt{y-x}}=0,& &y+x=a;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Ответ: $(-\sqrt2;0]\cup$ { $1$ } $\cup [\sqrt2;2).$ Решение

18. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \frac{y^3+yx^2-4y}{\sqrt{x+1}}=0,& &y-ax=5a+2;& \end{cases}&$

имеет ровно одно решение.

Ответ: $(-\frac{\sqrt3+2}{4};-\frac{1}{2}]\cup$ { $-\frac{2}{7};0$ }. Решение

19. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых множество решений системы

$\begin{cases} x^2+(a+4)x+4a\leq y,& &3x+y-(2a+4)\leq 0;& \end{cases}&$

содержит отрезок $AB$ , где $A(-2;0),$ $B(-1;0).$

Ответ: $[-3,5;1].$ Решение

20. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} x+\sqrt y=1,& &a+3-\sqrt y=\frac{1}{2}(a-x)^2;& \end{cases}$

имеет единственное решение.

Ответ: { $-\frac{5}{4}$ } $\cup (-1;5].$ Решение

21. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} a^2+ax-2x-4a+4\leq 0,& &xa=-4;& \end{cases}$

имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $[1-\sqrt5;0)\cup [2;1+\sqrt5].$ Решение

21. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} a^2-x^2+2x-2a\leq 0,& &x^2=4x-a;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Ответ: $[\frac{-1-\sqrt{17}}{2};0)\cup (\frac{-1+\sqrt{17}}{2};3].$ Решение

22. (Т/Р Ларина) При каком наибольшем значении параметра $a$ система уравнений имеет единственное решение

$\begin{cases} (x+a\sqrt3)^2+y^2+6y+8=0,& &\sqrt3|x|+y=6;& \end{cases}$

Ответ: $\frac{11}{3}.$ Решение

23. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \sqrt{x^2+2x+y^2-4y+5}+\sqrt{x^2-4x+y^2-12y+40}=5,& &y=x^2+a;& \end{cases}$

имеет ровно два решения.

Ответ: $[2;\frac{34}{9}).$ Решение

24. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

$\begin{cases} y=\frac{(x-1)^2}{2},& &lg(5-a-y)=lg(a-x);& \end{cases}$

имеет решение.

Ответ: $(-3;3,25].$ Решение

25. (Т/Р Ларина) При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} y^2+2xy+(x^2+2x-3)(3-x^2)=0,& &y-ax-6a=0;& \end{cases}$

имеет более двух различных решений?

Ответ: $(-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup [-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};+\infty].$ Решение

26. (Т/Р Ларина) Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств

$\begin{cases} x^2+y^2-a^2\leq 6x-4y-13,& &x^2+y^2-4a^2\leq 8y-10x+4a-40;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Ответ: $-\frac{11}{3};3.$ Решение

27. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\begin{cases} y^2+xy-7x-14y+49=0,& &y=ax^2+1,& &x\geq 3;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Ответ: { $-\frac{1}{24};0$ } $(\frac{1}{3};\frac{2}{3}].$ Решение

27. (ЕГЭ, 2013) При каких действительных значениях параметра a система

$\begin{cases} 3|x|+2|y|=12 & &x^2 +y^2=a^2 \end{cases}$

имеет наибольшее число решений?

Ответ: $(-4;-\frac{12}{\sqrt{13}})\cup (\frac{12}{\sqrt{13};4}).$ Решение

28. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} cos(cosx)-cosy=(a^2+1)(y-cosx),& &2y^2-(3a-8)cosx+a^2-4a=0;& \end{cases}$

не имеет решений.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty)$ . Решение

29. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}=3,& &(x-a)^2+(y+2a-8)^2=a-3;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Ответ: $[3;3,2)\cup$ { $3,25$ }. Решение

30. (Т/Р Ларина)

Найти все $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} y-ax=a+5,& &xy^2-x^2y-2xy+4x-4y+8=0;& \end{cases}$

имеет ровно два решения.

Ответ: ${-25; \pm 1;0;1\pm \frac{4}{\sqrt5}}.$ Решение

31. (Т/Р Ларина)

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} 9y=(a-1)^2+9(x-a)^2,& &y=log_2(1+\frac{|x|}{x});& \end{cases}$

имеет единственное решение?

Ответ: $(-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}.$ Решение

32. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} x^2+xy-4x-2y+4=0,& &ax^2-y=4;& \end{cases}$

имеет ровно два решения?

Ответ: $-\frac{1}{24};0;1$ . Решение

33. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\begin{cases} x^2+y^2-2|x-y|=2,& &x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;& \end{cases}$

имеет ровно два решения.

Ответ: { $-\sqrt{2+2\sqrt2}$ } $\cup(-2;2)\cup$ { $\sqrt{2+2\sqrt2}$ }. Решение

34. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:

$\begin{cases} &x^2+(5a+2)x+4a^2+2a<0,& &x^2+a^2=4.& \end{cases}$

Ответ: $(-\sqrt2;-\frac{16}{17})\cup (0;\sqrt2).$ Решение

35. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:

$\begin{cases} &|x^2-5x+4|-9x^2-5x+4+10x|x|=0,& &x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0.& \end{cases}$

Ответ: { $-1$ } $\cup[1;6].$ Решение

Уравнения с параметром + показать

-6. (Реальный ЕГЭ, 2021) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a|x+1|+(1-a)|x-1|+2=0$

имеет ровно два различных корня.

Ответ: $(-\infty;-1)\cup (2:+\infty).$ Решение

-5. (Реальный ЕГЭ, 2021) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{x^2-ax+4a}$
имеет ровно два различных корня.

Ответ: $(-\infty;-2]\cup (0;2)\cup (2;+\infty).$ Решение

-4. (Т/P, 2020) Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$(x^2-3+\sqrt{2x+a})^2=(x^2-3)^2+2x+a$

имеет единственный решение на отрезке $[0;2].$

Ответ: $[-4;-2\sqrt3]\cup (0;+\infty).$ Видеорешение

-3. (Реальный ЕГЭ, 2019) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{x^2-2x+a^2-4a}{x^2-a}=0$

имеет ровно два различных решения?

Ответ: $(2-\sqrt5;0)\cup (0;1)\cup (1;4)\cup (4;2+\sqrt5).$ Решение Видеорешение 1 2 New*

-2. (Реальный ЕГЭ, 2019) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{|4x|-x-3-a}{x^2-x-a}=0$

имеет ровно два различных решения?

Ответ: $(-3;0)\cup (0;2)\cup (2;6)\cup (6;12)\cup (12;+\infty).$ Решение

-1. (Реальный ЕГЭ, 2017) Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{5x-3}\cdot ln(x^2-6x+10-a^2)=0$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$

Ответ: $(-2,6;-2,4]\cup [2,4;2,6).$ Решение

0. (резервный ЕГЭ, 2017) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$x\sqrt{x-a}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ .

Ответ: $(-\infty;0)\cup [2-\sqrt2;1].$ Решение

1. (ЕГЭ, 2016) Определите, при каких значениях параметра уравнение

$\sqrt{2^x-a}+\frac{a-2}{\sqrt{2^x-a}}=1$

имеет ровно два различных решения.

Ответ: $a\in (2;2,25).$ Решение

2. (ЕГЭ, 2016) Определите, при каких значениях параметра уравнение

$\sqrt{15x^2+6ax+9}=x^2+ax+3$

имеет ровно три различных решения.

Ответ: $[-4;-3)\cup (-3;3)\cup (3;4].$ Решение

3. (ЕГЭ, 2016) Определите, при каких значениях параметра уравнение

$\frac{x-2a}{x+2}+\frac{x-1}{x-a}=1$

имеет ровно один корень.

Ответ: { $\frac{-1-\sqrt{10}}{2};-2;-1;1;\frac{-1+\sqrt{10}}{2}$ }.Решение

4. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$(\frac{x-1}{x^2+1})^2-2a\cdot \frac{x-1}{x^2+1}+a^2-0,25=0$

имеет ровно три различных действительных корня.

Ответ: $-0,5;-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2-2}{2}.$ Решение

5. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $log_3(ax^3+a)-2log_3\sqrt{x+1}=log_3x$ имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ: $(0;1].$ Решение

6. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$tg(\sqrt{a^2-x^2})=0$

имеет ровно $132$ решения.

Ответ: $(-66\pi;-65\pi)\cup (65\pi;66\pi).$ Решение

7. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$|x+21|+|x+34|+|x+55|+|x+89|=ax+131$

имеет одно решение.

Ответ: $(-\infty;-4]$ { $\frac{21}{17}$ } $\cup (4;+\infty).$ Решение

8. (Т/Р Ларина) Найдите все положительные значения $a$ , при каждом из которых любой корень уравнения

$0,5^x-3x-\sqrt[3]x+4=a(5-log_3(1-2x))$

находится в промежутке $[-1;0].$

Ответ: $[1;2,5].$ Решение

9. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$7^{ax^2-2x}-7^{x^2-1}=\sqrt[7]{2x-ax^2}-\sqrt[7]{1-x^2}$

имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ: $(-\infty;1)\cup (1;2).$ Решение

10. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$x^2-acos\frac{\pi x}{2}+a^2-6=0$

имеет ровно один корень.

Ответ: $3.$ Решение

11. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$|x^2-2x-3|-ax=2(3a+2)$

имеет ровно три корня.

Ответ: $-\frac{4}{9};0.$ Решение

12. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\frac{a^3-(x+2)a^2+xa+x^2}{a+x}=0$ имеет ровно один корень.

Ответ: $1;3.$ Решение

13. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $2|2|x|-a^2|=x-a$ имеет ровно три корня.

Ответ: $-2;-0,5.$ Решение

14. (Т/Р Ларина) Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $a|x-1|=x+2$ имеет ровно один корень. Укажите этот корень для каждого такого значения $a.$

Ответ: $a\in (-1;1]$ : $x=\frac{a-2}{a+1}.$ Решение

15. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых корни уравнения $x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0$ являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: $-5;-\frac{5}{13}.$ Решение

16. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$4^{a^2}\cdot log_2(|x^2-6x+8|+2)+2^{3a-|x^2-6x+8|}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0$

имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ: $(\frac{1}{2};1)\cup$ { $0;1,5$ }. Решение

17. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$a^x+1-a^2=log_a\frac{1}{x}$

имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке $[1; 2]$ .

Ответ: $[\frac{1}{2};1)\cup [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).$ Решение

18. (Т/Р Ларина) Найти все значения параметра $a$ , при которых больший корень уравнения

$x^2+\frac{x+4}{\sqrt3}sin2a-16=0$

на $\sqrt{\frac{2}{3}}$ больше, чем квадрат разности корней уравнения

$x^2-xsina+\frac{cos^2a}{4}-1=0.$

Ответ: $-\frac{5\pi}{24}+\pi n,$ $\frac{\pi}{24}+\pi n$ , $n\in Z.$ Решение

19. (Т/Р Ларина) При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно одно решение?

$(x-3)(x+1)+3(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=(a-1)(a+2).$

Ответ: $-0,5.$ Решение

20. (Диагностич., 2013) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$|x-a^2+a+2|+|x-a^2+3a-1|=2a-3$

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$

Ответ: $[4;7].$ Решение

21. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $x-2=\sqrt{-2(a+2)x+2}$ имеет единственное решение.

Ответ: $(-\infty;-1,5].$ Решение

22. (Диагностич., 2014) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $x^2-|x-a+6|=|x+a-6|-(a-6)^2$ имеет единственный корень.

Ответ: $1;5.$ Решение

23. (ЕГЭ, 2013) Найти все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $ax+\sqrt{-5-6x-x^2}=5a+2$ имеет единственное решение.

Ответ: $[-1;-\frac{1}{3})\cup$ {0}. Решение

24. (Досрочн. ЕГЭ, 2013) Найдите все значения $a$ , для каждого из которых уравнение $\log_{1-x}(a-x+2)=2$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку $[-1;1).$

Ответ: $(-1; 2)\cup(2; 3]$ . Решение

25. (Досрочн. ЕГЭ, 2013) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $a|x-4| = \frac{5}{x+1}$ на промежутке $[0; +\infty)$ имеет ровно три корня.

Ответ: $\frac{2}{9},\;(\frac{2}{5}; + \infty)$ . Решение

26. (Т/Р Ларина) Найдите все значния параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\frac{2a^2-(x+3)a-x^2+3x}{x^2-9}=0$

имеет ровно один корень.

Ответ: { $-3;0;1$ }. Решение

27. (Т/Р Ларина) Найдите все значния параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2\cdot (|x-2|+|x|)^2-3(a-2)\cdot (|2-x|+|x|)+a^2-3a=0$

имеет не менее трех различных корней.

Ответ: { $4$ } $\cup [5;6)\cup (6;+\infty).$ Решение

28. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2cos2x+2asinx+a-1=0$

имеет наибольшее количество решений на отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ . Чему равно это количество?

Ответ: $(-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1);$ $8$ корней. Решение

29. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$x^4-x^2+\frac{|ax|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=0$

имеет ровно три корня. Для каждого такого $a$ укажите корни.

Ответ: три корня при $a=0$ или $a=2;$

$a=0$ : $0$ ; $\pm 1$ ;

$a=2$ : $0$ ; $\pm \frac{1}{\sqrt3}$ . Решение

30. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$ax^2+x+a-1=0$

имеет два различных корня $x_1,x_2,$ удовлетворяющих неравенству $|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1$ .

Ответ: $(0;1)\cup(1;\frac{6}{5}).$ Решение

31. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$log_2^2|4-x^2|-2a\cdot log_2|x^2-4|+a+6=0$

имеет ровно четыре различных корня.

Ответ: { $-2$ } $\cup (3;\frac{10}{3}).$ Решение

32. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$4sin^2x-4asinx+a^3-a^2=0$

имеет ровно один корень на промежутке $[-\frac{\pi}{2};2\pi].$

Ответ: $\pm 2.$ Решение

33. (Т/Р Ларина) При каких положительных значениях параметра $a$ уравнение $||2x|-4|=|x^2-a|$

имеет ровно $4$ решения?

Ответ: { $3$ } $\cup (4;+\infty).$ Решение

34. (Т/Р, 2017) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$

имеет ровно три решения.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (-2;0).$ Решение

35. (Т/Р Ларина) Найдите все значния параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$lg(x^2(x-2a)+x(2+a)+1-a^2)=lg(x^2-a^2x+2x-a^2+1)$

имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (-1;\frac{1-\sqrt5}{2}]\cup$ {0} $\cup[1;\frac{1+\sqrt5}{2})$ . Решение

36. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$log^2_x(2ax+1-a^2)-2log_x(2ax+1-a^2)=0$

имеет более двух корней.

Ответ: { $0$ } $\cup (1;2)\cup (2;+\infty).$ Решение

37. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{4x-x^2}\cdot log_2(x^2-2ax+a^2)=0$

имеет ровно три различных корня.

Ответ: $(-1;0)\cup (0;1]\cup [3;4)\cup (4;5).$ Решение

38. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$|x-2|+|x|-ax=2(a-1)$

имеет ровно один корень.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup$ { $1$ } $\cup [2;+\infty).$ Решение

39. (Т/Р Ларина) Найти все $a$ , при каждом из которых уравнение $x-2=\frac{(a+1)(a-5)}{x+4}$

имеет ровно один корень на промежутке $(-\infty;0)$ . Ответ: $(-\infty;-1)\cup (-1;1]\cup$ { $2$ } $\cup [3;5)\cup (5;+\infty).$ Решение

40. (Т/Р Ларина) Найти все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$\sqrt{a-(a+1)(2x+4)=x+1$

имеет ровно один корень. Ответ: $(-\infty;-2)\cup\left \{ \frac{-1-\sqrt5}{2} \right \}.$ Решение

41. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$lg(1-x)+lg(a^2-x^2)=lg(x-a)^2$

имеет ровно одно решение. Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;1]\cup \left \{ 2 \right \}.$ Решение

42. (Т/Р 281 Ларина) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$6\cdot (\frac{x}{x^2+1})^2-\frac{(6a+1)x}{x^2+1}-12a^2+8a-1=0$ имеет ровно $4$ корня?

Ответ: $(0;\frac{1}{6})\cup(\frac{1}{6};\frac{5}{18})\cup (\frac{5}{18};\frac{5}{12}).$ Решение

43. (Т/Р 283 Ларина) Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$log_{3x-4}(a+9x+5)=-1$

имеет единственный корень на промежутке $(\frac{4}{3};2].$

Ответ: $[-22,5;-19)\cup (-19;+\infty).$ Решение

Неравенства с параметром + показать

1. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых множество решений неравенства $|x-a|+|x+3a|\geq x^2+a^2$ содержит ровно четыре целых значения $x$ .

Ответ: $(-2;0)\cup (0;2)$ . Решение

2. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых неравенство

$log_{2}^3x-3\log^2_2x<(134+a)log_2x$

выполняется для любых $x\in [2;4\sqrt2].$

Ответ: $(-135,25;+\infty).$ Решение

3. (Т/Р Ларина) Для каждого значения $a$ решите неравенство $ax^2-(2a+1)x+2>0$ .

Ответ:

$a\in (-\infty;0):$ $x\in (\frac{1}{a};2);$

$a=0: (-\infty;2);$

$a\in (0;\frac{1}{2}]:$ $x\in (-\infty;2)\cup (\frac{1}{a};+\unfty);$

$a\in (\frac{1}{2};+\infty):$ $x\in (-\infty;\frac{1}{a})\cup (2;+\infty).$

Решение

4. (Т/Р Ларина) Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

$x^2+2|x-a|-4x\leq -a$

имеет единственное целочисленное решение. Для найденных значений $a$ выпишите это решение.

Ответ: $a\in [-1;0)$ : $1$ ; $a\in (\frac{5}{3};\frac{8}{3}]$ : $2$ ; $a=3$ : $3.$ Решение

5. (Т/Р Ларина) При каких $a$ для всех $x\in [2;\frac{5}{2}]$ выполняется неравенство

$log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq 2$ ?

Ответ: ( $-2;0]\cup(1,5;2$ ) $\cup$ ( $2,5;3)\cup[7,5;+\infty$ ). Решение

6. (Т/Р Ларина) Найти все значения действительного параметра $a$ , для которых неравенство $4^x-a\cdot 2^x-a+3\leq 0$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: [ $2;+\infty$ ). Решение

7. (МГУ, 2013) Найдите минимальное значение разности $x-4a$ при условии $x^2+4a^2\leq 4.$

Ответ: $-2\sqrt5.$ Решение

8. (Т/Р Ларина) Определите, при каких значениях параметра $a$ пересечение множеств

$(x-a+1)^2+(y-2a-3)^2\leq 80$ , $(x-2a+3)^2+(y-4a+1)^2\leq 20a^2$

представляет собой круг.

Ответ: $(-\infty;-6]\cup[-\frac{2}{3};0)\cup (0;+\infty).$ Решение

9. (Т/Р Ларина) При каждом значении параметра $a$ решить неравенство

$\frac{log_2(4x-3)-2log_2x}{|x-2|-a}\geq 0$ .

Ответ: $a\in (-\infty;0)$ : $x\in [1;3];$ $a\in [0;1)$ : $x\in [1;2-a)\cup (a+2;3];$ $a=1$ : решений нет; $a\in (1;\frac{5}{4})$ : $x\in (2-a;1]\cup [3;a+2);$ $a\in [\frac{5}{4};+\infty)$ : $x\in (\frac{3}{4};1]\cup [3;a+2).$ Решение

10. (Т/Р Ларина)

При каких значениях параметра $a$ для всякого $x$ из $[0;7]$ верно неравенство

$||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|\leq 7x+24.$

Ответ: $[-3;4].$ Решение

11. (Т/Р Ларина) При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства

$log_2(x-100)-log_{\frac{1}{2}}\frac{|x-101|}{105-x}+log_2\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>a.$

содержится единственное целое число?

Ответ: $[0;log_23).$ Решение

Функции с параметром + показать

1. (Т/Р Ларина) Для каждого $a$ определите наибольшее значение функции $f(x)=x^3-3ax^2$ на отрезке $[-2; 2]$ .

Ответ: $a\in (-\infty;\frac{2}{3})$ : $8-12a;$ $a\in [\frac{2}{3};+\infty)$ : $0.$ Решение

2. (Т/Р Ларина) График функции $f(x)=x^3+ax^2+bx+c,c<0$ , пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$ , проходит через точку $A$ . Найдите $a,b$ и $c$ , если площадь треугольника $AMN$ равна $1$ .

Ответ: $a=-4,$ $b=5,$ $c=-2.$ Решение

3. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых наибольшее значение функции

$f(x)=133ax-|x^2-10x+24|$

больше $-2.$

Ответ: $(-\infty;-\frac{10+2\sqrt2}{2})\cup(-\frac{1}{266};+\infty).$ Решение

4. (Т/Р Ларина) Парабола $p_2$ симметрична параболе $p_1$ , заданной уравнением $y=ax^2 (a>0)$ , относительно точки $T(b;ab^2), b>0.$ Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке: $p_1$ – в точке $A_1,$ $p_2$ – в точке $A_2$ так, что угол $A_1A_2T$ прямой. Касательная к параболе $p_1$ , проведенная в точке $T$ , пересекает прямую $A_1A_2$ в точке $K$ . Найдите отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $A_1A_2.$

Ответ: $1:1$ . Решение

5. (Т/Р Ларина) Найдите все $a$ , при каждом из которых функция

$f(x)=x^3-3ax^2+3a^2x-3|x|+3$

имеет ровно два экстремума на промежутке (‐2;3).

Ответ: $(-1;2).$ Решение

6. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых для любого $x$ из промежутка $[3;9)$ значение выражения $log^2_3x-6$ не равно значению выражения $(a-4)log_3x.$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup [3;+\infty).$ Решение

7. (Т/Р Ларина) Найдите все значения $a$ , при каждом из которых функция $f(x)=||x|-2|-ax+8a$ принимает значение, равное 2, в двух различных точках.

Ответ: $(-1;0)\cup(\frac{1}{5};\frac{1}{3}).$ Решение

8. (ДЕМО, 2014) Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x)=2ax+|x^2-8x+7|$ больше 1.

Ответ: $(\frac{1}{2};5)$ Решение

9. (Т/Р Ларина) Уравнение $2x^3+ax^2+bx+c=0$ с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.