2023
1.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и МC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 7 и MK = 14.
Решение Ответ:
1.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 4 и MK = 12.
Ответ:
2.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке причём меньшая проходит через центр большей. Хорда
большей окружности касается меньшей в точке
Хорды
и
пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно, а отрезки
и
пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите длину хорды если
a радиус меньшей окружности равен
Решение Ответ:
2.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке причём меньшая проходит через центр большей. Хорда
большей окружности касается меньшей в точке
Хорды
и
пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно, а отрезки
и
пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите длину хорды если
a радиус меньшей окружности равен
Ответ:
3.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке причём меньшая проходит через центр большей. Хорда
большей окружности касается меньшей в точке
Хорды
и
пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Пусть — точка пересечения отрезков
и
Найдите
если радиус большей окружности равен
а
3.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке
Хорды
и
пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Пусть — точка пересечения отрезков
и
Найдите длину отрезка
, если радиус большей окружности равен
а
Ответ:
4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника
переcекает сторону
в точке
Окружность с центром
вписанная в треугольник
касается отрезка
в точке
а прямая
пересекает сторону
в точке
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника если
Решение Ответ:
4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника
пересекает сторону
в точке
Окружность с центром
вписанная в треугольник
касается отрезка
в точке
а прямая
пересекает сторону
в точке
a) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника если
Ответ:
5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной в точке
и пересекает вторую сторону в точках
и
(точка
лежит между
и
). В окружности проведён диаметр
а) Докажите, что отрезок вдвое больше отрезка
.
б) Найдите расстояние от точки до прямой
если
и
Решение Ответ:
5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной в точке
и пересекает вторую сторону в точках
и
(точка
лежит между
и
). В окружности проведён диаметр
а) Докажите, что отрезок вдвое больше отрезка
.
б) Найдите расстояние от точки до прямой
если
и
Ответ:
До 2023
-14. (Реальный ЕГЭ, 2021) Дан параллелограмм с острым углом
. На продолжении стороны
за точку
взята точка
такая, что
, а на продолжении стороны
за точку
взята такая точка
, что
а) Докажите, что .
б) Найдите если
Ответ: Решение
-13. (Реальный ЕГЭ, 2021)
Трапеция с большим основанием
и высотой
вписана в окружность. Прямая
вторично пересекает эту окружность в точке
.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Прямые и
пересекаются в точке
. Найдите
, если радиус окружности равен
,
а площадь четырёхугольника
в
раз больше площади треугольника
.
Ответ: Решение
-12. (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах и
треугольника
отмечены точки
,
и
соответственно, причём
,
,
.
Отрезки и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите , если отрезки
и
перпендикулярны,
.
Ответ: 17. Видеорешение
-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая
касается первой окружности в точке
, а второй — в точке
. Прямая
пересекает первую окружность в точке
, прямая
пересекает вторую окружность в точке
.
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны
и
.
Ответ: Видеорешение
-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника описана окружность. Прямая
, где
— центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке
.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до прямой
, если
а радиус описанной окружности равен
. Ответ:
Решение
-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника с различными сторонами описана окружность.
– диаметр. Высота
повторно пересекает окружность в точке
. Угол
равен
, угол
–
a) Докажите, что .
б) Найдите , если радиус окружности равен
. Ответ:
Решение
-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром касается оснований
и
и боковой стороны
трапеции
. Окружность с центром
касается сторон
,
и
.
Известно, что
а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции
б) Найдите . Ответ:
Решение
-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике угол
тупой,
— точка пересечения продолжений высот, угол
равен
°.
а) Докажите, что угол равен
°.
б) Найдите , если
Ответ:
Решение
-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике известны стороны и диагональ:
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите Ответ:
Решение
-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны и
, а её диагонали равны
и
.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции. Ответ: Решение
-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами и
пересекаются в точках
и
, причём точки
и
лежат по разные стороны от прямой
. Продолжения диаметра
первой окружности и хорды
этой окружности пересекают вторую окружности в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что треугольники и
подобны.
б) Найдите , если
радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и
. Ответ:
Решение
-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка – середина боковой стороны
трапеции
На стороне
отмечена точка
так, что
Прямые
пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите отношение оснований трапеции и
если площадь треугольника
составляет
площади трапеции
Ответ:
Решение
-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию с основаниями
и
вписана окружность с центром
.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь трапеции, если , а основания равны
и
.
Ответ: Решение
-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию , касается ее боковых сторон
и
в точках
и
соответственно. Известно, что
и
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка , если радиус окружности равен
. Ответ:
Решение
0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017) В треугольнике точки
‐ середины сторон
,
и
соответственно,
‐ высота,
.
а) Докажите, что точки и
лежат на одной окружности.
б) Найдите , если
Ответ:
Решение
1. (МГУ, 2015) Окружность радиуса касается середины стороны
треугольника
и пересекает сторону
в точках
и
, так что
Чему может равняться
если
? Ответ:
Решение
2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) В прямоугольном треугольнике с прямым углом
точки
и
– середины катетов
и
соответственно,
– высота.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Пусть – точка пересечения прямых
и
, а
– точка пересечения прямых
и
. Найдите площадь треугольника
, если
Ответ:
Решение
3. (ЕГЭ, 2016) В трапеции боковая сторона
перпендикулярна основаниям. Из точки
на сторону
опустили перпендикуляр
. На стороне
отмечена точка
так, что прямые
и
перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Найдите отношение если угол
равен
Ответ:
Решение
4. (ЕГЭ, 2016) В треугольнике проведены высоты
и
. На них из точек
и
опущены перпендикуляры
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Найдите отношение , если угол
равен
Ответ:
Решение
5. (ЕГЭ, 2016) В трапеции точка
– середина основания
, точка
– середина боковой стороны
. Отрезки
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что площади четырёхугольника и треугольника
равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника , если
Ответ:
Решение
6. (Диагностич., 2016) Окружность, проходящая через вершины и
прямоугольной трапеции
с основаниями
и
пересекает меньшую боковую сторону
в точке
и касается прямой
. Известно, что
а) Докажите, что – биссектриса угла
б) В каком отношении прямая делит площадь трапеции? Ответ:
Решение
7. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника
,
‐ центр вписанной в него окружности,
‐ точка пересечения высот. Известно, что
а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника
.
б) Найдите угол , если
Ответ:
Решение
8. (ЕГЭ, 2015) Две окружности касаются внутренним образом в точке , причем меньшая проходит через центр большей. Хода
большей окружности касается меньшей в точке
. Хорды
и
пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Пусть – точка пересечения отрезков
и
. Найдите
, если радиус большей окружности равен
, а
. Ответ:
Решение
9. (Диагностич., 2014) Две окружности пересекаются в точках и
. Прямая, проходящая через точку
, второй раз пересекает первую окружность в точке
, а вторую – в точке
. Прямая, проходящая через точку
параллельно
, второй раз пересекает первую окружность в точке
, а вторую – в точке
.
а) Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
б) Найдите отношение , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. Ответ:
Решение
10. (ДЕМО, 2014) Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая
касается первой окружности в точке
, а второй – в точке
. Прямая
пересекает первую окружность в точке
, а прямая
пересекает вторую окружность в точке
.
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны
и
. Ответ:
Решение
11. (Диагностич., 2013) Медианы ,
и
треугольника
пересекаются в точке
. Точки
,
и
– середины отрезков
,
и
соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника
.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что ,
и
. Ответ:
Решение
12. (Диагностич., 2013) Биссектриса угла параллелограмма
пересекает прямую
в точке . В треугольник
вписана окружность, касающаяся стороны
в точке
и стороны
в точке
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Найдите угол , если известно, что
и
Ответ:
Решение
13. (Т/Р Ларина) Две окружности имеют общий центр . На окружности большего радиуса выбрана точка
.
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки
, ни от выбора диаметра.
б) Известно, что радиусы окружностей равны и
. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка
, тангенс угла
этого треугольника равен
Ответ:
Решение
14. (Т/Р Ларина) В окружность радиуса вписан четырехугольник
,
– точка пересечения его диагоналей,
,
. Высота, опущенная из точки
на сторону
, равна
, а площадь треугольника
равна
.
а) Докажите, что – равнобедренная трапеция.
б) Найдите стороны ,
и радиус окружности
. Ответ:
Решение
15. (Т/Р Ларина) Окружность касается сторон и
треугольника
соответственно в точках
и
, точки
лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник равнобедренный
б) Найдите длину высоты треугольника , опущенной из точки
, если стороны
и
равны соответственно
и
. Ответ:
Решение
16. (Т/Р Ларина) Прямая, параллельная гипотенузе прямоугольного треугольника
, пересекает катет
в точке
, катет
– в точке
, причем
и
. На гипотенузе
взята точка так, что
, а величина угла
равна
градусов.
а) Докажите, что треугольник равносторонний
б) Найдите площадь треугольника . Ответ:
Решение
17. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внутренним образом в точке так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда
большей окружности касается меньшей в точке
. Прямые
и
вторично пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если
а радиус большей окружности равен
. Ответ:
Решение
18. (Т/Р Ларина) В треугольнике на стороне
отмечена точка
, при этом
,
,
а) Докажите, что углы и
равны.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что угол
равен
. Ответ:
Решение
19. (Т/Р Ларина) В окружности проведены хорды и
, пересекающиеся в точке
, причем касательная к окружности, проходящая через точку
, параллельна
.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что
, а площадь треугольника
равна
. Ответ:
Решение
20. (Т/Р Ларина) В ромб вписана окружность . Окружности
и
(разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности
и двух соседних сторон ромба.
А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью , составляет менее
% площади ромба.
Б) Найдите отношение радиусов окружностей и
, если известно, что диагонали ромба относятся, как
. Ответ:
Решение
21. (Т/Р Ларина) Из точки , взятой на окружности с центром в точке
, на диаметры
и
опущены перпендикуляры
и
соответственно.
a) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек .
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что
,
, а радиус окружности равен
. Ответ:
Решение
22. (Т/Р Ларина) В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты
и
. Точки
и
симметричны середине стороны
относительно прямых
и
соответственно.
а) Докажите, что отрезки и
лежат на параллельных прямых.
Б) Найдите расстояние между точками и
, если известно, что
,
,
. Ответ:
. Решение
23. (Т/Р Ларина) На основании равнобедренного треугольника
взята точка
. Окружности
и
, вписанные в треугольники
и
, касаются прямой
в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что .
б) Определите, на сколько радиус окружности больше радиуса окружности
, если известно, что
, а радиус вписанной в треугольник
окружности равен
. Ответ:
. Решение
24. (Т/Р Ларина) Даны треугольники и
. Прямые
пересекаются в одной точке. Прямые
и
пересекаются в точке
Прямые
и
пересекаются в точке
. Прямые
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что точки лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника
, если высоты треугольника
равны
, а высоты треугольника
равны
Ответ:
Решение
25. (Т/Р Ларина) Внутри равностороннего треугольника в произвольном месте поставлена точка
.
а) Докажите, что сумма расстояний от точки до сторон треугольника
равна высоте этого треугольника.
б) Найдите расстояние от точки до стороны
, если расстояние от точки
до сторон
и
соответственно равны
и
, а площадь треугольника
равна
. Ответ:
Решение
26. (Т/Р Ларина) Дан треугольник . В нём проведены биссектрисы
и
, каждая из которых равна
.
а) Докажите, что треугольник – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника , если его основание равно
. Ответ:
Решение
27. (Т/Р Ларина) Около окружности описана равнобедренная трапеция .
и
– точки касания этой окружности с боковыми сторонами
и
. Угол между основанием
и боковой стороной
трапеции равен
.
а) Докажите, что параллельно
.
б) Найдите площадь трапеции , если радиус окружности равен
Ответ:
Решение
28. (Т/Р Ларина) В равнобокой описанной трапеции , где угол
тупой, а
и
– основания, проведены:
1) биссектриса угла ;
2) высота из вершины ;
3) прямая, параллельная и проходящая через середину отрезка
.
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции , если известно, что
,
. Ответ:
Решение
29. (Т/Р Ларина) В равнобедренную трапецию с основаниями
и
вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне
как на диаметре, второй раз пересекает большее основание
в точке
.
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно и
. Ответ:
. Решение
30. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность. Прямые
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что
, а площадь четырехугольника
равна
. Ответ:
. Решение
31. (Т/Р Ларина) На сторонах прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полуокружности и
( см. рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями
и
и полуокружностями
и
.
б) Пусть прямая касается
в точке
, а
в точке
. Найдите длину отрезка
, если известно, что сумма площадей двух луночек равна
. Ответ:
Решение
32. (Т/Р Ларина) Точка лежит на диаметре
окружности с центром
.
и
– точки окружности, расположенные по одну сторону от
, причем
.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
. Ответ:
Решение
33. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике синус угла
равен
. На гипотенузе
взята точка
, а на катете
– точка
. Известно, что прямая
перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник
на две равновеликие части.
а) Докажите, что в четырехугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что . Ответ:
Решение
34. (Т/Р Ларина) К двум окружностям с центрами и
и радиусами
и
проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть
и
– точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.
а) Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность.
б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что . Ответ:
Решение
35. (Т/Р Ларина) а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
б) В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота
. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники
,
и
, если известно, что
.Ответ:
Решение
36. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике с катетами
и
проведены медиана
и биссектриса
а) Докажите, что площадь треугольника составляет одну десятую часть от площади треугольника
б) Найдите угол Ответ:
Решение
37. (Т/Р Ларина) В прямоугольный треугольник вписана окружность, которая касается гипотенузы
в точке
, а катетов – в точках
и
.
а) Докажите, что площадь треугольника равна
.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что
Ответ:
Решение
38. (Т/Р Ларина) Окружности с центром
и окружность
с центром
касаются внешним образом. Из точки
к
проведена касательная
, а из точки
к
проведена касательная
(
и
– точки касания).
a) Докажите, что углы и
равны.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что точки
и
лежат по одну сторону от прямой
, а радиусы окружностей равны соответственно
и
. Ответ:
Решение
39. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике
проведены медианы
и
. Известно, что около четырехугольника
можно описать окружность.
а) Докажите, что .
б) Пусть . Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника
. Ответ:
Решение
40. (Т/Р Ларина) Две окружности пересекаются в точках и
. Через точку
проведены диаметры
и
этих окружностей.
а) Докажите, что точки и
лежат на одной прямой.
б) Найдите произведение , если известно, что
а диаметр окружности, описанной около треугольника
равен
Ответ:
Решение
41. (Т/Р Ларина) В треугольнике проведена биссектриса
. Касательная к описанной окружности треугольника
, проходящая через точку
, пересекает прямую
в точке
.
а) Докажите, что .
б) Найдите длину отрезка , если известно, что
Ответ:
Решение
42. (Т/Р Ларина) Через вершины и
прямоугольного треугольника
(
) проведена окружность с центром в точке
, касающаяся прямой
и пересекающая продолжение стороны
в точке
.
а) Докажите, что сумма углов и
равна
.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что ,
. Ответ:
Решение
43. (Т/Р Ларина) В четырехугольнике биссектриса угла
пересекает сторону
в точке
, а биссектриса угла
пересекает сторону
в точке
. Известно, что
– параллелограмм.
а) Докажите, что – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника , если
,
, а угол между диагоналями
и
равен
. Ответ:
Решение
44. (Т/Р Ларина) В трапеции площадью, равной 30, диагонали
и
взаимно перпендикулярны, а
. Продолжения боковых сторон
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что трапеция – равнобедренная.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что
, а
Ответ:
Решение
45. (Т/Р Ларина) Окружность проходит через вершину прямоугольника
, касается стороны
, пересекает сторону
в точке
и касается стороны
в точке
.
а) Докажите, что угол равен углу
.
б) Найдите сторону , зная, что
,
Ответ:
Решение
46. (Т/Р Ларина) На диаметре окружности
выбрана точка
. На отрезках
и
как на диаметрах построены окружности
и
соответственно. Прямая
пересекает окружность
в точках
и
, окружность
– в точках
и
, а окружность
– в точках
и
.
а) Докажите, что .
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей ,
и
, если известно, что
,
. Ответ:
Решение
47. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике проведены высоты
и
.
а) Докажите, что углы и
равны.
б) Вычислите длину стороны , если известно, что периметр треугольника
равен
см, периметр треугольника
равен
см, а радиус окружности, описанной около треугольника
равен
см. Ответ:
Решение
48. (Т/Р Ларина) Площадь треугольника равна 72, а сумма длин сторон
и
равна 24.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник , если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне
. Ответ:
Решение
49. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике (
) проведены биссектрисы
,
,
.
a) Докажите, что треугольник – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что площадь треугольника
равна
, а косинус угла
равен
. Ответ:
Решение
50. (Т/Р Ларина) – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника
. Периметры треугольников
,
,
и
равны между собой.
а) Докажите, что в четырехугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если радиусы окружностей, вписанных в треугольники
,
и
равны соответственно
,
и
. Ответ:
Решение
51. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике (
) проведены высоты
,
и
.
a) Докажите, что треугольник – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что площадь треугольника
равна 12, а косинус угла
равен
. Ответ:
Решение
52. (Т/Р Ларина) Окружность касается стороны параллелограмма
, пересекает стороны
и
в точках
и
соответственно и проходит через вершины
и
.
а) Докажите, что .
б) Найдите , зная, что
,
,
Ответ:
Решение
53. (Т/Р Ларина) Равносторонний треугольник вписан в окружность. На окружности отмечена точка
, не совпадающая ни с одной из точек
,
и
.
а) Докажите, что расстояние от точки до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках ,
,
и
, если известно, что его площадь равна
, а радиус окружности равен
. Ответ:
Решение
54. (Т/Р Ларина) В равнобедренной трапеции точки
и
– середины оснований
и
соответственно. Отрезки
и
пересекаются в точке
, а отрезки
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
и
.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
,
,
. Ответ:
Решение
55. (Т/Р Ларина) В выпуклом четырехугольнике диагонали
и
взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек
и
опущены перпендикуляры на прямую
. Они пересекают прямые
и
соответственно в точках
и
.
а) Докажите, что – ромб
б) Найдите отношение площади четырехугольника к площади вписанного в него круга, если
Ответ:
Решение
56. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике высоты
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что треугольники и
подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что угол
равен
, а площадь треугольника
равна
. Ответ:
Решение
57. (Т/Р Ларина) Точка – середина стороны
параллелограмма
, прямые
и
взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке
.
а) Докажите, что площади треугольников и
равны.
б) Найдите площадь параллелограмма , если
,
. Ответ:
Решение
58. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая
касается первой окружности в точке
, а второй – в точке
.
a) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника , если радиусы окружностей
и
. Ответ:
Решение
59. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке
. Прямая, проходящая через точку
и перпендикулярная к
, пересекает сторону
в точке
.
а) Докажите, что – медиана треугольника
.
б) Найдите длину отрезка , если
,
и угол
равен
. Ответ:
Решение
60. (Т/Р Ларина) В треугольнике на стороне
выбрана точка
так, что
. Точка
– середина стороны
. Отрезки
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что треугольники и
имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника
равна
. Ответ:
Решение
61. (Т/Р Ларина) В треугольнике
,
. Окружность с центром
на стороне
проходит через вершину
, точку пересечения биссектрисы угла
со стороной
и центр
вписанной в треугольник
окружности.
а) Докажите, что прямая параллельна прямой
;
б) Найдите радиус описанной около треугольника окружности. Ответ:
. Решение
62. (Т/Р Ларина) Биссектрисы и
треугольника
пересекаются в точке
, причем
,
В четырехугольник
вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности. Ответ: Решение
63. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике
– основание. На продолжении стороны
за точку
отмечена точка
так, что угол
равен углу
.
а) Докажите, что – биссектриса угла
.
б) Найдите длину отрезка , если боковая сторона треугольника
равна 5, а его основание равно
. Ответ:
Решение
64. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность. Точка
лежит на его стороне
, причем
и
,
и
.
a) Докажите, что треугольники и
подобны;
б) Найдите . Ответ:
Решение
65. (Т/Р Ларина) Прямая , параллельная основаниям
и
трапеции
, пересекает прямые
,
,
в точках
,
и
соответственно, причём
.
а) Докажите, что точки пересечения прямой с диагоналями
и
делят отрезок
на три равных части;
б) Найдите , если
,
. Ответ:
Решение
66. (Т/Р Ларина) Хорда стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка
лежит на этой дуге, а точка
лежит на хорде
. При этом
.
а) Докажите, что угол равен
б) Найдите площадь треугольника . Ответ:
Решение
67. (Т/Р Ларина) Трапеция ABCD c углами при одном основании и
описана около круга.
а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой .
б) Найдите площадь прямоугольной трапеции , если
, а площадь вписанного круга равна
. Ответ:
Решение
68. (Т/Р Ларина) Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами
описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как ;
б) Найдите площадь четырёхугольника, если ,
,
,
. Ответ:
Решение
69. (Т/Р Ларина) Площадь треугольника равна 10; площадь треугольника
, где
– точка пересечения высот, равна 8. На прямой
взята такая точка
, что треугольник
– прямоугольный.
а) Докажите,что
б) Найдите площадь треугольника Ответ:
Решение
70. (Т/Р Ларина) В треугольнике основание
, площадь треугольника равна
. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.
а) Докажите,что .
б) Найдите меньшую из боковых сторон. Ответ: Решение
71. (Т/Р Ларина) Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N. Ответ: Решение
72. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются
в точке . Прямая, проходящая через точку
и перпендикулярная к
, пересекает сторону
в точке
.
а) Докажите, что – медиана треугольника
б) Найдите , если
,
и угол
равен 60°. Ответ:
Решение
73. (Т/Р Ларина) Медианы треугольника равны
,
и
.
а) Докажите, что медианы разбивают треугольник на равновеликих треугольников;
б) Найдите площадь треугольника . Ответ:
Решение
74. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике проведены высоты
и
а) Докажите, что углы и
равны.
б) Найдите длину отрезка , если известно, что
Ответ:
Решение
75. (Т/Р Ларина) Высота равнобедренной трапеции (
и
– основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон ,
и
трапеции, если известно, что
,
. Ответ:
Решение
76. (Т/Р Ларина) Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями и
вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
Ответ:
. Решение
77. (Т/Р Ларина) В треугольнике
Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны в точке
.
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах и
, перпендикулярного
и касающегося окружности ω. Ответ:
Решение
78. (Т/Р Ларина) Точка лежит на диаметре
окружности с центром
.
и
– точки окружности, расположенные по одну сторону от
, причем
а) Докажите, что
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках , если известно, что
. Ответ:
Решение
79. (Т/Р Ларина) В окружность с центром в точке вписан прямоугольный треугольник
с гипотенузой
. На большем катете
взята точка
так, что
. Точка
– середина дуги
.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь пятиугольника , если известно, что
Ответ:
Решение
80. (Т/Р Ларина) Окружность ω с центром в точке касается стороны
треугольника
в точке
и продолжений сторон
и
. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке
касается стороны
в точке
.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
Ответ: Решение
81. (Т/Р Ларина) Дан квадрат . Точки
– середины сторон
и
соответственно.
пересекает
в точке
;
пересекает
в точке
;
пересекает
в точке
.
А) Докажите, что точки лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник , если
Ответ: Решение
82. (Т/Р Ларина) На диагонали параллелограмма
отмечены точки
и
, причем
. Прямые
и
пересекают стороны
и
в точках
и
соответственно.
a) Докажите, что
б) Найдите площадь параллелограмма , если известно, что площадь пятиугольника
равна
.
Ответ: Решение
83. (Т/Р Ларина) Хорда окружности параллельна касательной, проходящей через точку
, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку
и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке
.
А) Докажите, что треугольник равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда делит диаметр
, если известно, что
Ответ: Решение
84. (Т/Р Ларина) Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник , касается основания
в точке
. Вторая окружность касается основания
и продолжений боковых сторон.
А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.
Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен , а
. Ответ:
. Решение
85. (Т/Р Ларина) В треугольнике стороны
. Первая окружность вписана в треугольник
, а вторая касается
и продолжения сторон
и
.
А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно .
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны , если
.
Ответ: а) ; б)
Решение
86. (Т/Р , 2017) Дана трапеция с основаниями
и
. Диагональ
разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями
и
.
а) Докажите, что луч — биссектриса угла
.
б) Найдите , если известны диагонали трапеции:
Ответ: Решение
87. (Т/Р Ларина) Окружность касается прямых и
соответственно в точках
и
. Точка
лежит между
и
, а тока
– между
и
. Точки
,
,
,
лежат на одной окружности.
a) Доказать, что треугольники и
подобны.
б) Найти площадь , если
и радиус окружности, вписанной в треугольник
, равен
.
Ответ: Решение
88. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике из вершин
и
опущены высоты
и
на стороны
и
Известно, что площадь треугольника
равна
, площадь треугольника
равна
, а длина отрезка
равна
а) Доказать, что треугольники и
подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника .
Ответ: Решение
89. (Т/Р Ларина) Точки и
– середины сторон
и
выпуклого четырехугольника
. Диагональ
проходит через середину отрезка
.
а) Докажите, что площади треугольников и
равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если известно, что
а площадь четырехугольника
равна
.
Ответ: Решение
90. (Т/Р Ларина) Дан квадрат . На сторонах
и
внешним и внутренним образом
соответственно построены равносторонние треугольники и
.
а) Докажите, что точка лежит на прямой
.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
.
Ответ: Решение
91. (Т/Р Ларина) Диагонали прямоугольника пересекаются в точке
. Окружности
и
описаны около треугольников
и
соответственно. Пусть
– центр окружности
, а
– центр окружности
.
а) Докажите, что прямая касается окружности
, а прямая
касается окружности
.
б) Найдите длину отрезка , если известно, что
Ответ: Решение
92. (Т/Р Ларина) В прямоугольнике на стороне
отмечена точка
так, что
.
а) Докажите, что делит площадь треугольника
в отношении
.
б) Пусть – точка пересечения
и
,
– точка пересечения
и
. Найдите длину отрезка
если
Ответ: Решение
93. (Т/Р Ларина) Окружности с центрами в точках и
и радиусами, равными
и
соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка
,
,
.
а) Докажите, что отношение площади треугольника к площади треугольника
равно
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если известно, что
.
Ответ: Решение
94. (Т/Р Ларина) В параллелограмме диагональ
равна стороне
.
а) Докажите, что прямая касается окружности ω, описанной около треугольника
.
б) Пусть прямая вторично пересекает ω в точке
. Найдите
при условии, что угол
равен
Ответ:
Решение
95. (Т/Р Ларина) Дана трапеция с основаниями
и
. Окружности, построенные на
боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках и
.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка , если известно, что
Ответ: . Решение
96. (Т/Р Ларина) В параллелограмме точка
– середина стороны
. Отрезок
пересекает диагональ
в точке
.
.
а) Докажите, что отрезок перпендикулярен диагонали
.
б) Найдите площадь параллелограмма, если см,
см.
Ответ: б) Решение
97. (Т/Р Ларина) В равнобедренной трапеции основание
в два раза больше основания
а) Докажите, что высота трапеции разбивает основание
на отрезки, один из
которых втрое больше другого.
б) Пусть — точка пересечения диагоналей трапеции
. Найдите расстояние от вершины
до середины отрезка
, если
и
. Ответ:
Решение
98. (Т/Р Ларина) В треугольнике точка
– середина
.
а) Докажите, что длина отрезка больше полуразности, но меньше полусуммы длин
сторон и
.
б) Окружность проходит через точки ,
,
. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой
, если известно, что
Ответ:
Решение
99. (Т/Р Ларина) Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника
. На луче
отмечена точка
так, что
а) Докажите, что существует точка , одинаково удаленная от точек
б) Найдите расстояние от точки до точки
, если известно, что
и
Ответ:
Решение
100. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внутренним образом в точке . Пусть
– хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке
.
а) Докажите, что – биссектриса угла
.
б) Найдите длину отрезка , если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно
и
, а угол
равен
Ответ: Решение
101. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке . Прямая
касается первой окружности в точке , а второй – в точке
.
а) Докажите что расстояние от точки до прямой
равно
.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны соответственно
и
. Ответ:
Решение
102. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность с центром в точке
Радиус
перпендикулярен радиусу
а радиус
перпендикулярен радиусу
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника если длина перпендикуляра, опущенного из точки
на
равна
а длина отрезка
в два раза меньше длины отрезка
Ответ: Решение
103. (Т/Р Ларина) Радиус вписанной в треугольник окружности равен
Окружность радиуса
касается вписанной в треугольник
окружности в точке
а также касается лучей, образующих угол
Окружности касаются прямой
в точках
и
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите тангенс угла если площадь треугольника
равна
а наибольшей из его сторон является сторона
Ответ:
104. (Т/Р 280 А. Ларина) В треугольнике провели высоты
и
. Окружность, описанная вокруг треугольника
, где точка
– середина стороны
, пересекла прямую
в точке
.
а) Докажите, что прямая касается окружности, описанной около треугольника
.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника и треугольника
, если
,
. Ответ:
Видеорешение
Добавить комментарий