Путеводитель по задачам С4 (№16)

2016-12-01
Список всех задач №16, разобранных на сайте 

(список пополняется)


1. (МГУ, 2015) Окружность радиуса \frac{3}{2} касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться AC, если \angle BAC=30^{\circ}? Ответ: \sqrt3\pm \sqrt{2}. Решение


2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно, CH – высота.

а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.

б) Пусть P – точка пересечения прямых AC и NH, а Q – точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH=4,BH=2. Ответ: 18\sqrt2. Решение


3. (ЕГЭ, 2016) В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найдите отношение BH:ED, если угол BCD равен 135^{\circ}. Ответ: 1:2. Решение


4. (ЕГЭ, 2016) В треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены

перпендикуляры ME,KH.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH:AC, если угол ABC равен 30^{\circ}. Ответ: 3:4. Решение


5. (ЕГЭ, 2016) В трапеции ABCD точка E – середина основания AD, точка M – середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC=3,AD=4. Ответ: 2:9.  Решение


6. (Диагностич., 2016) Окружность, проходящая через вершины A,C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD=CD.

а) Докажите, что CP – биссектриса угла ACB.

б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции? Ответ: 5:4. Решение


7. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I ‐ центр вписанной в него окружности, H ‐ точка пересечения высот. Известно, что \angle BAC=\angle OBC+\angle OCB.

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если \angle ABC=55^{\circ}. Ответ: 175^{\circ}. Решение


8. (ЕГЭ, 2015) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хода BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L – точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC=16. Ответ: \sqrt{10}. Решение


9. (Диагностич., 2014) Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A , а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C .

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

б) Найдите отношение BP:PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. Ответ: 2. Решение


10. (ДЕМО, 2014) Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, а прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника  AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. Ответ: 3,2. Решение


11. (Диагностич., 2013) Медианы AA_1, BB_1 и C C_1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A_2, B_2 и C_2 – середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A_1B_2C_1A_2B_1C_2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5 , BC = 8 и AC =10. Ответ: 31,5. Решение


12. (Диагностич., 2013) Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB
в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT=3. Ответ: 60. Решение 


13. (Т/Р Ларина) Две окружности имеют общий центр O. На окружности большего радиуса выбрана точка F.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки F до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки F, ни от выбора диаметра.
б) Известно, что радиусы окружностей равны 10 и 24. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка F, тангенс угла F этого треугольника равен \frac{1}{4}. Ответ: 59,5. Решение


14. (Т/Р Ларина) В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, P – точка пересечения его диагоналей, AB=CD=5, AD>BC. Высота, опущенная из точки B на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна \frac{25}{2}.

а) Докажите, что ABCD – равнобедренная трапеция.

б) Найдите стороны AD, BC и радиус окружности R. Ответ: 10;2;\frac{5\sqrt5}{2}. Решение


15. (Т/Р Ларина) Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, точки A,D,E,C  лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный
б) Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из точки A, если стороны AB и AC равны соответственно 5 и 2. Ответ: \frac{4\sqrt6}{5}. Решение


16. (Т/Р Ларина) Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке D, катет  BC – в точке E, причем DE=2 и BE=1. На гипотенузе

взята точка F так, что BF=1, а величина угла FCB равна 30 градусов.

а) Докажите, что треугольник BFE равносторонний
б) Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: 2\sqrt3. Решение


17. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внутренним образом в точке A так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке K. Прямые AB и AC вторично пересекают меньшую окружность в точках P и M соответственно.

а) Докажите, что PM\parallel BC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если PM=12, а радиус большей окружности равен 20. Ответ48. Решение


18. (Т/Р Ларина) В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка E, при этом BE=4, EA=5, BC=6.

а) Докажите, что углы BAC и BCE равны.
б) Найдите площадь треугольника AEC, если известно, что угол ABC равен 30^{\circ}. Ответ: 7,5. Решение


19. (Т/Р Ларина) В окружности проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке O, причем касательная к окружности, проходящая через точку C, параллельна BD.

а) Докажите, что DC^2=AC\cdot CO.
б) Найдите площадь треугольника CDO, если известно, что AB:BO=3:1, а площадь треугольника ACD равна 36. Ответ: 4 Решение


20. (Т/Р Ларина)  В ромб вписана окружность \Theta . Окружности \omega_1 и \omega_2 (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности \Theta и двух соседних сторон ромба.

А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью \Theta , составляет менее 80% площади ромба.
Б) Найдите отношение радиусов окружностей \omega_1 и \omega_2, если известно, что диагонали ромба относятся, как 1:2. Ответ: \frac{7+3\sqrt5}{2}. Решение


21. (Т/Р Ларина) Из точки M, взятой на окружности с центром в точке O, на диаметры AB и CD опущены перпендикуляры MK и MP соответственно.
a) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M,O,P,K.

б) Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что \angle MKP=30^{\circ}, \angle AOC=15^{\circ}, а радиус окружности равен 4. Ответ: \sqrt3-1. Решение


22. (Т/Р Ларина) В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA_1 и CC_1. Точки A_2 и C_2 симметричны середине стороны AC относительно прямых BC и AB соответственно.
а) Докажите, что отрезки A_1A_2 и C_1C_2 лежат на параллельных прямых.
Б) Найдите расстояние между точками A_2 и C_2, если известно, что AB=7, BC=6, AC=5. Ответ: \frac{2\sqrt{870}}{7}Решение


23. (Т/Р Ларина) На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E. Окружности w_1 и w_2, вписанные в треугольники ABE и CBE, касаются прямой BE в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что KM=\frac{1}{2}\cdot |CE-AE|.

б) Определите, на сколько радиус окружности w_2 больше радиуса окружности w_1, если известно, что AE=9, CE=15, а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 4. Ответ: 1Решение


24. (Т/Р Ларина)  Даны треугольники ABC и A_1B_1C_1. Прямые AA_1,BB_1, CC_1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A_1B_1 пересекаются в точке C_2. Прямые AC и A_1C_1 пересекаются в точке B_2. Прямые BC и B_1C_1 пересекаются в точке A_2.

а) Докажите, что точки A_2,B_2,C_2 лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника A_1B_1C_1 к площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны 2,\frac{10}{11},\frac{5}{7}, а высоты треугольника A_1B_1C_1 равны 2,\frac{5}{3},\frac{10}{9}. Ответ: \sqrt3. Решение


25. (Т/Р Ларина) Внутри равностороннего треугольника ABC в произвольном месте поставлена точка M.
а) Докажите, что сумма расстояний от точки M до сторон треугольника ABC равна высоте этого треугольника.
б) Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от точки M до сторон AC и BC соответственно равны 10\sqrt{133} и 3\sqrt{133}, а площадь треугольника ABC равна 14364\sqrt3. Ответ: 5\sqrt{133}. Решение


26. (Т/Р Ларина) Дан треугольник ABC. В нём проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна \frac{2772\sqrt6}{71}.

а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132. Ответ: 1386\sqrt5. Решение


27. (Т/Р Ларина) Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами AD и BC. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60^{\circ}.

а) Докажите, что EK параллельно AB.

б) Найдите площадь трапеции ABKE , если радиус окружности равен \sqrt{131}. Ответ: \frac{1179\sqrt3}{4}. Решение


28. (Т/Р Ларина)  В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD – основания, проведены:

1) биссектриса угла B;

2) высота из вершины C;

3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC=8, AD=18. Ответ: \frac{65}{24}. Решение


29. (Т/Р Ларина) В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.

а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5. Ответ: 8;18Решение


30. (Т/Р Ларина) Четырехугольник ABDС вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.

а) Докажите, что AD\cdot BP=BC\cdot DP.

б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD=2AC, а площадь четырехугольника ABDC равна 36. Ответ: 12Решение


31. (Т/Р Ларина)  На сторонах прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полуокружности  \omega, \omega_1 и  \omega _2 ( см. рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями \omega и \omega_1 и полуокружностями \omega и \omega_2.
б) Пусть прямая l касается \omega_1 в точке M, а \omega_2 в точке P. Найдите длину отрезка MP, если известно, что сумма площадей двух луночек равна 49. Ответ: 7. Решение


32. (Т/Р Ларина) Точка M лежит на диаметре AB окружности с центром O.

C и D – точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем \angle CMA=\angle DMB.

а) Докажите, что \angle OCM=\angle ODM.
б) Найдите площадь четырехугольника COMD, если известно, что OM=4, BM=2, \angle CMA=\angle DMB=45^{\circ}. Ответ: 14+2\sqrt{14}. Решение


33. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен \frac{1}{3}.   На гипотенузе AB взята точка H, а на катете AC – точка K. Известно, что прямая KH перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник ABC на две равновеликие части.
а) Докажите, что в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что KH=1. Ответ: 2-\sqrt2. Решение


34. (Т/Р Ларина)  К двум окружностям с центрами O_1 и O_2 и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B – точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.
а) Докажите, что около четырехугольника  O_1AO_2B можно описать окружность.
б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O_1O_2=15. Ответ: 12. Решение


35. (Т/Р Ларина)  а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что CH=\sqrt5.Ответ: \sqrt5. Решение


36. (Т/Р Ларина)  В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC=3 и BC=2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL. Ответ: arctg 0,2. Решение


37. (Т/Р Ларина)  В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов – в точках P и M.
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK\cdot BK.
б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK=12, BK=5.  Ответ: \frac{180}{17}. Решение


38. (Т/Р Ларина) Окружности \omega 1 с центром O_1 и окружность \omega 2 с центром O_2 касаются внешним образом. Из точки O_1 к \omega 2 проведена касательная O_1A, а из точки O_2 к \omega 1 проведена касательная O_2B (A и B – точки касания).
a) Докажите, что углы O_1AB и O_1O_2B равны.
б) Найдите площадь четырехугольника O_1O_2AB, если известно, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой O_1O_2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3. Ответ: \frac{2}{25}(8\sqrt{21}+63). Решение


39. (Т/Р Ларина)  В прямоугольном треугольнике ABC \angle C=90^{\circ} проведены медианы AM и BK. Известно, что около четырехугольника ABMK можно описать окружность.
а) Докажите, что CK=CM.
б) Пусть AB=2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABMK. Ответ: \frac{\sqrt5}{2}. Решение


40. (Т/Р Ларина)  Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей.

а) Докажите, что точки D,B и C лежат на одной прямой.

б) Найдите произведение AD\cdot AC, если известно, что AC=8, а диаметр окружности, описанной около треугольника ADC, равен 10. Ответ: 80. Решение


41. (Т/Р Ларина) В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
а) Докажите, что BC:AC=CP:AP.
б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=5, BM=4. Ответ: 20. Решение


42. (Т/Р Ларина)  Через вершины A и C прямоугольного треугольника ABC (\angle B=90^{\circ}) проведена окружность с центром в точке O, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.
а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180^{\circ}.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE=5, AC=6. Ответ: 9. Решение


43. (Т/Р Ларина) В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60^{\circ}. Ответ: 8\sqrt3. Решение


44. (Т/Р Ларина) В трапеции ABCD площадью, равной 30, диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, а \angle BAC=\angle CDB. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K.
а) Докажите, что трапеция ABCD – равнобедренная.
б) Найдите площадь треугольника AKD, если известно, что \angle AKD=30^{\circ}, а BC<AD. Ответ: 45. Решение


45. (Т/Р Ларина) Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD, касается стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K.

а) Докажите, что угол CKD равен углу KMD.
б) Найдите сторону AB, зная, что AD=18DM=4. Ответ: 16. Решение


46. (Т/Р Ларина)  На диаметре AB окружности \omega выбрана точка C. На отрезках AC и BC как на диаметрах построены окружности \omega1 и \omega2 соответственно. Прямая l пересекает окружность \omega в точках A и D, окружность \omega1 – в точках A и E, а окружность \omega2 – в точках M и N.

а) Докажите, что MD=NE.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей \omega, \omega1 и \omega2, если известно, что AC=10, BC=6. Ответ: \frac{120}{49}. Решение


47. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
а) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
б) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см. Ответ: 8. Решение


48. (Т/Р Ларина) Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB. Ответ: 4\sqrt2. Решение


49. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла BAC равен 0,3. Ответ: 15. Решение


50. (Т/Р Ларина) O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOA равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6. Ответ: 4,5. Решение


51. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM и CP.

a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6. Ответ: 50. Решение


52. (Т/Р Ларина) Окружность касается стороны AB параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и проходит через вершины C и D.
а) Докажите, что DN=CM.
б) Найдите DN, зная, что AM=9, BN=16, ВС=18. Ответ: 30. Решение


53. (Т/Р Ларина) Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность. На окружности отмечена точка M, не совпадающая ни с одной из точек A, B и C.

а) Докажите, что расстояние от точки M до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках A, B, C и M, если известно, что его площадь равна  \frac{49\sqrt3}{4}, а радиус окружности равен \sqrt{13}. Ответ: 2\sqrt{39}+7. Решение


54. (Т/Р Ларина)  В равнобедренной трапеции ABCD точки M и N – середины оснований BC и AD соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN пересекаются в точке K.

а) Докажите, что площадь четырехугольника PMKN равна сумме площадей треугольников ABP и DCK.

б) Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC=8, AD=18, AB=CD=13. Ответ: \frac{432}{13}. Решение


55. (Т/Р Ларина)  В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек B и C опущены перпендикуляры на прямую AD. Они пересекают прямые AC и BD соответственно в точках E и F.

а) Докажите, что BCEF – ромб
б) Найдите отношение площади четырехугольника BCEF к площади вписанного в него круга, если BF:CE=3:4. Ответ: \frac{25}{6\pi}. Решение


56. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике ABC высоты AA_1 и CC_1 пересекаются в точке O.

а) Докажите, что треугольники AOC и C_1OA_1 подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника ACA_1C_1, если известно, что угол ABC равен 30^{\circ} , а площадь треугольника ABC равна 80^{\circ}. Ответ: 20. Решение


57. (Т/Р Ларина) Точка E – середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и AC взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади треугольников AOB и COE равны.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB=3, BC=4. Ответ: 2\sqrt{35}. Решение


58. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внешним образом в точке A. Прямая l касается первой окружности в точке B, а второй – в точке C.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если радиусы окружностей 8 и 2. Ответ: 12,8. Решение


59. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM – медиана треугольника CED.
б) Найдите длину отрезка EM, если AD=8, AB=4 и угол CDB равен 60^{\circ}. Ответ: 2\sqrt{15}. Решение


60. (Т/Р Ларина) В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK:BK=1:2. Точка E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120. Ответ: 60. Решение 


61. (Т/Р Ларина)  В треугольнике ABC AB=20, AC=24. Окружность с центром O_2 на стороне AC проходит через вершину C, точку пересечения биссектрисы угла A со стороной BC и центр O_1 вписанной в треугольник ABC окружности.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна прямой BC;
б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности. Ответ: 12,5. Решение


62. (Т/Р Ларина) Биссектрисы AN и BM треугольника ABC пересекаются в точке O, причем BO:OM=4:3, CN=18\sqrt{35}.  В четырехугольник ONCM вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности. Ответ: 21-\sqrt{21}. Решение


63. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике ABC  AC – основание. На продолжении стороны CB за точку B отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а) Докажите, что AB – биссектриса угла CAD.

б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6. Ответ: \frac{150}{11}.  Решение


64. (Т/Р Ларина) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его стороне AD, причем BX||CD и CX||BA, AX=\frac{3}{2} и DX=6.

a) Докажите, что треугольники ABX и BXC подобны;

б) Найдите BC. Ответ: 3. Решение


65. (Т/Р Ларина) Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD, CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF=FG.

а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EH на три равных части;

б) Найдите EF, если BC=3, AD=4. Ответ: 1,2. Решение


66. (Т/Р Ларина) Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка C лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1, DC = \sqrt2.
а) Докажите, что угол ADC равен \frac{\pi}{6}.
б) Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: \frac{3\sqrt2}{4}. Решение


67. (Т/Р Ларина) Трапеция ABCD c углами при одном основании \alpha и \beta описана около круга.
а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой  \frac{S_{trap}}{S_{krug}}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}.

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции ABCD, если \alpha=\frac{\pi}{3} , а площадь вписанного круга равна \pi. Ответ: \frac{6+4\sqrt3}{3}. Решение


68. (Т/Р Ларина)  Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как   \frac{bc+ad}{ab+cd};

б) Найдите площадь четырёхугольника, если a=2, b=8, c=12, d=4. Ответ: 3\sqrt{55}. Решение


69. (Т/Р Ларина)  Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H – точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK – прямоугольный.

а) Докажите,что S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB};
б) Найдите площадь треугольника ABK. Ответ: 4\sqrt5. Решение


70. (Т/Р Ларина) В треугольнике ABC основание BC=9,5 , площадь треугольника  равна 28,5. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.

а) Докажите,что AC+AB=3BC.
б) Найдите меньшую из боковых сторон. Ответ: 10. Решение


71. (Т/Р Ларина)  Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N. Ответ: 4. Решение


72. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются
в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.
а) Докажите, что EM – медиана треугольника CED
б) Найдите EM, если AD = 8 , AB = 4 и угол CDB равен 60°. Ответ: 2\sqrt{15}. Решение


73. (Т/Р Ларина)  Медианы треугольника ABC равны 5, 12 и 13.
а) Докажите, что медианы разбивают треугольник на 6 равновеликих треугольников;
б) Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: 40.  Решение


74. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.

а) Докажите, что углы ABP и AKP равны.

б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB=5,BC=6,AC=4. Ответ: \frac{45}{16}. Решение


75. (Т/Р Ларина) Высота равнобедренной трапеции ABCD (BC и AD – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон AB, BC и CD трапеции, если известно, что BC=4, AD=6. Ответ: 0,4(\sqrt{26}+1). Решение


76. (Т/Р Ларина) Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями AC и BD вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB=\sqrt5,BC=\sqrt2,CD=\sqrt7.  Ответ: \frac{\sqrt5(2+\sqrt7)}{2}. Решение


77. (Т/Р Ларина) В треугольнике ABC BA=8,BC=7,\angle B=120^{\circ}.

Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что AM=BC.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах AB и AC, перпендикулярного AB и касающегося окружности  ω. Ответ: \frac{49\sqrt3-21}{23}. Решение


78. (Т/Р Ларина) Точка K лежит на диаметре AB окружности с центром O. C и D – точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем \angle OCK=\angle ODK.

а) Докажите, что \angle CKB=\angle DKA.
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках A,B,C,D, если известно, что OK=3,6, BK=9,6,\angle OCK=\angle ODK=30^{\circ}. Ответ: 5\sqrt{11}+15\sqrt3. Решение


79. (Т/Р Ларина)  В окружность с центром в точке O вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. На большем катете BC взята точка D так, что AC=BD. Точка E – середина дуги ACB.

а) Докажите, что \angle CED=90^{\circ}.
б) Найдите площадь пятиугольника AODEC, если известно, что AB=13,AC=5. Ответ: 36. Решение


80. (Т/Р Ларина) Окружность ω с центром в точке O касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB и AC. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке E касается стороны BC в точке K.
а) Докажите, что BK=CM.
б) Найдите площадь четырехугольника OKEM, если известно, что AC=5,BC=6,AB=4.

Ответ: \frac{3\sqrt7}{2}. Решение


81. (Т/Р Ларина) Дан квадрат ABCD. Точки K,L,M – середины сторон AB,BC и CD соответственно. AL пересекает DK в точке P; DL пересекает AM в точке T; AM пересекает DK в точке O.

А) Докажите, что точки P,L,T,O лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник PLTO, если AB=4.

Ответ: \frac{2\sqrt5}{5}. Решение


82. (Т/Р Ларина) На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки E и P, причем AE:EP:PC=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны AB и BC в точках K и M

соответственно.
a) Докажите, что KM\parallel AC.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь пятиугольника BKEPM  равна 30.

Ответ: 72. Решение


83. (Т/Р Ларина) Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку C и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке P.
А) Докажите, что треугольник ABP равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда AB делит диаметр CP, если известно, что \angle APB=150^{\circ}.

Ответ: (7+4\sqrt3):1. Решение


 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif