Главная › МГУ › Разбор задания из пробного экзамена в МГУ в 2013 году. Система неравенств.

13 Июл 2013

Категория: МГУМодульРациональные выражения, уравнения и неравенства

Разбор задания из пробного экзамена в МГУ в 2013 году. Система неравенств.

Елена Репина 2013-07-13 2015-04-12

Предлагаю разобрать задание (№1) из пробного экзамена в МГУ.
Задание, так скажем, без особых премудростей. Полезно для подготовки к части С ЕГЭ по математике.
Также смотрите остальные задания этого экзамена здесь: №2, №3, №4, №5, №6, №7, №8

Условие:

Найдите все значения $x$ , удовлетворяющие одновременно двум условиям
$\begin{cases} |x-3|+|x-4|\leq 3, & &5x^2-31x+42\geq 0; \end{cases}$

Решение:

Начнем с решения второго неравенства системы: $5x^2-31x+42\geq 0.$

Будем раскладывать квадратный трехчлен на множители

( $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ , где $x_1,\;x_2$ – корни квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ ), чтобы потом применить метод интервалов к неравенству:

Заготавливаем шаблончик $5x^2-31x+42=5(x-...)(x-...)$ и находим корни:

$5x^2-31x+42=0$ <=> $x=\frac{31\pm \sqrt{31^2-4\cdot 5\cdot 42}}{2\cdot 5}$ <=>

<=> $x_1=4,2,\;x_2=2$

Итак, $5x^2-31x+42\geq 0$ <=> $5(x-4,2)(x-2)\geq 0$

$x\in(-\infty;2]\cup[4,2;+\infty)$

Теперь решим первое неравенство системы $|x-3|+|x-4|\leq 3.$ Если вы не сталкивались еще с такими неравенствами, то советую для начала посмотреть видеоурок, в котором подробно рассматривается решение подобных неравенств.

Итак, поскольку нули модулей – точки 3 и 4, то у нас образовалось три промежутка $(-\infty;3),\;(3;4),\;(4;+\infty)$ . В зависимости от того, в каком промежутке мы находимся, подмодульные выражения имеют разные знаки и распределяются они так: