Разбор задания из пробного экзамена в МГУ в 2013 году. Система неравенств.

2015-04-12

Предлагаю разобрать  задание  (№1) из пробного экзамена в МГУ.
Задание, так скажем, без особых премудростей. Полезно для подготовки к части С ЕГЭ по математике.
Также смотрите остальные задания этого экзамена здесь: №2, №3, №4, №5, №6, №7, №8

Условие:

Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно двум условиям
\begin{cases} |x-3|+|x-4|\leq 3, & &5x^2-31x+42\geq 0; \end{cases}

Решение: 

Начнем с решения второго неравенства системы: 5x^2-31x+42\geq 0.

Будем раскладывать  квадратный трехчлен на множители

(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), где x_1,\;x_2 – корни квадратного трехчлена  ax^2+bx+c), чтобы потом применить метод интервалов к неравенству:

Заготавливаем шаблончик 5x^2-31x+42=5(x-...)(x-...) и находим корни:

5x^2-31x+42=0 <=> x=\frac{31\pm \sqrt{31^2-4\cdot 5\cdot 42}}{2\cdot 5} <=>

<=> x_1=4,2,\;x_2=2

Итак, 5x^2-31x+42\geq 0 <=> 5(x-4,2)(x-2)\geq 0

x\in(-\infty;2]\cup[4,2;+\infty)

Теперь решим первое неравенство системы |x-3|+|x-4|\leq 3. Если вы не сталкивались еще с такими неравенствами, то советую для начала посмотреть видеоурок, в котором подробно рассматривается решение подобных неравенств.

Итак, поскольку нули модулей – точки 3 и 4, то у нас образовалось три промежутка (-\infty;3),\;(3;4),\;(4;+\infty). В зависимости от того, в каком промежутке мы находимся, подмодульные выражения имеют разные знаки и распределяются они так:

1) На промежутке x<3 имеем:

-x+3-x+4\leq 3 <=> x\geq 2

x\in[2;3).

2) На промежутке 3\leq x\leq 4 имеем:

x-3-x+4\leq 3 <=> 1\leq 3 – верно при всех x, а поскольку мы работаем на отрезке [3;4], то x\in [3;4].

3) На промежутке x>4 имеем:

x-3+x-4\leq 3 <=> x\leq 5

x\in (4;5].

Итак, объединяя решения на трех промежутках, получаем:

x\in[2;5]

Все,  – нам осталось пересечь решения двух неравенств системы:

Ответ: {2}\cup[4,2;5].

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif