Разбор заданий части С
13. а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![Rendered by QuickLaTeX.com [-3\pi;-\frac{3\pi}{2}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-147b83030b931eadcf62bf001b2f4204_l3.svg)
Решение:+ показать
a)





или 
или
или 
б) Произведем отбор корней уравнения, из отрезка
при помощи тригонометрического круга:

Ответ:
а)
,

б)
14. На ребрах
и
куба
c ребром
отмечены точки
и
соответственно, причем
. Плоскость
пересекает ребро
в точке
.
а) Докажите, что точка
является серединой ребра
.
б) Найдите расстояние от точки
до плоскости
.
Решение:+ показать
а) Пусть прямая
плоскости
пересекается с прямой
в точке 
Прямая
плоскости
пересекает прямую
в точке 
Докажем, что 

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то, в частности,
.
Треугольники
подобны по двум углам. Тогда
а значит,
то есть 
Итак,
то есть точка
является серединой ребра
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
По теореме о трех перпендикулярах и
Тогда
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Плоскости
перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (в плоскости
нашлась прямая (
), перпендикулярная
).
Перпендикулярные плоскости
пересекаются по прямой
По свойству перпендикулярных плоскостей, если мы проведем перпендикуляр
в плоскости
к
то этот перпендикуляр будет и перпендикуляром к плоскости
а значит расстояние от
до
и есть длина 
Заметим, треугольники
подобны по двум углам, а значит,


Тогда (расписав дважды площадь треугольника
), получим

Ответ: б)
.
15. Решите неравенство: 
Видеорешение Решение:+ показать


Готовимся к выделению целых частей дробей:




Применяем метод рационализации:



![Rendered by QuickLaTeX.com x\in (-\infty;1]\cup (log_36;2).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9de7730412896b2ce29d5d232242a191_l3.svg)
Ответ:
16. В прямоугольном треугольнике
с прямым углом
точки
и
– середины катетов
и
соответственно,
– высота.
а) Докажите, что прямые
и
перпендикулярны.
б) Пусть
– точка пересечения прямых
и
, а
– точка пересечения прямых
и
. Найдите площадь треугольника
, если 
Решение:+ показать
17. Вклад в размере
млн. рублей планируется открыть на четыре года. В конце
каждого года банк увеличивает вклад на
% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на
млн. рублей, где
– целое число. Найдите наименьшее значение
, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше
млн. рублей.
Решение:+ показать
На счету вкладчика спустя год после открытия вклада:
млн. рублей.
На счету вкладчика спустя два года после открытия вклада:
млн. рублей.
На счету вкладчика на начало третьего года после открытия вклада:
млн. рублей.
На счету вкладчика спустя три года после открытия вклада:
млн. рублей.
На счету вкладчика на начало четвертого года после открытия вклада:
млн. рублей.
На счету вкладчика спустя четыре года после открытия вклада:
млн. рублей.
Итак, прирост денежных средств составит:
млн. рублей.
А поскольку банк за четыре года начислит на вклад больше
млн. рублей, то составим и решим неравенство:





Нас интересует наименьшее целое значение
, удовлетворяющее неравенству. Это 
Ответ:
18. Найдите все значения параметра
, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.
Решение:+ показать
19. На доске написано
чисел: десять «
», десять «
» и десять «
». Эти числа
разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно
, среднее арифметическое чисел во второй группе равно
. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше 
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по
чисел, то среднее
арифметическое всех чисел будет равно 
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения 
Решение:+ показать
а) Cреднее арифметическое всех чисел – это
, так как
.
Пусть в первую группу входят все десять пятерок, во вторую – оставшиеся числа. Тогда среднее арифметическое
чисел первой группы –
среднее арифметическое
чисел второй группы – 
Тогда 
Итак, среднее арифметическое всех чисел меньше
.
б) Пусть сумма 15-ти чисел, попавших в первую группу, –
сумма чисел, попавших во вторую группу, –
При этом 
Тогда


в) Если разделить числа на две равные по количеству чисел группы, то
(из пункта (б)). Однако мы видели (пункт (а)), что
может быть больше
.
Пусть для определенности количество чисел первой группы меньше количества чисел второй группы.
Пусть в первую группу попало
чисел, тогда во вторую –
(
).
Согласно условию
.

Далее,

Заметим, 
Очевидно,
Тогда

Далее,

Итак,
причем
, когда 
Наибольшее значение
принимает в случае, когда в первую группу попадает одна пятерка, во вторую – все остальные исходные числа.
Ответ:
а) все пятерки в одной группе, остальные числа – в другой;
в)
Задание, аналогичное заданию 19, см. здесь
Все решения представлены кратко, четко и понятно. Лучше не бывает. Большое Вам спасибо! Мне кажется, задания в резервный день несколько легче, чем в основной.
Василий, согласна с вами по поводу «легче». Номер 15, например, что подкосил многих на основной волне, – под копирку идет просто… 14-й явно легче… Можно только посоветовать тем, у кого стальные нервы
, идти в следующем году писать ЕГЭ в резервный день…