Главная › 12 (С1) Уравнения › С1 (№15) с отбором корней на отрезке

22 Янв 2014

Категория: 12 (С1) УравненияТ/P A. ЛаринаТригонометрические выражения, уравнения и неравенства

С1 (№15) с отбором корней на отрезке

Елена Репина 2014-01-22 2015-09-04

В рамках подготовки к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу С1 (В новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №13»), которая предлагалась в Тренировочной работе №60 А. Ларина.

Вы можете также посмотреть задание С3(№17), задание С4(№18) Т/Р.

а) Решите уравнение $(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;$

б) Найдите все корни на промежутке $[-\frac{3\pi}{2};\pi].$

Решение:

a)

$(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;$

Применяем формулу двойного угла для $sin2x$ :

$(1+2sinx)sinx=2sinxcosx+cosx;$

Далее – группировка:

$(1+2sinx)sinx=cosx(2sinx+1);$

$(2sinx+1)(sinx-cosx)=0;$

То есть

$sinx=-\frac{1}{2}$ (1) или $sinx-cosx=0$ (2);

Уравнение (2) равносильно уравнению $tgx=1$ (произвели деление на $cosx\neq 0$ ).

Откладываем на оси синусов $-\frac{1}{2}$ , на оси тангенсов $1$ . Выходим на четыре серии точек:

$\left[\begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z, &x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z, &x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z; \end{gathered}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}+\pi n,\;-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;n\in Z,\;k\in Z.$

б) Произведем отбор корней из отрезка $[-\frac{3\pi}{2};\pi]$ при помощи тригонометрического круга:

Ответ: $-\frac{5\pi}{6},\;-\frac{3\pi}{4},\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{4}.$

Автор: egeMax | комментария 22

Печать страницы

комментария 22

Алена

2016-01-27 в 18:04

Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-01-27 в 19:17
  
  Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
  Долго объяснять на словах…
  Если никак с кругом, то
  решаем сначала неравенство: $-\frac{3\pi}{2}\leq \frac{\pi}{4}+\pi n\leq \pi,n\in Z$
  $-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\leq n\leq 1-\frac{1}{4};$
  $-\frac{7}{4}\leq n\leq \frac{3}{4};$
  Так как $n\in Z$ , то $n=-1;0.$
  При $n=-1$ $x=-\frac{3\pi}{4}$ , при $n=0$ $x=\frac{\pi}{4}$ .
  Потом $-\frac{3\pi}{2}\leq -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq \pi,k\in Z$
  И так далее..
  
  [ Ответить ]
  - вика
    
    2016-01-29 в 10:06
    
    Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-01-29 в 10:10
      
      При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
      При n=1 x=pi\2, pi\2>1.
      Только 0.
      
      [ Ответить ]
  - Kirill
    
    2017-01-13 в 02:14
    
    Объясните по-подробнее какие страницы в какой последовательности надо читать, чтобы научиться отбирать корни тригонометрического уравнения в задании 13 профильного уровня!
    А то я в приведённой вами ссылке в сообщении прочитал статью, на ней переход к странице: https://egemaximum.ru/trigonometricheskij-krug-ii/
    А после этой страницы не написано куда дальше идти!
    Спасибо большое!
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2017-01-13 в 23:46
      
      Ныряйте сюда
      
      [ Ответить ]
      - Kirill
        
        2017-01-14 в 00:52
        
        Спасибо огромное вам!
        Выручаете!=)
        А подскажите, чтобы научиться правильно отбирать корни в 13ом задании нужно знать формулы приведения, суммы синусов и т. п?
        И отличается ли отбор корней когда один оборот и когда несколько?!
        Спасибо!
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2017-01-14 в 09:46
        
        Для отбора корней не нужны формулы приведения, суммы синусов и т.п.
        Принцип отбора – один, не важно полтора оборота, два или один…
        Полезно хотя бы раз развернуть тригонометрический круг в ось. И увидеть, что, например, точки $\frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6}$ на круге отображаются одной точкой, а на оси – разными. Или, например, изобразите точки $\frac{\pi}{3}+\pi n,n\in Z$ на круге, затем на оси…
        
        [ Ответить ]
      - Kirill
        
        2017-01-14 в 21:32
        
        Спасибо!
        А при отборе корней с помощью окружности нужно что-то вычислять? Не понимаю когда находят серию корней как они определяют что будет корнем и отмечают это на окружности а что нет?
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2017-01-14 в 22:19
        
        Не очень понятен вопрос…
        Вам следует сперва научиться видеть серии корней на окружности. Только потом осваивайте отбор (при помощи тригонометрической окр.).
        Например, если вас просят отметить на окружности точки $\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z,$ а вы не понимаете, – как это.., то до отбора далеко…
        Начинайте перебирать различные значения $n,$ смотрите, что получается…
        
        [ Ответить ]
      - Kirill
        
        2017-01-16 в 20:01
        
        Я про то, например, нашли серию корней: x=+_pi/6+pi n, n принадлежит Z.
        Просят отобрать (в этапе б) корни на промежутке [2pi;3pi], я нахожу этот помежуток и выделяю его (это очень легко!).
        А как вычислить корни, которые попадут на окружность на выделенный промежуток?!
        Например, дано уравнение: 16cos^4x-24cos^2x+9=0
        Его решить а.
        Отобрать корни на промежутке [2pi; 3pi] б.
        Нашел серию корней: x=+_pi/6+2pi n, n принадлежит Z.
        Далее – черчу окружность, выделяю жирным промежуток, указанный в условии.
        Мне не ясно, как туда попали корни 13 pi/6 и 17 pi/6?!?
        Откуда они?
        Спасибо огромное за объяснение!
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2017-01-16 в 20:42
        
        Пока вы не выучите основные углы от нуля до 2пи на тригонометрическом круге, вы не сдвинетесь с места. Я вам много чего сказала по делу, но вы меня не слышите…
        
        [ Ответить ]
      - Kirill
        
        2017-01-16 в 22:16
        
        Я знаю эти углы! И как их отмечать на окружности! И формулы приведения!
        Но я задал вопрос?
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2017-01-16 в 22:22
        
        Откуда 13пи/6?
        13пи/6=пи/6+2пи.
        Делайте вывод…
        
        [ Ответить ]
      - Kirill
        
        2017-01-16 в 23:15
        
        А 17 пи?!
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2017-01-16 в 23:27
        
        17пи/6=5пи/6+2пи
        
        [ Ответить ]
Kirill

2017-01-13 в 01:52

А почему два оборота сделали?! А не один?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-01-13 в 23:35
  
  Длина отрезка $[-1,5\pi;\pi]$ есть $\pi-(-1,5\pi)=2,5\pi$ .
  Один оборот – $2\pi$ .
  
  [ Ответить ]
Kirill

2017-03-08 в 03:37

А почему в задании б начали выделять промежуток против часовой стрелки?! От чего это зависит?!
Это не ясно никак.=(

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-03-08 в 12:15
  
  Таково устройство тригонометрического круга. Углы растут при движении против часовой стрелки.
  
  [ Ответить ]
  - Kirill
    
    2017-03-28 в 01:24
    
    А подскажите как выбирают какие точки попадают а какие нет, когда промежуток большой (много оборотов по окружности)?!
    Спасибо!!
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2017-03-28 в 11:59
      
      Ну обычно много оборотов-то и не дают…
      Если не хотите через круг, – идите через решение неравенств. Допустим, решение уравнения – пи/3+Пи n и требуется произвести отбор корней из (-3пи;пи).
      Решаем двойное неравенство:
      -3пи<Пи/3+Пиn <пи, n in Z; -3<1/3+n<1, n in Z; Подходящие целые значения n: -3;-2;-1;0. Тподставляем значения n в пи/3+Пи n, таким образом получаем все нужные корни.
      
      [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (28)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы