Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Вы можете также посмотреть задание С3(№17), задание С4(№18) Т/Р.
а) Решите уравнение $(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-\frac{3\pi}{2};\pi].$
Решение:
a)
$(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;$
Применяем формулу двойного угла для $sin2x$:
$(1+2sinx)sinx=2sinxcosx+cosx;$
Далее – группировка:
$(1+2sinx)sinx=cosx(2sinx+1);$
$(2sinx+1)(sinx-cosx)=0;$
То есть
$sinx=-\frac{1}{2}$ (1) или $sinx-cosx=0$ (2);
Уравнение (2) равносильно уравнению $tgx=1$ (произвели деление на $cosx\neq 0$).
Откладываем на оси синусов $-\frac{1}{2}$, на оси тангенсов $1$. Выходим на четыре серии точек:
$\left[\begin{array}{rcl}x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z,\\x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z,\\x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z;\end{array}\right.$
Ответ: $\frac{\pi}{4}+\pi n,\;-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;n\in Z,\;k\in Z.$
б) Произведем отбор корней из отрезка $[-\frac{3\pi}{2};\pi]$ при помощи тригонометрического круга:
Ответ: $-\frac{5\pi}{6},\;-\frac{3\pi}{4},\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{4}.$
Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?
Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
Долго объяснять на словах…
Если никак с кругом, то
решаем сначала неравенство: [latexpage]$-\frac{3\pi}{2}\leq \frac{\pi}{4}+\pi n\leq \pi,n\in Z$
$-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\leq n\leq 1-\frac{1}{4};$
$-\frac{7}{4}\leq n\leq \frac{3}{4};$
Так как $n\in Z$, то $n=-1;0.$
При $n=-1$ $x=-\frac{3\pi}{4}$, при $n=0$ $x=\frac{\pi}{4}$.
Потом $-\frac{3\pi}{2}\leq -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq \pi,k\in Z$
И так далее..
Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]
При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
При n=1 x=pi\2, pi\2>1.
Только 0.
Объясните по-подробнее какие страницы в какой последовательности надо читать, чтобы научиться отбирать корни тригонометрического уравнения в задании 13 профильного уровня!
А то я в приведённой вами ссылке в сообщении прочитал статью, на ней переход к странице: https://egemaximum.ru/trigonometricheskij-krug-ii/
А после этой страницы не написано куда дальше идти!
Спасибо большое!
Ныряйте сюда
Спасибо огромное вам!
Выручаете!=)
А подскажите, чтобы научиться правильно отбирать корни в 13ом задании нужно знать формулы приведения, суммы синусов и т. п?
И отличается ли отбор корней когда один оборот и когда несколько?!
Спасибо!
Для отбора корней не нужны формулы приведения, суммы синусов и т.п.
Принцип отбора – один, не важно полтора оборота, два или один…
Полезно хотя бы раз развернуть тригонометрический круг в ось. И увидеть, что, например, точки [latexpage] $\frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6}$ на круге отображаются одной точкой, а на оси – разными. Или, например, изобразите точки $\frac{\pi}{3}+\pi n,n\in Z$ на круге, затем на оси…
Спасибо!
А при отборе корней с помощью окружности нужно что-то вычислять? Не понимаю когда находят серию корней как они определяют что будет корнем и отмечают это на окружности а что нет?
Не очень понятен вопрос…
Вам следует сперва научиться видеть серии корней на окружности. Только потом осваивайте отбор (при помощи тригонометрической окр.).
Например, если вас просят отметить на окружности точки [latexpage] $\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z,$ а вы не понимаете, – как это.., то до отбора далеко…
Начинайте перебирать различные значения $n,$ смотрите, что получается…
Я про то, например, нашли серию корней: x=+_pi/6+pi n, n принадлежит Z.
Просят отобрать (в этапе б) корни на промежутке [2pi;3pi], я нахожу этот помежуток и выделяю его (это очень легко!).
А как вычислить корни, которые попадут на окружность на выделенный промежуток?!
Например, дано уравнение: 16cos^4x-24cos^2x+9=0
Его решить а.
Отобрать корни на промежутке [2pi; 3pi] б.
Нашел серию корней: x=+_pi/6+2pi n, n принадлежит Z.
Далее – черчу окружность, выделяю жирным промежуток, указанный в условии.
Мне не ясно, как туда попали корни 13 pi/6 и 17 pi/6?!?
Откуда они?
Спасибо огромное за объяснение!
Пока вы не выучите основные углы от нуля до 2пи на тригонометрическом круге, вы не сдвинетесь с места. Я вам много чего сказала по делу, но вы меня не слышите…
Я знаю эти углы! И как их отмечать на окружности! И формулы приведения!
Но я задал вопрос?
Откуда 13пи/6?
13пи/6=пи/6+2пи.
Делайте вывод…
А 17 пи?!
17пи/6=5пи/6+2пи
А почему два оборота сделали?! А не один?
Длина отрезка [latexpage ]$[-1,5\pi;\pi]$ есть $\pi-(-1,5\pi)=2,5\pi$.
Один оборот – $2\pi$.
А почему в задании б начали выделять промежуток против часовой стрелки?! От чего это зависит?!
Это не ясно никак.=(
Таково устройство тригонометрического круга. Углы растут при движении против часовой стрелки.
А подскажите как выбирают какие точки попадают а какие нет, когда промежуток большой (много оборотов по окружности)?!
Спасибо!!
Ну обычно много оборотов-то и не дают…
Если не хотите через круг, – идите через решение неравенств. Допустим, решение уравнения – пи/3+Пи n и требуется произвести отбор корней из (-3пи;пи).
Решаем двойное неравенство:
-3пи<Пи/3+Пиn <пи, n in Z; -3<1/3+n<1, n in Z; Подходящие целые значения n: -3;-2;-1;0. Тподставляем значения n в пи/3+Пи n, таким образом получаем все нужные корни.