С1 (№15) с отбором корней на отрезке

2015-09-04

В рамках подготовки к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу С1 (В новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №13»), которая предлагалась в Тренировочной работе №60  А. Ларина.

Вы можете также посмотреть задание С3(№17), задание С4(№18) Т/Р.

а) Решите уравнение (1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;

б) Найдите все корни на промежутке [-\frac{3\pi}{2};\pi].

Решение:

a)

(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;

Применяем формулу двойного угла для sin2x:

(1+2sinx)sinx=2sinxcosx+cosx;

Далее – группировка:

(1+2sinx)sinx=cosx(2sinx+1);

(2sinx+1)(sinx-cosx)=0;

То есть

sinx=-\frac{1}{2}  (1)  или  sinx-cosx=0  (2);

Уравнение (2) равносильно уравнению tgx=1 (произвели деление на cosx\neq 0).

Откладываем на оси синусов -\frac{1}{2}, на оси тангенсов  1. Выходим на четыре серии точек:

\left[\begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z, &x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z, &x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z; \end{gathered}

Ответ: \frac{\pi}{4}+\pi n,\;-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;n\in Z,\;k\in Z.

б) Произведем отбор корней из отрезка [-\frac{3\pi}{2};\pi] при помощи тригонометрического круга:

Ответ: -\frac{5\pi}{6},\;-\frac{3\pi}{4},\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{4}.

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Алена

    Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
      Долго объяснять на словах…
      Если никак с кругом, то
      решаем сначала неравенство: -\frac{3\pi}{2}\leq \frac{\pi}{4}+\pi n\leq \pi,n\in Z
      -\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\leq n\leq 1-\frac{1}{4};
      -\frac{7}{4}\leq n\leq \frac{3}{4};
      Так как n\in Z, то n=-1;0.
      При n=-1 x=-\frac{3\pi}{4}, при n=0 x=\frac{\pi}{4}.
      Потом -\frac{3\pi}{2}\leq -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq \pi,k\in Z
      И так далее..

      [ Ответить ]
      • вика

        Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]

        [ Ответить ]
        • egeMax

          При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
          При n=1 x=pi\2, pi\2>1.
          Только 0.

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif