С1 (№15) с отбором корней на отрезке

2023-07-24

Вы можете также посмотреть задание С3(№17), задание С4(№18) Т/Р.

а) Решите уравнение $(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;$

б) Найдите все корни на промежутке $[-\frac{3\pi}{2};\pi].$

Решение:

a)

$(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;$

Применяем формулу двойного угла для $sin2x$:

$(1+2sinx)sinx=2sinxcosx+cosx;$

Далее – группировка:

$(1+2sinx)sinx=cosx(2sinx+1);$

$(2sinx+1)(sinx-cosx)=0;$

То есть

$sinx=-\frac{1}{2}$  (1)  или  $sinx-cosx=0$  (2);

Уравнение (2) равносильно уравнению $tgx=1$ (произвели деление на $cosx\neq 0$).

Откладываем на оси синусов $-\frac{1}{2}$, на оси тангенсов  $1$. Выходим на четыре серии точек:

г

$\left[\begin{array}{rcl}x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z,\\x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z,\\x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z;\end{array}\right.$

Ответ: $\frac{\pi}{4}+\pi n,\;-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;n\in Z,\;k\in Z.$

б) Произведем отбор корней из отрезка $[-\frac{3\pi}{2};\pi]$ при помощи тригонометрического круга:

нг

Ответ: $-\frac{5\pi}{6},\;-\frac{3\pi}{4},\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{4}.$

Печать страницы
комментария 22
  1. Алена

    Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
      Долго объяснять на словах…
      Если никак с кругом, то
      решаем сначала неравенство: [latexpage]$-\frac{3\pi}{2}\leq \frac{\pi}{4}+\pi n\leq \pi,n\in Z$
      $-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\leq n\leq 1-\frac{1}{4};$
      $-\frac{7}{4}\leq n\leq \frac{3}{4};$
      Так как $n\in Z$, то $n=-1;0.$
      При $n=-1$ $x=-\frac{3\pi}{4}$, при $n=0$ $x=\frac{\pi}{4}$.
      Потом $-\frac{3\pi}{2}\leq -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq \pi,k\in Z$
      И так далее..

      [ Ответить ]
      • вика

        Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]

        [ Ответить ]
        • egeMax

          При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
          При n=1 x=pi\2, pi\2>1.
          Только 0.

          [ Ответить ]
      • Kirill

        Объясните по-подробнее какие страницы в какой последовательности надо читать, чтобы научиться отбирать корни тригонометрического уравнения в задании 13 профильного уровня!
        А то я в приведённой вами ссылке в сообщении прочитал статью, на ней переход к странице: https://egemaximum.ru/trigonometricheskij-krug-ii/
        А после этой страницы не написано куда дальше идти!
        Спасибо большое!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ныряйте сюда

          [ Ответить ]
          • Kirill

            Спасибо огромное вам!
            Выручаете!=)
            А подскажите, чтобы научиться правильно отбирать корни в 13ом задании нужно знать формулы приведения, суммы синусов и т. п?
            И отличается ли отбор корней когда один оборот и когда несколько?!
            Спасибо!

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Для отбора корней не нужны формулы приведения, суммы синусов и т.п.
            Принцип отбора – один, не важно полтора оборота, два или один…
            Полезно хотя бы раз развернуть тригонометрический круг в ось. И увидеть, что, например, точки [latexpage] $\frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6}$ на круге отображаются одной точкой, а на оси – разными. Или, например, изобразите точки $\frac{\pi}{3}+\pi n,n\in Z$ на круге, затем на оси…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            Спасибо!
            А при отборе корней с помощью окружности нужно что-то вычислять? Не понимаю когда находят серию корней как они определяют что будет корнем и отмечают это на окружности а что нет?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Не очень понятен вопрос…
            Вам следует сперва научиться видеть серии корней на окружности. Только потом осваивайте отбор (при помощи тригонометрической окр.).
            Например, если вас просят отметить на окружности точки [latexpage] $\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z,$ а вы не понимаете, – как это.., то до отбора далеко…
            Начинайте перебирать различные значения $n,$ смотрите, что получается…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            Я про то, например, нашли серию корней: x=+_pi/6+pi n, n принадлежит Z.
            Просят отобрать (в этапе б) корни на промежутке [2pi;3pi], я нахожу этот помежуток и выделяю его (это очень легко!).
            А как вычислить корни, которые попадут на окружность на выделенный промежуток?!
            Например, дано уравнение: 16cos^4x-24cos^2x+9=0
            Его решить а.
            Отобрать корни на промежутке [2pi; 3pi] б.
            Нашел серию корней: x=+_pi/6+2pi n, n принадлежит Z.
            Далее – черчу окружность, выделяю жирным промежуток, указанный в условии.
            Мне не ясно, как туда попали корни 13 pi/6 и 17 pi/6?!?
            Откуда они?
            Спасибо огромное за объяснение!

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Пока вы не выучите основные углы от нуля до 2пи на тригонометрическом круге, вы не сдвинетесь с места. Я вам много чего сказала по делу, но вы меня не слышите…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            Я знаю эти углы! И как их отмечать на окружности! И формулы приведения!
            Но я задал вопрос?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Откуда 13пи/6?
            13пи/6=пи/6+2пи.
            Делайте вывод…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            А 17 пи?!

            [ Ответить ]
          • egeMax

            17пи/6=5пи/6+2пи
            https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

            [ Ответить ]
  2. Kirill

    А почему два оборота сделали?! А не один?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Длина отрезка [latexpage ]$[-1,5\pi;\pi]$ есть $\pi-(-1,5\pi)=2,5\pi$.
      Один оборот – $2\pi$.

      [ Ответить ]
  3. Kirill

    А почему в задании б начали выделять промежуток против часовой стрелки?! От чего это зависит?!
    Это не ясно никак.=(https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Таково устройство тригонометрического круга. Углы растут при движении против часовой стрелки.

      [ Ответить ]
      • Kirill

        А подскажите как выбирают какие точки попадают а какие нет, когда промежуток большой (много оборотов по окружности)?!
        Спасибо!!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ну обычно много оборотов-то и не дают…
          Если не хотите через круг, – идите через решение неравенств. Допустим, решение уравнения – пи/3+Пи n и требуется произвести отбор корней из (-3пи;пи).
          Решаем двойное неравенство:
          -3пи<Пи/3+Пиn <пи, n in Z; -3<1/3+n<1, n in Z; Подходящие целые значения n: -3;-2;-1;0. Тподставляем значения n в пи/3+Пи n, таким образом получаем все нужные корни.

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




тринадцать − восемь =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif