С1 (№15) с отбором корней на отрезке

2015-09-04

В рамках подготовки к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу С1 (В новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №13»), которая предлагалась в Тренировочной работе №60  А. Ларина.

Вы можете также посмотреть задание С3(№17), задание С4(№18) Т/Р.

а) Решите уравнение (1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;

б) Найдите все корни на промежутке [-\frac{3\pi}{2};\pi].

Решение:

a)

(1+2sinx)sinx=sin2x+cosx;

Применяем формулу двойного угла для sin2x:

(1+2sinx)sinx=2sinxcosx+cosx;

Далее – группировка:

(1+2sinx)sinx=cosx(2sinx+1);

(2sinx+1)(sinx-cosx)=0;

То есть

sinx=-\frac{1}{2}  (1)  или  sinx-cosx=0  (2);

Уравнение (2) равносильно уравнению tgx=1 (произвели деление на cosx\neq 0).

Откладываем на оси синусов -\frac{1}{2}, на оси тангенсов  1. Выходим на четыре серии точек:

\left[\begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\;n\in Z, &x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z, &x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in Z; \end{gathered}

Ответ: \frac{\pi}{4}+\pi n,\;-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;n\in Z,\;k\in Z.

б) Произведем отбор корней из отрезка [-\frac{3\pi}{2};\pi] при помощи тригонометрического круга:

Ответ: -\frac{5\pi}{6},\;-\frac{3\pi}{4},\;-\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{4}.

Печать страницы
комментария 22
  1. Алена

    Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
      Долго объяснять на словах…
      Если никак с кругом, то
      решаем сначала неравенство: -\frac{3\pi}{2}\leq \frac{\pi}{4}+\pi n\leq \pi,n\in Z
      -\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\leq n\leq 1-\frac{1}{4};
      -\frac{7}{4}\leq n\leq \frac{3}{4};
      Так как n\in Z, то n=-1;0.
      При n=-1 x=-\frac{3\pi}{4}, при n=0 x=\frac{\pi}{4}.
      Потом -\frac{3\pi}{2}\leq -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq \pi,k\in Z
      И так далее..

      [ Ответить ]
      • вика

        Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]

        [ Ответить ]
        • egeMax

          При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
          При n=1 x=pi\2, pi\2>1.
          Только 0.

          [ Ответить ]
      • Kirill

        Объясните по-подробнее какие страницы в какой последовательности надо читать, чтобы научиться отбирать корни тригонометрического уравнения в задании 13 профильного уровня!
        А то я в приведённой вами ссылке в сообщении прочитал статью, на ней переход к странице: //egemaximum.ru/trigonometricheskij-krug-ii/
        А после этой страницы не написано куда дальше идти!
        Спасибо большое!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ныряйте сюда

          [ Ответить ]
          • Kirill

            Спасибо огромное вам!
            Выручаете!=)
            А подскажите, чтобы научиться правильно отбирать корни в 13ом задании нужно знать формулы приведения, суммы синусов и т. п?
            И отличается ли отбор корней когда один оборот и когда несколько?!
            Спасибо!

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Для отбора корней не нужны формулы приведения, суммы синусов и т.п.
            Принцип отбора – один, не важно полтора оборота, два или один…
            Полезно хотя бы раз развернуть тригонометрический круг в ось. И увидеть, что, например, точки \frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6} на круге отображаются одной точкой, а на оси – разными. Или, например, изобразите точки \frac{\pi}{3}+\pi n,n\in Z на круге, затем на оси…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            Спасибо!
            А при отборе корней с помощью окружности нужно что-то вычислять? Не понимаю когда находят серию корней как они определяют что будет корнем и отмечают это на окружности а что нет?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Не очень понятен вопрос…
            Вам следует сперва научиться видеть серии корней на окружности. Только потом осваивайте отбор (при помощи тригонометрической окр.).
            Например, если вас просят отметить на окружности точки \frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z, а вы не понимаете, – как это.., то до отбора далеко…
            Начинайте перебирать различные значения n, смотрите, что получается…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            Я про то, например, нашли серию корней: x=+_pi/6+pi n, n принадлежит Z.
            Просят отобрать (в этапе б) корни на промежутке [2pi;3pi], я нахожу этот помежуток и выделяю его (это очень легко!).
            А как вычислить корни, которые попадут на окружность на выделенный промежуток?!
            Например, дано уравнение: 16cos^4x-24cos^2x+9=0
            Его решить а.
            Отобрать корни на промежутке [2pi; 3pi] б.
            Нашел серию корней: x=+_pi/6+2pi n, n принадлежит Z.
            Далее – черчу окружность, выделяю жирным промежуток, указанный в условии.
            Мне не ясно, как туда попали корни 13 pi/6 и 17 pi/6?!?
            Откуда они?
            Спасибо огромное за объяснение!

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Пока вы не выучите основные углы от нуля до 2пи на тригонометрическом круге, вы не сдвинетесь с места. Я вам много чего сказала по делу, но вы меня не слышите…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            Я знаю эти углы! И как их отмечать на окружности! И формулы приведения!
            Но я задал вопрос?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Откуда 13пи/6?
            13пи/6=пи/6+2пи.
            Делайте вывод…

            [ Ответить ]
          • Kirill

            А 17 пи?!

            [ Ответить ]
          • egeMax

            17пи/6=5пи/6+2пи
            //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif

            [ Ответить ]
  2. Kirill

    А почему два оборота сделали?! А не один?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Длина отрезка [-1,5\pi;\pi] есть \pi-(-1,5\pi)=2,5\pi.
      Один оборот – 2\pi.

      [ Ответить ]
  3. Kirill

    А почему в задании б начали выделять промежуток против часовой стрелки?! От чего это зависит?!
    Это не ясно никак.=(//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Таково устройство тригонометрического круга. Углы растут при движении против часовой стрелки.

      [ Ответить ]
      • Kirill

        А подскажите как выбирают какие точки попадают а какие нет, когда промежуток большой (много оборотов по окружности)?!
        Спасибо!!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ну обычно много оборотов-то и не дают…
          Если не хотите через круг, – идите через решение неравенств. Допустим, решение уравнения – пи/3+Пи n и требуется произвести отбор корней из (-3пи;пи).
          Решаем двойное неравенство:
          -3пи<Пи/3+Пиn <пи, n in Z; -3<1/3+n<1, n in Z; Подходящие целые значения n: -3;-2;-1;0. Тподставляем значения n в пи/3+Пи n, таким образом получаем все нужные корни.

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

5 × один =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif