а) Пусть плоскости
пересекаются по прямой
где
– центры оснований
параллелепипеда. Прямая
пересечет плоскость
в точке на прямой
назовем ее
По свойству прямой, параллельной плоскости, плоскость
содержащая
, пересечет (а общая точка есть –
) плоскость
по прямой, параллельной 
Строим в плоскости
через
прямую
параллельную
(точки
принадлежат соответственно ребрам
).
Итак,
– сечение заданного параллелепипеда плоскостью 
Поскольку по условию сечение – ромб, то
по свойству диагоналей ромба. Но тогда и 
По теореме от трех перпендикулярах, раз наклонная
к плоскости
перпендикулярна
, то и ее проекция
на плоскость
перпендикулярна
То есть в прямоугольнике
диагонали перпендикулярны, а значит, этот прямоугольник
– квадрат.
Что и требовалось доказать.
б) Построим в плоскости
перпендикуляр
к
линии пересечения плоскостей
и
.
По теореме о трех перпендикулярах наклонная
к плоскости
перпендикулярна
, раз ее проекция
на плоскость
перпендикулярна 
Итак,
– угол между плоскостями
и
.

Замечая равенство
и подобие треугольников
получаем



Наконец, из треугольника 

То есть искомый угол – это
Добавить комментарий