Хорошая задачка. Решаем!
Докажем, что у пирамиды все боковые ребра равны между собой.
Пусть сфера касается боковых ребер
пирамиды в точках
соответственно.
– центр сферы.

Тогда у пирамиды
с основанием
боковые ребра равны как радиусы сферы. А значит, вершина
проецируется в центр описанной окружности (назовем
) около основания (действительно, прямоугольные треугольники
равны по гипотенузе и катету, а значит точка
равноудалена от каждой вершины основания
).
Но ведь тогда и, в обратную сторону, в пирамиде
боковые ребра равны, раз ее вершина
спроецировалась в центр описанной окружности около основания.
А поскольку по условию точки касания сферы делят боковые ребра пирамиды в равных отношениях, считая от вершины
, то и
, а также
проецируется в центр описанной окружности около 
Ну и поскольку плоскости
параллельны, то точки
лежат на одной прямой.

Найдем радиус описанной окружности около основания
пирамиды
а также площадь основания пирамиды.
По формуле Герона
где
имеем:


Тогда, пользуюсь формулой нахождения радиуса описанной окружности около треугольника с площадью
и сторонами 
,
имеем:

Обратимся к прямоугольному треугольнику 
Как мы знаем, радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (плоскости/прямой). То есть 
Тогда из равенства треугольников
(по гипотенузе и катету)
– биссектриса угла 
Пусть 
Из треугольника
имеем:

Из треугольника 

Как только мы найдем
– мы будем знать высоту пирамиды (площадь основания уже знаем), тогда и объем будет найден.
Если не помним формулу двойного угла для тангенса, – не проблема. Можно, например, изначально было обратиться не к
а к
, предварительно найдя
по т. Пифагора.
Итак, 
Наконец, из треугольника 



цифры страшненькие)))
О, да…