В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Задача С2 из тренировочной работы № 63 А. Ларина.
Также смотрите C1(№15), С4(№18), С5(№20).
В задаче применяется одна очень полезная формула:
( – объем, площадь поверхности пирамиды,
– радиус вписанной сферы)
Доказательство –> + показать
Длина высоты правильной треугольной пирамиды
равна 1, а длины сторон основания
равны
. Точки
и
– середины отрезков
и
. Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду
.
Решение:
Будем искать радиус вписанной в пирамиду сферы по формуле
( – объем и площадь поверхности пирамиды
)
Найдем объем пирамиды :
Заметим, у пирамид и
– одна высота.
А основание пирамиды – треугольник
, подобный треугольнику
(
).
Отношение площадей подобных фигур – есть , где
– коэффициент подобия.
Площадь правильного треугольника со стороной
есть
,
стало быть,
Тогда объем пирамиды есть
Найдем площадь поверхности пирамиды :
(очевидно, грани и
равны)
Найдем площадь грани :
(угол
– прямой, так как проекция
наклонной
на плоскость
перпендикулярна
(применили т. о трех перпендикулярах)).
Так как , как треть медианы (по свойству медиан) правильного треугольника со стороной
есть
, то есть
, то из треугольника
по т. Пифагора
Найдем площадь грани
По т. о трех перпендикулярах наклонная (где
– точка пересечения грани
и прямой
) перпендикулярна, так же как и своя проекция, прямой
.
При этом, – шестая часть медианы (высоты) правильного треугольника со стороной
в силу подобия треугольников
и
с коэффициентом подобия
и свойства медиан, о котором уже говорили. То есть
Тогда из треугольника
Стало быть,
Итак,
Наконец,
Ответ:
____________________________________________________________
Полезно порешать
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.
Ответ: + показать
Елена Юрьевна, спасибо Вам большущее! Как я рада, что есть такой человек, как Вы, трудоголик самый настоящий. Так случилось, что мне сейчас не с кем обсудить свои решения. Ваш сайт для меня НАХОДКА!!! Спасибо, спасибо, спасибо,….. Вот так, после решения “ларинских” вариантов с нетерпением жду, когда появятся Ваши решения. А потом про себя радуюсь, “Ура, срослось!”
Ирина, спасибо! Насчет трудоголизма… Ох, сколько задумок никак не реализуются по разным причинам… и из-за лени в том числе.
А вы в каких классах работаете? У вас востребованы ларинские варианты?
Здравствуйте, Елена. Я сейчас занимаюсь только репетиторством, подготовкой к ГИА и ЕГЭ. В школе отработала более 35 лет. Очень долго работала только в 8-11 классах. Все ларинские варианты с ребятами отрешиваем честно, добросовестно по С3 включительно, а вот последние задания решать хотят не все. Поэтому я тоже не всегда их решаю. А вы молодец, помогаете мне там, где я не сильна. И не стыжусь этого, потому что сама учусь всю жизнь. Иначе в нашей работе нельзя.Для меня самый главный дивиз “Реши сама, а потом посоветуйся!”
более 35 лет… вот это срок!..
Да, это точно, не все хотят двигаться даже дальше С1…
А девиз отличный! Большая пропасть между умением самостоятельно решать задачи и наблюдением как решают другие ;)
Вот и не хочется попасть в эту самую пропасть, нужно все пропустить через свой мозг.
Скажите мне, пожалуйста, почему в формуле R=3V/S S и V – площадь и объем пирамиды? Разве объем и площадь вписанной в пирамиду сферы и самой пирамиды равны?
Разве объем и площадь вписанной в пирамиду сферы и самой пирамиды равны?
Конечно, нет.
Дарья, в начале статьи приведено доказательство теоремы. Посмотрите, вопросы отпадут :)
Спасибо большое за решение. А есть ещё какие-либо формулы, которые необходимы на егэ в геометрии, и которые мало кто из нас, выпускников,знает?) (или которых нет в обычном учебнике)