Главная › 13 (С2) Стереометр. задачи › С2 (№16) на нахождение радиуса вписанной в тетраэдр сферы

11 Фев 2014

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиСтереометрияТ/P A. Ларина

С2 (№16) на нахождение радиуса вписанной в тетраэдр сферы

Елена Репина 2014-02-11 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Задача С2 из тренировочной работы № 63 А. Ларина.

Также смотрите C1(№15), С4(№18), С5(№20).

В задаче применяется одна очень полезная формула:

$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot r$

( $V,\;S$ – объем, площадь поверхности пирамиды, $r$ – радиус вписанной сферы)

Доказательство –> + показать

Длина высоты $SO$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ равна 1, а длины сторон основания $ABC$ равны $2\sqrt6$ . Точки $M$ и $N$ – середины отрезков $AC$ и $AB$ . Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду $SAMN$ .

Решение:

тетраэдр правильный

Будем искать радиус вписанной в пирамиду $SAMN$ сферы по формуле

$r=\frac{3V}{S}$

( $V,\;S$ – объем и площадь поверхности пирамиды $SAMN$ )

Найдем объем пирамиды $SAMN$ :

Заметим, у пирамид $SAMN$ и $SABC$ – одна высота.

А основание пирамиды $SAMN$ – треугольник $AMN$ , подобный треугольнику $ACB$ ( $k=1:2$ ).

Отношение площадей подобных фигур – есть $k^2$ , где $k$ – коэффициент подобия.

Площадь правильного треугольника $ABC$ со стороной $2\sqrt6$ есть $S_{ABC}=6\sqrt3$ ,

стало быть, $S_{MNA}=\frac{1}{4}\cdot 6\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}.$

Тогда объем пирамиды $SAMN$ есть $V_{SAMN}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt3}{2}.$

Найдем площадь поверхности пирамиды $SAMN$ :

$S=S_{AMN}+2S_{SAN}+S_{SMN}$

(очевидно, грани $SAM$ и $SAN$ равны)

Найдем площадь грани $SAN$ :

$S_{SAN}=\frac{1}{2}\cdot SN\cdot AN$ (угол $SNA$ – прямой, так как проекция $HN$ наклонной $SN$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна $AB$ (применили т. о трех перпендикулярах)).

Так как $HN$ , как треть медианы (по свойству медиан) правильного треугольника со стороной $2\sqrt6$ есть $\frac{\sqrt{(2\sqrt6)^2-(\sqrt6)^2}}{3}$ , то есть $\sqrt2$ , то из треугольника $SNH$ по т. Пифагора $SN=\sqrt{1+(\sqrt2)^2}=\sqrt3.$

$S_{SAN}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt3\cdot \sqrt6=\frac{3\sqrt2}{2}.$

Найдем площадь грани $SMN:$

По т. о трех перпендикулярах наклонная $SR$ (где $R$ – точка пересечения грани $SMN$ и прямой $AH$ ) перпендикулярна, так же как и своя проекция, прямой $MN$ .

При этом, $HR$ – шестая часть медианы (высоты) правильного треугольника со стороной $2\sqrt6$ в силу подобия треугольников $MNH$ и $BCH$ с коэффициентом подобия $1:2$ и свойства медиан, о котором уже говорили. То есть $RH=\frac{\sqrt2}{2}.$

Тогда из треугольника $SHR:$

$SR=\sqrt{1+(\frac{\sqrt2}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}.$

Стало быть,

$S_{SMN}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt6=\frac{3}{2}.$

Итак,

$S=\frac{3\sqrt3}{2}+2\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3}{2}.$

Наконец,

$r=\frac{3V}{S}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{\frac{3\sqrt3}{2}+2\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2\sqrt2+1}.$

Ответ: $\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2\sqrt2+1}.$

____________________________________________________________

Полезно порешать

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.

Ответ: + показать

Автор: egeMax | комментариев 8

Печать страницы

комментариев 8

Ирина

2014-02-12 в 05:10

Елена Юрьевна, спасибо Вам большущее! Как я рада, что есть такой человек, как Вы, трудоголик самый настоящий. Так случилось, что мне сейчас не с кем обсудить свои решения. Ваш сайт для меня НАХОДКА!!! Спасибо, спасибо, спасибо,….. Вот так, после решения “ларинских” вариантов с нетерпением жду, когда появятся Ваши решения. А потом про себя радуюсь, “Ура, срослось!”

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-02-12 в 09:40
  
  Ирина, спасибо! Насчет трудоголизма… Ох, сколько задумок никак не реализуются по разным причинам… и из-за лени в том числе.
  А вы в каких классах работаете? У вас востребованы ларинские варианты?
  
  [ Ответить ]
  - Ирина
    
    2014-02-13 в 01:06
    
    Здравствуйте, Елена. Я сейчас занимаюсь только репетиторством, подготовкой к ГИА и ЕГЭ. В школе отработала более 35 лет. Очень долго работала только в 8-11 классах. Все ларинские варианты с ребятами отрешиваем честно, добросовестно по С3 включительно, а вот последние задания решать хотят не все. Поэтому я тоже не всегда их решаю. А вы молодец, помогаете мне там, где я не сильна. И не стыжусь этого, потому что сама учусь всю жизнь. Иначе в нашей работе нельзя.Для меня самый главный дивиз “Реши сама, а потом посоветуйся!”
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2014-02-13 в 09:36
      
      более 35 лет… вот это срок!..
      Да, это точно, не все хотят двигаться даже дальше С1…
      А девиз отличный! Большая пропасть между умением самостоятельно решать задачи и наблюдением как решают другие ;)
      
      [ Ответить ]
      - Ирина
        
        2014-02-14 в 00:36
        
        Вот и не хочется попасть в эту самую пропасть, нужно все пропустить через свой мозг.
        
        [ Ответить ]
Дарья

2014-03-03 в 15:42

Скажите мне, пожалуйста, почему в формуле R=3V/S S и V – площадь и объем пирамиды? Разве объем и площадь вписанной в пирамиду сферы и самой пирамиды равны?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-03-03 в 20:52
  
  Разве объем и площадь вписанной в пирамиду сферы и самой пирамиды равны?
  Конечно, нет.
  Дарья, в начале статьи приведено доказательство теоремы. Посмотрите, вопросы отпадут :)
  
  [ Ответить ]
Cофья

2014-03-27 в 01:19

Спасибо большое за решение. А есть ещё какие-либо формулы, которые необходимы на егэ в геометрии, и которые мало кто из нас, выпускников,знает?) (или которых нет в обычном учебнике)

[ Ответить ]

С2 (№16) на нахождение радиуса вписанной в тетраэдр сферы

Полезно порешать

Добавить комментарий Отменить ответ