С2 (№16) на нахождение радиуса вписанной в тетраэдр сферы

Задача С2  из тренировочной работы № 63 А. Ларина.

Также смотрите C1(№15), С4(№18), С5(№20).

В задаче применяется одна очень полезная формула:

$\color{red}V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot r$

($V,\;S$ – объем, площадь поверхности пирамиды, $r$ – радиус вписанной сферы)

Доказательство –> + показать

Длина высоты $SO$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ равна 1, а длины сторон основания $ABC$ равны $2\sqrt6$ . Точки $M$ и $N$ – середины отрезков $AC$ и $AB$. Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду $SAMN$.

Решение:

Будем искать радиус вписанной в пирамиду $SAMN$ сферы по формуле

$r=\frac{3V}{S}$

($V,\;S$ – объем и площадь поверхности пирамиды $SAMN$)

Найдем объем пирамиды $SAMN$:

Заметим, у пирамид $SAMN$ и $SABC$ – одна высота.

А основание пирамиды $SAMN$ – треугольник $AMN$, подобный  треугольнику $ACB$ ($k=1:2$).

Отношение площадей подобных фигур – есть $k^2$, где $k$ – коэффициент подобия.

Площадь правильного треугольника $ABC$ со стороной $2\sqrt6$ есть $S_{ABC}=6\sqrt3$,

стало быть, $S_{MNA}=\frac{1}{4}\cdot 6\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}.$

Тогда объем пирамиды $SAMN$ есть $V_{SAMN}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt3}{2}.$

Найдем площадь поверхности пирамиды $SAMN$:

$S=S_{AMN}+2S_{SAN}+S_{SMN}$

(очевидно, грани $SAM$ и $SAN$  равны)

Найдем площадь грани $SAN$:

$S_{SAN}=\frac{1}{2}\cdot SN\cdot AN$ (угол $SNA$ – прямой, так как проекция $HN$ наклонной $SN$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна $AB$ (применили т. о трех перпендикулярах)).

Так как    $HN$, как треть медианы  (по свойству медиан) правильного треугольника со стороной $2\sqrt6$ есть $\frac{\sqrt{(2\sqrt6)^2-(\sqrt6)^2}}{3}$, то есть $\sqrt2$, то из треугольника $SNH$ по т. Пифагора $SN=\sqrt{1+(\sqrt2)^2}=\sqrt3.$

$S_{SAN}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt3\cdot \sqrt6=\frac{3\sqrt2}{2}.$

Найдем площадь грани $SMN:$

По т. о трех перпендикулярах наклонная $SR$ (где $R$ – точка пересечения грани $SMN$ и прямой $AH$) перпендикулярна, так же как и своя проекция, прямой $MN$.

При этом, $HR$ – шестая часть медианы (высоты) правильного треугольника со стороной $2\sqrt6$ в силу подобия треугольников $MNH$ и $BCH$ с коэффициентом подобия $1:2$ и свойства медиан, о котором уже говорили. То есть $RH=\frac{\sqrt2}{2}.$

Тогда из треугольника $SHR:$

$SR=\sqrt{1+(\frac{\sqrt2}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}.$

Стало быть,

$S_{SMN}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt6=\frac{3}{2}.$

Итак,

$S=\frac{3\sqrt3}{2}+2\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3}{2}.$

Наконец,

$r=\frac{3V}{S}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{\frac{3\sqrt3}{2}+2\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2\sqrt2+1}.$

Ответ: $\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2\sqrt2+1}.$

____________________________________________________________

Полезно порешать

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.

Ответ: + показать