С2 (№16) на нахождение радиуса вписанной в тетраэдр сферы

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»


Задача С2  из тренировочной работы № 63 А. Ларина.

Также смотрите C1(№15), С4(№18), С5(№20).

В задаче применяется одна очень полезная формула:

V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot r

(V,\;S – объем, площадь поверхности пирамиды, r – радиус вписанной сферы)

Доказательство –> + показать

Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а длины сторон основания ABC равны 2\sqrt6 . Точки M и N – середины отрезков AC и AB. Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду SAMN.

Решение:

Будем искать радиус вписанной в пирамиду SAMN сферы по формуле

r=\frac{3V}{S}

(V,\;S – объем и площадь поверхности пирамиды SAMN)

Найдем объем пирамиды SAMN:

Заметим, у пирамид SAMN и SABC – одна высота.

А основание пирамиды SAMN – треугольник AMN, подобный  треугольнику ACB (k=1:2).

Отношение площадей подобных фигур – есть k^2, где k – коэффициент подобия.

Площадь правильного треугольника ABC со стороной 2\sqrt6 есть S_{ABC}=6\sqrt3,

стало быть, S_{MNA}=\frac{1}{4}\cdot 6\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}.

Тогда объем пирамиды SAMN есть V_{SAMN}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt3}{2}.

Найдем площадь поверхности пирамиды SAMN:

S=S_{AMN}+2S_{SAN}+S_{SMN}

(очевидно, грани SAM и SAN  равны)

Найдем площадь грани SAN:

S_{SAN}=\frac{1}{2}\cdot SN\cdot AN (угол SNA – прямой, так как проекция HN наклонной SN на плоскость ABC перпендикулярна AB (применили т. о трех перпендикулярах)).

Так как    HN, как треть медианы  (по свойству медиан) правильного треугольника со стороной 2\sqrt6 есть \frac{\sqrt{(2\sqrt6)^2-(\sqrt6)^2}}{3}, то есть \sqrt2, то из треугольника SNH по т. Пифагора SN=\sqrt{1+(\sqrt2)^2}=\sqrt3.

S_{SAN}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt3\cdot \sqrt6=\frac{3\sqrt2}{2}.

Найдем площадь грани SMN:

По т. о трех перпендикулярах наклонная SR (где R – точка пересечения грани SMN и прямой AH) перпендикулярна, так же как и своя проекция, прямой MN.

При этом, HR – шестая часть медианы (высоты) правильного треугольника со стороной 2\sqrt6 в силу подобия треугольников MNH и BCH с коэффициентом подобия 1:2 и свойства медиан, о котором уже говорили. То есть RH=\frac{\sqrt2}{2}.

Тогда из треугольника SHR:

SR=\sqrt{1+(\frac{\sqrt2}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}.

Стало быть,

S_{SMN}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt6=\frac{3}{2}.

Итак,

S=\frac{3\sqrt3}{2}+2\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3}{2}.

Наконец,

r=\frac{3V}{S}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{\frac{3\sqrt3}{2}+2\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2\sqrt2+1}.

Ответ: \frac{\sqrt3}{\sqrt3+2\sqrt2+1}.

____________________________________________________________

Полезно порешать

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.

Ответ: + показать

Печать страницы
Комментариев: 8
  1. Ирина

    Елена Юрьевна, спасибо Вам большущее! Как я рада, что есть такой человек, как Вы, трудоголик самый настоящий. Так случилось, что мне сейчас не с кем обсудить свои решения. Ваш сайт для меня НАХОДКА!!! Спасибо, спасибо, спасибо,….. Вот так, после решения “ларинских” вариантов с нетерпением жду, когда появятся Ваши решения. А потом про себя радуюсь, “Ура, срослось!”

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ирина, спасибо! Насчет трудоголизма… Ох, сколько задумок никак не реализуются по разным причинам… и из-за лени в том числе.
      А вы в каких классах работаете? У вас востребованы ларинские варианты?

      [ Ответить ]
      • Ирина

        Здравствуйте, Елена. Я сейчас занимаюсь только репетиторством, подготовкой к ГИА и ЕГЭ. В школе отработала более 35 лет. Очень долго работала только в 8-11 классах. Все ларинские варианты с ребятами отрешиваем честно, добросовестно по С3 включительно, а вот последние задания решать хотят не все. Поэтому я тоже не всегда их решаю. А вы молодец, помогаете мне там, где я не сильна. И не стыжусь этого, потому что сама учусь всю жизнь. Иначе в нашей работе нельзя.Для меня самый главный дивиз “Реши сама, а потом посоветуйся!”

        [ Ответить ]
        • egeMax

          более 35 лет… вот это срок!..
          Да, это точно, не все хотят двигаться даже дальше С1…
          А девиз отличный! Большая пропасть между умением самостоятельно решать задачи и наблюдением как решают другие ;)

          [ Ответить ]
          • Ирина

            Вот и не хочется попасть в эту самую пропасть, нужно все пропустить через свой мозг.

            [ Ответить ]
  2. Дарья

    Скажите мне, пожалуйста, почему в формуле R=3V/S S и V – площадь и объем пирамиды? Разве объем и площадь вписанной в пирамиду сферы и самой пирамиды равны?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Разве объем и площадь вписанной в пирамиду сферы и самой пирамиды равны?
      Конечно, нет.
      Дарья, в начале статьи приведено доказательство теоремы. Посмотрите, вопросы отпадут :)

      [ Ответить ]
  3. Cофья

    Спасибо большое за решение. А есть ещё какие-либо формулы, которые необходимы на егэ в геометрии, и которые мало кто из нас, выпускников,знает?) (или которых нет в обычном учебнике)

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif