В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также № 17, №18.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна , боковое ребро составляет с высотой угол
. Плоскость
, проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α;
б) Определите объём прилегающей к вершине части пирамиды.
Решение:
1) Пусть плоскость проходит через вершину
пирамиды. Тогда согласно условию плоскость
должна быть перпендикулярна ребру
.
Выбираем (пока произвольную) точку на ребре
. Прямые в плоскостях граней
и
(проходящие через точку
), перпендикулярные ребру
, пересекают ребра
и
пирамиды соответственно в точках
и
(подумайте, кстати, почему невозможна ситуация, когда указанные прямые пересекают ребра
и
). Далее, в процессе решения, будет выяснено точное положение точек
и
на ребрах
и
.
Соединяем точку с точками
и
, получаем искомое сечение
(
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
Будем искать объем пирамиды . А ведь у нее
, то есть
будет у нас выступать в качестве высоты пирамиды
.
Кстати, в сечении у нас получился четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.
Действительно, + показать
А значит, формула площади четырехугольника , где
– угол между диагоналями превращается в
Итак, найдя площадь основания пирамиды
и высоту
, мы тот час же найдем и объем пирамиды.
Обратимся к основанию пирамиды. Очевидно, диагональ квадрата со стороной есть
или
Так как боковое ребро пирамиды по условию составляет с высотой угол в , то, например,
– равносторонний (равнобедренный в силу того, что пирамида правильная плюс угол при вершине
равен
). А значит, боковое ребро пирамиды, как и диагональ основания, – есть
А так как перпендикулярность прямой и плоскости
влечет за собой
(
лежит в
) то в равностороннем треугольнике
– медиана, то есть
– середина ребра
.
Очевидно,
Далее, в треугольнике точка
делит
в отношении
, считая от т. S по свойству медиан (ведь
и
– медианы треугольника).
А значит, из подобия
и
с коэффициентом подобия 2:3, получаем, что
Тогда
Наконец,
Ответ: 2.
в последней строчке V_{APMKS}=1/3S{APMKS}*SN!
Розалия, спасибо!
Можно подробнее объяснить откуда взялся коэффициент подобия “2/3”?
Егор, по свойству медиан
, а значит
. Итак, из подобия указанных треугольников:
.