№16 (С2 по старому) из Тренировочного варианта №84 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также № 17, №18.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна \sqrt6, боковое ребро составляет с высотой угол 30^{\circ}. Плоскость \alpha, проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α;
б) Определите объём прилегающей к вершине части пирамиды.

Решение:

1) Пусть плоскость \alpha проходит через вершину A пирамиды. Тогда согласно условию плоскость \alpha должна быть перпендикулярна ребру SC.

Выбираем (пока произвольную) точку M на ребре SC. Прямые в плоскостях граней BCS  и DCS (проходящие через точку M), перпендикулярные  ребру SC, пересекают  ребра BS и SD пирамиды соответственно в точках P  и K (подумайте, кстати, почему невозможна ситуация, когда указанные прямые пересекают ребра BC и CD). Далее,  в процессе решения, будет выяснено точное положение точек P и K на ребрах BS и DS.

Соединяем точку A с точками P и K, получаем искомое сечение APMK  (\alpha \perp SC по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Будем искать объем пирамиды APMKS. А ведь у нее SM\perp (APMK), то есть SM будет у нас выступать в качестве высоты пирамиды APMKS

Кстати, в сечении у нас получился четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Действительно, + показать

А значит, формула площади четырехугольника S=\frac{1}{2}d_1d_2sin\gamma, где \gamma – угол между диагоналями превращается в S=\frac{1}{2}d_1d_2.

Итак, найдя площадь основания APMK пирамиды APMKS и высоту SM, мы тот час же найдем и объем пирамиды.

Обратимся к основанию пирамиды. Очевидно, диагональ квадрата со стороной \sqrt6 есть \sqrt{12} или 2\sqrt3.

Так как боковое ребро пирамиды по условию составляет с высотой угол в 30^{\circ}, то, например, \Delta ASC – равносторонний (равнобедренный в силу того, что пирамида правильная плюс угол при вершине S равен 60^{\circ}). А значит, боковое ребро пирамиды, как и диагональ основания, – есть 2\sqrt3.

А так как перпендикулярность прямой SC и плоскости \alpha влечет за собой SC\perp AM (AM лежит в \alpha) то в равностороннем треугольнике ASM  AM – медиана, то есть M – середина ребра SC.

Очевидно, AM=\sqrt{(2\sqrt3)^2-(\sqrt3)^2}=3.

Далее, в треугольнике ASC точка Q делит SO в отношении 2:1, считая от т. S  по свойству медиан (ведь SO и AM – медианы треугольника).

А значит, из подобия \Delta PSK и \Delta BCD с коэффициентом подобия 2:3, получаем, что

PK=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt3=\frac{4\sqrt3}{3}.

Тогда

S_{APMK}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot PK=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{4\sqrt3}{3}=2\sqrt3.

 Наконец,

V_{APMKS}=\frac{1}3{}S_{APMK}\cdot SM=\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt3\cdot \sqrt3=2.

Ответ: 2.

 

 

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Розалия

    в последней строчке V_{APMKS}=1/3S{APMKS}*SN!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Розалия, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. Егор

    Можно подробнее объяснить откуда взялся коэффициент подобия “2/3”?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Егор, по свойству медиан SQ:QO=2:1, а значит SQ:SO=2:3. Итак, из подобия указанных треугольников: k=\frac{SQ}{SO}=2/3.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif