С3 диагностической работы от 12 декабря 2013 года

Рассмотрим С3 Д/Р без логарифмов.
Здесь можно посмотреть С3 диагностической работы без производной.

Решите систему неравенств:

$\begin{cases}1-\frac{2}{|x|}\leq \frac{23}{x^2},\;(1)\\\frac{2-(x-5)^{-1}}{2(x-5)^{-1}-1}\leq -0,5;\;(2)&\end{cases}$

Решение:

Решаем (1) неравенство системы:

Поскольку $x^2=|x|^2$, то перед нами неравенсвто относительно переменной $|x|$:

$1-\frac{2}{|x|}\leq \frac{23}{|x|^2};$

 Домножаем обе части неравенства на $|x|^2$, понимая, что $x\neq 0$:

$|x|^2-2|x|-23\leq 0,\;x\neq 0;$

Раскладываем квадратный трехчлен $|x|^2-2|x|-23$ на множители (через дискриминант):

$(|x|-(1+2\sqrt 6))(|x|-(1-2\sqrt6))\leq 0,\;x\neq 0;$

Заметим, $|x|+2\sqrt 6-1>0$, так как $2\sqrt 6-1>0.$ Поэтому мы можем переписать неравенство так:

$|x|-(1+2\sqrt 6)\leq 0,\;x\neq 0;$

$|x|\leq 1+2\sqrt 6, \;x\neq 0;$

$-1-2\sqrt 6\leq x\leq 1+2\sqrt 6,\;x\neq 0;$

Решаем (2) неравенство системы:

Мы замечаем неравенство относительно переменной $(x-5)^{-1}$:

$\frac{2-(x-5)^{-1}}{2(x-5)^{-1}-1}+0,5\leq 0;$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{2-(x-5)^{-1}+0,5(2(x-5)^{-1}-1)}{2(x-5)^{-1}-1}\leq 0;$

$\frac{2-(x-5)^{-1}+(x-5)^{-1}-0,5}{2(x-5)^{-1}-1}\leq 0;$

$\frac{1,5}{2(x-5)^{-1}-1}\leq 0;$

$2(x-5)^{-1}-1< 0;$

$\frac{2}{x-5}-1< 0;$

$\frac{2-x+5}{x-5}< 0;$

$\frac{7-x}{x-5}<0;$

$x\in (-\infty;5)\cup(7;+\infty).$

Пересекаем решения  неравенств (1) и (2):

Ответ: $[-1-2\sqrt6;0 )\cup (0;5).$

Смотрите также разбор заданий части В, С1(№15), С2(№16), С4(№18), С5(№20).

Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:

Решите систему неравенств:

$\begin{cases}1-\frac{4}{|x|}\leq \frac{20}{x^2},\\\frac{2-(x-6)^{-1}}{5(x-6)^{-1}-1}\leq -0,2;\end{cases}$

Ответ: + показать