Решите систему неравенств:
$\begin{cases}4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0,\\2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2.&\end{cases}$
Решение:
Рассмотрим первое неравенство системы:
$4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0;$
$4\cdot 4^x-33\cdot 2^x+8\leq 0;$
Перед нами квадратное неравенство относительно $2^x$:
$4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8\leq 0;$
Заготавливаем шаблончик $(2^x-…)(2^x-…)\leq 0$ и находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена $4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8.$
Тогда, согласно формуле $\color{red}ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$ где $x_1,\;x_2$ – корни квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ имеем:
$4(2^x-8)(2^x-\frac{1}{4})\leq 0;$
Откуда
$\frac{1}{4}\leq 2^x\leq 8;$
$2^{-2}\leq 2^x\leq 2^3;$
$-2\leq x\leq 3;$
Рассмотрим второе неравенство системы:
$2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2.$
Имеем
$2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+2log_2|x+1,3|\geq 2;$
$log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2|x+1,3|\geq 1;$
$log_2\frac{(x-1)|x+1,3|}{x+1,3}\geq 1;$ (*)
Чтобы раскрыть модуль, рассмотрим два случая:
1) $x+1,3>0$ (то есть $x>-1,3$). Неравенство (*) примет вид:
$log_2\frac{(x-1)(x+1,3)}{x+1,3}\geq 1;$
$log_2(x-1)\geq 1;$
$log_2(x-1)\geq log_22;$
$x-1\geq 2;$
$x\geq 3;$
В первом случае $x\in [3;+\infty).$
2) $x+1,3<0$ (то есть $x<-1,3$). Неравенство (*) примет вид:
$log_2\frac{(x-1)(-x-1,3)}{x+1,3}\geq 1;$
$log_2(1-x)\geq 1,\;x\neq -1,3;$
$log_2(1-x)\geq log_22,\;x\neq -1,3;$
$1-x\geq 2,\;x\neq -1,3;$
$x\leq -1,\;x\neq -1,3;$
Во втором случае $x\in(-\infty;-1,3).$
Итак, решение второго неравенства исходной системы:
$x\in(-\infty;-1,3)\cup [3;+\infty).$
Пересекаем решения неравенств исходной системы:
$x\in [-2;-1,3)\cup ${$3$}.
Ответ: $[-2;-1,3)\cup ${$3$}.
Аналогичное задание для самопроверки:
Решите систему неравенств:
$\begin{cases}4^{x+2}-257\cdot 2^x+16\leq 0,\\2log_2\frac{x+2}{x-3,7}+log_2(x-3,7)^2\geq 2.&\end{cases}$
Ответ: + показать
Разбор заданий части В Тренировочной работы от 28 января 2014 года смотрите здесь. Также можно посмотреть С1(№15), С2(№16), С4(№18).
Разве х большие -1,3 входят в область допустимых значений неравенства?
А что этому мешает?
Отрицательные значения под логарифмом
Подставьте 3, убедитесь, что подходит. Вообще, изначально если расписывать ОДЗ (я же шла путем равносильных переходов), то должно быть [latexpage]$x\in(-\infty;-1,3)\cup(1;+\infty)$
Да, спасибо. Я это и имела в виду:что х из промежутка от -1,3 до 1 не входит в ОДЗ.
А в задание для самопроверки в показательном уравнение, если решать его как квадратное уравнение, из дискриминанта извлекается “хорошее число”(т.е. целое)?
Да