С3 Тренировочной работы от 28 января 2013 года

Решите систему неравенств:

$\begin{cases}4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0,\\2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2.&\end{cases}$

 Решение:

Рассмотрим первое неравенство системы:

 $4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0;$

$4\cdot 4^x-33\cdot 2^x+8\leq 0;$

Перед нами квадратное неравенство относительно $2^x$:

$4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8\leq 0;$

Заготавливаем шаблончик $(2^x-…)(2^x-…)\leq 0$ и находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена $4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8.$

Тогда, согласно формуле $\color{red}ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$  где $x_1,\;x_2$ – корни квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ имеем:

$4(2^x-8)(2^x-\frac{1}{4})\leq 0;$

Откуда

$\frac{1}{4}\leq 2^x\leq 8;$

$2^{-2}\leq 2^x\leq 2^3;$

$-2\leq x\leq 3;$

Рассмотрим второе неравенство системы:

$2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2.$

Имеем

$2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+2log_2|x+1,3|\geq 2;$

$log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2|x+1,3|\geq 1;$

$log_2\frac{(x-1)|x+1,3|}{x+1,3}\geq 1;$   (*)

Чтобы раскрыть модуль,  рассмотрим два случая:

1) $x+1,3>0$ (то есть $x>-1,3$). Неравенство (*) примет вид:

$log_2\frac{(x-1)(x+1,3)}{x+1,3}\geq 1;$

$log_2(x-1)\geq 1;$

$log_2(x-1)\geq log_22;$

$x-1\geq 2;$

$x\geq 3;$

В первом случае $x\in [3;+\infty).$

2) $x+1,3<0$ (то есть $x<-1,3$). Неравенство (*) примет вид:

$log_2\frac{(x-1)(-x-1,3)}{x+1,3}\geq 1;$

$log_2(1-x)\geq 1,\;x\neq -1,3;$

$log_2(1-x)\geq log_22,\;x\neq -1,3;$

$1-x\geq 2,\;x\neq -1,3;$

$x\leq -1,\;x\neq -1,3;$

Во втором случае $x\in(-\infty;-1,3).$

Итак, решение второго неравенства исходной системы:

$x\in(-\infty;-1,3)\cup [3;+\infty).$

Пересекаем решения неравенств исходной системы:

$x\in [-2;-1,3)\cup ${$3$}.

Ответ: $[-2;-1,3)\cup ${$3$}.

Аналогичное задание для самопроверки:

Решите систему неравенств:

$\begin{cases}4^{x+2}-257\cdot 2^x+16\leq 0,\\2log_2\frac{x+2}{x-3,7}+log_2(x-3,7)^2\geq 2.&\end{cases}$

Ответ: + показать