С3 Тренировочной работы от 28 января 2013 года

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

С3.

Решите систему неравенств:  

\begin{cases}  4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0,& & 2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2. \end{cases}

 Решение:

Рассмотрим первое неравенство системы:

 4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0;

4\cdot 4^x-33\cdot 2^x+8\leq 0;

Перед нами квадратное неравенство относительно 2^x:

4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8\leq 0;

Заготавливаем шаблончик (2^x-...)(2^x-...)\leq 0 и находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена 4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8.

Тогда, согласно формуле ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),  где x_1,\;x_2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c имеем:

4(2^x-8)(2^x-\frac{1}{4})\leq 0;

Откуда

\frac{1}{4}\leq 2^x\leq 8;

2^{-2}\leq 2^x\leq 2^3;

-2\leq x\leq 3;

Рассмотрим второе неравенство системы:

2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2.

Имеем

2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+2log_2|x+1,3|\geq 2;

log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2|x+1,3|\geq 1;

log_2\frac{(x-1)|x+1,3|}{x+1,3}\geq 1;   (*)

Чтобы раскрыть модуль,  рассмотрим два случая:

1) x+1,3>0 (то есть x>-1,3). Неравенство (*) примет вид:

log_2\frac{(x-1)(x+1,3)}{x+1,3}\geq 1;

log_2(x-1)\geq 1;

log_2(x-1)\geq log_22;

x-1\geq 2;

x\geq 3;

В первом случае x\in [3;+\infty).

2) x+1,3<0 (то есть x<-1,3). Неравенство (*) примет вид:

log_2\frac{(x-1)(-x-1,3)}{x+1,3}\geq 1;

log_2(1-x)\geq 1,\;x\neq -1,3;

log_2(1-x)\geq log_22,\;x\neq -1,3;

1-x\geq 2,\;x\neq -1,3;

x\leq -1,\;x\neq -1,3;

Во втором случае x\in(-\infty;-1,3).

Итак, решение второго неравенства исходной системы:

x\in(-\infty;-1,3)\cup [3;+\infty).

Пересекаем решения неравенств исходной системы:

x\in [-2;-1,3)\cup{3}.

Ответ: [-2;-1,3)\cup{3}.

Аналогичное задание для самопроверки:

Решите систему неравенств:

\begin{cases}  4^{x+2}-257\cdot 2^x+16\leq 0,& & 2log_2\frac{x+2}{x-3,7}+log_2(x-3,7)^2\geq 2. \end{cases}

Ответ: + показать

 

Разбор заданий части В Тренировочной работы от 28 января 2014 года смотрите здесь. Также можно посмотреть С1(№15), С2(№16), С4(№18).

Печать страницы
Комментариев: 7
  1. Надежда

    Разве х большие -1,3 входят в область допустимых значений неравенства?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      А что этому мешает?

      [ Ответить ]
      • Надежда

        Отрицательные значения под логарифмом

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Подставьте 3, убедитесь, что подходит. Вообще, изначально если расписывать ОДЗ (я же шла путем равносильных переходов), то должно быть x\in(-\infty;-1,3)\cup(1;+\infty)

          [ Ответить ]
          • Надежда

            Да, спасибо. Я это и имела в виду:что х из промежутка от -1,3 до 1 не входит в ОДЗ.

            [ Ответить ]
  2. Анатолий

    А в задание для самопроверки в показательном уравнение, если решать его как квадратное уравнение, из дискриминанта извлекается “хорошее число”(т.е. целое)?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif