Главная › 14 (С3) Неравенства › С3 Тренировочной работы от 28 января 2013 года

29 Янв 2014

Категория: 14 (С3) НеравенстваЕГЭ (диагностич. работы)ЛогарифмыПоказательные выражения, уравнения и неравенства

С3 Тренировочной работы от 28 января 2013 года

Елена Репина 2014-01-29 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

С3.

Решите систему неравенств:

$\begin{cases} 4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0,& & 2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2. \end{cases}$

Решение:

Рассмотрим первое неравенство системы:

$4^{x+1}-33\cdot 2^x+8\leq 0;$

$4\cdot 4^x-33\cdot 2^x+8\leq 0;$

Перед нами квадратное неравенство относительно $2^x$ :

$4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8\leq 0;$

Заготавливаем шаблончик $(2^x-...)(2^x-...)\leq 0$ и находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена $4(2^x)^2-33\cdot 2^x+8.$

Тогда, согласно формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$ где $x_1,\;x_2$ – корни квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ имеем:

$4(2^x-8)(2^x-\frac{1}{4})\leq 0;$

Откуда

$\frac{1}{4}\leq 2^x\leq 8;$

$2^{-2}\leq 2^x\leq 2^3;$

$-2\leq x\leq 3;$

Рассмотрим второе неравенство системы:

$2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2\geq 2.$

Имеем

$2log_2\frac{x-1}{x+1,3}+2log_2|x+1,3|\geq 2;$

$log_2\frac{x-1}{x+1,3}+log_2|x+1,3|\geq 1;$

$log_2\frac{(x-1)|x+1,3|}{x+1,3}\geq 1;$ (*)

Чтобы раскрыть модуль, рассмотрим два случая:

1) $x+1,3>0$ (то есть $x>-1,3$ ). Неравенство (*) примет вид:

$log_2\frac{(x-1)(x+1,3)}{x+1,3}\geq 1;$

$log_2(x-1)\geq 1;$

$log_2(x-1)\geq log_22;$

$x-1\geq 2;$

$x\geq 3;$

В первом случае $x\in [3;+\infty).$

2) $x+1,3<0$ (то есть $x<-1,3$ ). Неравенство (*) примет вид:

$log_2\frac{(x-1)(-x-1,3)}{x+1,3}\geq 1;$

$log_2(1-x)\geq 1,\;x\neq -1,3;$

$log_2(1-x)\geq log_22,\;x\neq -1,3;$

$1-x\geq 2,\;x\neq -1,3;$

$x\leq -1,\;x\neq -1,3;$

Во втором случае $x\in(-\infty;-1,3).$

Итак, решение второго неравенства исходной системы:

$x\in(-\infty;-1,3)\cup [3;+\infty).$

Пересекаем решения неравенств исходной системы:

$x\in [-2;-1,3)\cup$ { $3$ }.

Ответ: $[-2;-1,3)\cup$ { $3$ }.

Аналогичное задание для самопроверки:

Решите систему неравенств:

$\begin{cases} 4^{x+2}-257\cdot 2^x+16\leq 0,& & 2log_2\frac{x+2}{x-3,7}+log_2(x-3,7)^2\geq 2. \end{cases}$

Ответ: + показать

Разбор заданий части В Тренировочной работы от 28 января 2014 года смотрите здесь. Также можно посмотреть С1(№15), С2(№16), С4(№18).

Автор: egeMax | комментариев 7

Печать страницы

комментариев 7

Надежда

2014-01-30 в 18:42

Разве х большие -1,3 входят в область допустимых значений неравенства?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-01-30 в 18:43
  
  А что этому мешает?
  
  [ Ответить ]
  - Надежда
    
    2014-01-30 в 19:22
    
    Отрицательные значения под логарифмом
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2014-01-30 в 19:41
      
      Подставьте 3, убедитесь, что подходит. Вообще, изначально если расписывать ОДЗ (я же шла путем равносильных переходов), то должно быть $x\in(-\infty;-1,3)\cup(1;+\infty)$
      
      [ Ответить ]
      - Надежда
        
        2014-01-30 в 19:49
        
        Да, спасибо. Я это и имела в виду:что х из промежутка от -1,3 до 1 не входит в ОДЗ.
        
        [ Ответить ]
Анатолий

2014-06-04 в 14:13

А в задание для самопроверки в показательном уравнение, если решать его как квадратное уравнение, из дискриминанта извлекается “хорошее число”(т.е. целое)?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-06-06 в 14:10
  
  Да
  
  [ Ответить ]

С3 Тренировочной работы от 28 января 2013 года

Добавить комментарий Отменить ответ