С4 (№16). Досрочный ЕГЭ по математике от 31 марта 2017

а) Пусть тогда и (по свойству средней линии ).

Из прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника ( –  точка пересечения прямых , )

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то то есть треугольник – равнобедренный, но тогда высота в нем –  биссектриса. То есть и

Итак, в четырехугольнике суммы противоположных углов равны значит около него можно описать окружность.

б) Пусть

Треугольник – прямоугольный, равнобедренный. Тогда

По теореме синусов для треугольника

Тогда

Откуда