С4 (№16). Досрочный ЕГЭ по математике от 31 марта 2017

Смотрите также 1-12; №13; №14; №15; №17; №18; №19 профильного Досрочного ЕГЭ по математике от 31.03.17

16. В треугольнике $ABC$ точки $A_1,B_1,C1$ ‐ середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ ‐ высота, $\angle BAC=60^{\circ}, \angle BCA=45^{\circ}$.

а) Докажите, что точки $A_1,B_1,C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt3.$

Решение:

а) Пусть $\angle B=\alpha,$ тогда и $\angle B_1A_1C=\alpha$ (по свойству средней линии $A_1B_1\parallel AB$).

Из прямоугольного треугольника $ABH$

$\angle BAH=90^{\circ}-\alpha.$

Из прямоугольного треугольника $AC_1E$ ($E$ –  точка пересечения прямых $AH$, $B_1C_1$)

 $\angle AC_1E=\alpha.$

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то $C_1H=AC_1,$ то есть треугольник $AC_1H$ – равнобедренный, но тогда высота $C_1E$ в нем –  биссектриса. То есть и $\angle HC_1E=\alpha.$

Итак, в четырехугольнике $A_1B_1C_1H$ суммы противоположных углов равны $180^{\circ},$ значит около него можно описать окружность.

б) Пусть $HA_1=x.$

Треугольник $AHC$ – прямоугольный, равнобедренный. Тогда $AC=\sqrt2HC=\sqrt2(x+\sqrt3).$

По теореме синусов для треугольника $ABC:$

$\frac{BC}{sin A}=\frac{AC}{sin B};$

$\frac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{AC}{sin 75^{\circ}};$

$4=\frac{AC}{sin 75^{\circ}};$

$AC=4sin 75^{\circ};$

$AC=4\sqrt {\frac{1-cos150^{\circ}}{2}};$

$AC=2\sqrt {2+\sqrt3};$

Тогда

$2\sqrt {2+\sqrt3}=\sqrt2(x+\sqrt3);$

$4(2+\sqrt3)=2(x+\sqrt3)^2;$

$4+2\sqrt3=(x+\sqrt3)^2;$

$(1+\sqrt3)^2=(x+\sqrt3)^2.$

Откуда $x=1.$

Ответ: б) $1.$