В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Здесь смотрим разбор части В, части С (С1(№15), С2(№16), С3(№17))
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB
в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
Решение:
a) – биссектриса угла
. Пусть
как накрест лежащие углы при параллельных прямых
,
и секущей
.
как вертикальные.
как накрест лежащие при параллельных прямых
и
и секущей
.
Итак, имеем треугольник – равнобедренный (с углами
при основании).
Далее, треугольник – равнобедренный (по свойству отрезков касательных) с углом
(так как
и
– смежные углы параллелограмма).
Значит, в треугольнике
Итак, . А так как эти углы соответственные при прямых
и
и секущей
, то прямые
и
параллельны по признаку параллельности прямых.
б) Заметим, так как и
параллельны, то треугольники
и
подобны по первому признаку.
Пусть . Тогда
.
По свойству отрезков касательных ,
(
– точка касания окружности, вписанной в треугольник
со стороной
).
Так как треугольник – равнобедренный (доказано выше) и
, то
.
По свойству отрезков касательных .
Итак, .
Составим пропорцию (исходя из подобия треугольников и
):
Имеем: треугольник – равносторонний, то есть
.
Ответ: 60˚.
Добавить комментарий