С4 (№18) из тренировочной работы 1 от 14 ноября 2013 г

Елена Репина 2013-11-18 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Здесь смотрим разбор части В, части С (С1(№15), С2(№16), С3(№17))

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB
в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.

Решение:

oih,

a) $DE$ – биссектриса угла $D$ . Пусть $\angle CDE=\angle ADE=\alpha.$

$\angle CPD=\anglq CDP=\alpha$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ , $AD$ и секущей $DP$ .

$\angle EPB=\angle CPD=\alpha$ как вертикальные.

$\angle AEP=\angle CDP=\alpha$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $DE$ .

пми

Итак, имеем треугольник $AED$ – равнобедренный (с углами $\alpha$ при основании).

Далее, треугольник $AKT$ – равнобедренный (по свойству отрезков касательных) с углом $A=180^{\circ}-2\alpha$ (так как $\angle A$ и $\angle D=2\alpha$ – смежные углы параллелограмма).

Значит, в треугольнике $AKT$ $\angle K=\angle T=\alpha.$

Итак, $\angle T=\angle ADE=\alpha$ . А так как эти углы соответственные при прямых $KT$ и $DE$ и секущей $AD$ , то прямые $KT$ и $DE$ параллельны по признаку параллельности прямых.