С4 (№18) из тренировочной работы 1 от 14 ноября 2013 г

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Здесь смотрим разбор части В, части С (С1(№15), С2(№16), С3(№17))

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB
в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.

Решение:

a) DE – биссектриса угла D. Пусть \angle CDE=\angle ADE=\alpha.

\angle CPD=\anglq CDP=\alpha как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, AD и секущей  DP.

\angle EPB=\angle CPD=\alpha как вертикальные.

\angle AEP=\angle CDP=\alpha как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей DE.

 

Итак, имеем  треугольник AED – равнобедренный (с углами \alpha при основании).

Далее, треугольник AKT – равнобедренный (по свойству отрезков касательных) с углом A=180^{\circ}-2\alpha (так как \angle A и \angle D=2\alpha – смежные углы параллелограмма).

Значит, в треугольнике AKT \angle K=\angle T=\alpha.

Итак, \angle T=\angle ADE=\alpha. А так как эти углы соответственные при прямых KT и DE и секущей  AD, то прямые  KT и DE параллельны по признаку параллельности прямых.

б) Заметим, так как  KT и DE параллельны, то  треугольники AKT  и AED подобны по первому признаку.

Пусть AT=x. Тогда DT=6-x.

По свойству отрезков касательных AK=AT=x, TD=MD=6-x (M – точка касания окружности, вписанной в треугольник AEC со стороной ED).

Так  как  треугольник AED – равнобедренный (доказано выше) и AK=x, то KE=6-x.

По свойству отрезков касательных KE=EM=6-x.

Итак, ED=12-2x.

 

Составим пропорцию (исходя из подобия треугольников AKT  и AED):

\frac{KT}{ED}=\frac{AT}{AD};

\frac{3}{12-2x}=\frac{x}{6};

18=12x-2x^2;

x^2-6x+9=0;

x=3;

Имеем: треугольник AKT – равносторонний, то есть \angle A=60^{\circ}.

Ответ: 60˚.

 

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif