С4 (№18) нового образца

С4 из Тренировочной работы №63 А. Ларина. (Также смотрите С1(№15), С2(№16), С5(№20)).

В треугольнике $ABC$ основание $BC=9,5$ , площадь треугольника  равна $28,5$. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.

а) Докажите,что $AC+AB=3BC$.
б) Найдите меньшую из боковых сторон.

Решение:

a) По свойству средней линии треугольника $MN=\frac{BC}{2}.$

По свойству четырехугольника, в который вписана окружность, $MN+BC=BM+NC.$

Тогда $AC+AB=2(BM+NC)=2(MN+BC)=2(\frac{BC}{2}+BC)=3BC.$

б)  Используя формулу Герона $S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$ (где $p=\frac{AC+BC+AB}{2}=2BC=19$ – полупериметр треугольника $ABC$), получаем:

$28,5^2=19(19-9,5)(19-AC)(19-AB);$

А так как $AB=3BC-AC=3\cdot 9,5-AC$

$(3\cdot 9,5)^2=2\cdot 9,5^2(19-AC)(AC-9,5);$

$9=(19-AC)(2AC-19);$

$2AC^2-57AC^2+370=0;$

$AC=10$ или $AC=18,5.$

Итак, меньшая из боковых сторон равна 10.

Ответ: 10.

Полезно порешать

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, площадь которого равна $36$, касается средней линии, параллельной стороне $BC$. Известно, что $BC=9$.

а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен восьми длинам средней линии, параллельной $BC$.

б) Найдите большую из боковых сторон треугольника.

Ответ: + показать