С4 (№18) Тренировочной работы от 28 января 2014 г.

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также часть В Тренировочной работы от 28 января, а также С1(№15), С2(№16), С3(№17).

Две окружности пересекаются в точках и . Прямая, проходящая через точку , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке . Прямая, проходящая через точку параллельно , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке .

а) Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

б) Найдите отношение , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Решение:

a) Для доказательства того, что – параллелограмм, достаточно доказать, что (ведь по условию ).  Докажем это.

Трапеции и – равнобедренные, так как каждая из них вписана в окружность. Действительно, + показать

Тогда, очевидно,  , , и (см. обозначения углов на рисунке).

Замечаем, что . Но тогда  

Но ведь и –это внутренние односторонние углы при прямых , и секущей . Раз они равны, то по признаку параллельности прямых .

Итак, учитывая из условия параллельность прямых и , имеем  – – параллелограмм.

б) Докажем, что треугольники и (где – центры окружностей) подобны.

Действительно,

(*)

так как  – это центральный угол, опирающийся на дугу, которую дуга , градусная мера которой вдвое больше градусной меры ,  дополняет до ).

При этом

(**)

как соответствующий центральный угол вписанного угла , равного .

А поскольку, по доказанному в п. а, , то перепишем (**) так:

(***)

Сравнивая (*) и (***), видим, что

Этого достаточно для подобия треугольников  и , так как они оба равнобедренные.

Но тогда, так как по условию (где – радиусы окружностей) а боковые стороны этих треугольников и есть соответственно и , то коэффициент подобия треугольников – 2.

Стало быть, и отношение соответствующих сторон подобных треугольников    есть 2.

Ответ: 2.