С4 (№18) Тренировочной работы от 28 января 2014 г.

2023-07-24

Смотрите также часть В Тренировочной работы от 28 января, а также С1(№15), С2(№16), С3(№17)

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Прямая, проходящая через точку $P$, второй раз пересекает первую окружность в точке $A$ , а вторую – в точке $D$. Прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно $AD$, второй раз пересекает первую окружность в точке $B$, а вторую – в точке $C$ .

а) Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

б) Найдите отношение $BP:PC$, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Решение:

a) Для доказательства того, что $ABCD$ – параллелограмм, достаточно доказать, что $AB\parallel CD$ (ведь по условию $AD\parallel BC$).  Докажем это.

6е

Трапеции $ABQP$ и $QPDC$ – равнобедренные, так как каждая из них вписана в окружность. Действительно, + показать

Тогда, очевидно,  $\angle 1=\angle 2$, $\angle 3=\angle 4$, $\angle 5=\angle 6$ и $\angle 7=\angle 8$ (см. обозначения углов на рисунке).87нр

Замечаем, что $(\angle 2+\angle 6)+(\angle 8+\angle 3)=180^{\circ}$ . Но тогда  $(\angle 1+\angle 5)+(\angle 7+\angle 4)=180^{\circ}.$

Но ведь $\angle B=\angle 1+\angle 5$ и $\angle C=\angle 7+\angle 4$ –это внутренние односторонние углы при прямых $AB$, $CD$ и секущей $BC$. Раз они равны, то по признаку параллельности прямых $AB\parallel CD$.

Итак, учитывая из условия параллельность прямых $AD$ и $BC$ , имеем  – $ABCD$ – параллелограмм.

б) Докажем, что треугольники $BO_1P$ и $CO_2P$ (где $O_1,\;O_2$ – центры окружностей) подобны.

79п

Действительно,

$\angle BO_1P=360^{\circ}-2(\angle 2+\angle 6),$ (*)

так как $\angle BO_1P$ – это центральный угол, опирающийся на дугу, которую дуга $BAP$, градусная мера которой вдвое больше градусной меры $\angle 2+\angle 6$,  дополняет до $360^{\circ}$).

При этом

$\angle PO_2C=2(\angle 8+\angle 3)$ (**)

как соответствующий центральный угол вписанного угла $PQC$, равного $\angle 8+\angle 3$.

А поскольку, по доказанному в п. а, $\angle 8+\angle 3+\angle 2 +\angle 6=180^{\circ}$, то перепишем (**) так:

$\angle PO_2C=2(\angle 8+\angle 3)=360^{\circ}-2(\angle 2 +\angle 6)$ (***)

Сравнивая (*) и (***), видим, что $\angle BO_1P=\angle PO_2C.$

Этого достаточно для подобия треугольников $BO_1P$ и $CO_2P$, так как они оба равнобедренные.

Но тогда, так как по условию $R:r=2:1$ (где $R,\;r$ – радиусы окружностей) а боковые стороны этих треугольников и есть соответственно $R$ и $r$, то коэффициент подобия треугольников – 2.

Стало быть, и отношение соответствующих сторон подобных треугольников  $BP:PC$  есть 2.

Ответ: 2.

Печать страницы
комментариев 8
  1. Татьяна Бондаренко

    Отношение можно найти проще, если применить теорему синусов к треугольникам ABP и CDP: BP/sinB=2R, BC/sinD=2r, sinD=sinB , отсюда BP:PC=R:r=2.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, чуть-чуть быстрее :)
      А вообще, это расписывать все долго пришлось, а в принципе, конечно, подобие треугольников, о которых я говорила, очевидно.
      Спасибо! ;)

      [ Ответить ]
      • Марина

        Всегда ли подобны 2 равнобед треуг-и?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Два равнобедренных треугольника не обязаны быть подобными. Если есть у них две пары равных углов, то подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

          [ Ответить ]
  2. Максим

    а если бы не было известно, что AD параллельна BC, как тогда строилось бы доказательство?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если бы, да кабы… Была бы другая задача… ;)

      [ Ответить ]
  3. Димка

    В решении ошибка. В формуле (***) должен быть не угол PQC, а угол PO2C.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Димка, спасибо за замётанную опечатку – буквы [latexpage]$Q$ и $O_2$ так похожи… https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




восемнадцать − 5 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif