С4 (№18) Тренировочной работы от 28 января 2014 г.

Смотрите также часть В Тренировочной работы от 28 января, а также С1(№15), С2(№16), С3(№17)

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Прямая, проходящая через точку $P$, второй раз пересекает первую окружность в точке $A$ , а вторую – в точке $D$. Прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно $AD$, второй раз пересекает первую окружность в точке $B$, а вторую – в точке $C$ .

а) Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

б) Найдите отношение $BP:PC$, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Решение:

a) Для доказательства того, что $ABCD$ – параллелограмм, достаточно доказать, что $AB\parallel CD$ (ведь по условию $AD\parallel BC$).  Докажем это.

Трапеции $ABQP$ и $QPDC$ – равнобедренные, так как каждая из них вписана в окружность. Действительно, + показать

Тогда, очевидно,  $\angle 1=\angle 2$, $\angle 3=\angle 4$, $\angle 5=\angle 6$ и $\angle 7=\angle 8$ (см. обозначения углов на рисунке).

Замечаем, что $(\angle 2+\angle 6)+(\angle 8+\angle 3)=180^{\circ}$ . Но тогда  $(\angle 1+\angle 5)+(\angle 7+\angle 4)=180^{\circ}.$

Но ведь $\angle B=\angle 1+\angle 5$ и $\angle C=\angle 7+\angle 4$ –это внутренние односторонние углы при прямых $AB$, $CD$ и секущей $BC$. Раз они равны, то по признаку параллельности прямых $AB\parallel CD$.

Итак, учитывая из условия параллельность прямых $AD$ и $BC$ , имеем  – $ABCD$ – параллелограмм.

б) Докажем, что треугольники $BO_1P$ и $CO_2P$ (где $O_1,\;O_2$ – центры окружностей) подобны.

Действительно,

$\angle BO_1P=360^{\circ}-2(\angle 2+\angle 6),$ (*)

так как $\angle BO_1P$ – это центральный угол, опирающийся на дугу, которую дуга $BAP$, градусная мера которой вдвое больше градусной меры $\angle 2+\angle 6$,  дополняет до $360^{\circ}$).

При этом

$\angle PO_2C=2(\angle 8+\angle 3)$ (**)

как соответствующий центральный угол вписанного угла $PQC$, равного $\angle 8+\angle 3$.

А поскольку, по доказанному в п. а, $\angle 8+\angle 3+\angle 2 +\angle 6=180^{\circ}$, то перепишем (**) так:

$\angle PO_2C=2(\angle 8+\angle 3)=360^{\circ}-2(\angle 2 +\angle 6)$ (***)

Сравнивая (*) и (***), видим, что $\angle BO_1P=\angle PO_2C.$

Этого достаточно для подобия треугольников $BO_1P$ и $CO_2P$, так как они оба равнобедренные.

Но тогда, так как по условию $R:r=2:1$ (где $R,\;r$ – радиусы окружностей) а боковые стороны этих треугольников и есть соответственно $R$ и $r$, то коэффициент подобия треугольников – 2.

Стало быть, и отношение соответствующих сторон подобных треугольников  $BP:PC$  есть 2.

Ответ: 2.