С4 (№18) Тренировочной работы от 28 января 2014 г.

2016-08-18

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также часть В Тренировочной работы от 28 января, а также С1(№15), С2(№16), С3(№17).

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A , а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C .

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

б) Найдите отношение BP:PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Решение:

a) Для доказательства того, что ABCD – параллелограмм, достаточно доказать, что AB\parallel CD (ведь по условию AD\parallel BC).  Докажем это.

Трапеции ABQP и QPDC – равнобедренные, так как каждая из них вписана в окружность. Действительно, + показать

Тогда, очевидно,  \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, \angle 5=\angle 6 и \angle 7=\angle 8 (см. обозначения углов на рисунке).

Замечаем, что (\angle 2+\angle 6)+(\angle 8+\angle 3)=180^{\circ} . Но тогда  (\angle 1+\angle 5)+(\angle 7+\angle 4)=180^{\circ}.

Но ведь \angle B=\angle 1+\angle 5 и \angle C=\angle 7+\angle 4 –это внутренние односторонние углы при прямых AB, CD и секущей BC. Раз они равны, то по признаку параллельности прямых AB\parallel CD.

Итак, учитывая из условия параллельность прямых AD и BC , имеем  – ABCD – параллелограмм.

б) Докажем, что треугольники BO_1P и CO_2P (где O_1,\;O_2 – центры окружностей) подобны.

Действительно,

\angle BO_1P=360^{\circ}-2(\angle 2+\angle 6), (*)

так как \angle BO_1P – это центральный угол, опирающийся на дугу, которую дуга BAP, градусная мера которой вдвое больше градусной меры \angle 2+\angle 6,  дополняет до 360^{\circ}).

При этом

\angle PO_2C=2(\angle 8+\angle 3) (**)

как соответствующий центральный угол вписанного угла PQC, равного \angle 8+\angle 3.

А поскольку, по доказанному в п. а, \angle 8+\angle 3+\angle 2 +\angle 6=180^{\circ}, то перепишем (**) так:

\angle PO_2C=2(\angle 8+\angle 3)=360^{\circ}-2(\angle 2 +\angle 6) (***)

Сравнивая (*) и (***), видим, что \angle BO_1P=\angle PO_2C.

Этого достаточно для подобия треугольников BO_1P и CO_2P, так как они оба равнобедренные.

Но тогда, так как по условию R:r=2:1 (где R,\;r – радиусы окружностей) а боковые стороны этих треугольников и есть соответственно R и r, то коэффициент подобия треугольников – 2.

Стало быть, и отношение соответствующих сторон подобных треугольников  BP:PC  есть 2.

Ответ: 2.

 

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Татьяна Бондаренко

    Отношение можно найти проще, если применить теорему синусов к треугольникам ABP и CDP: BP/sinB=2R, BC/sinD=2r, sinD=sinB , отсюда BP:PC=R:r=2.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, чуть-чуть быстрее :)
      А вообще, это расписывать все долго пришлось, а в принципе, конечно, подобие треугольников, о которых я говорила, очевидно.
      Спасибо! ;)

      [ Ответить ]
  2. Максим

    а если бы не было известно, что AD параллельна BC, как тогда строилось бы доказательство?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если бы, да кабы… Была бы другая задача… ;)

      [ Ответить ]
  3. Димка

    В решении ошибка. В формуле (***) должен быть не угол PQC, а угол PO2C.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Димка, спасибо за замётанную опечатку – буквы Q и O_2 так похожи… http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif