В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также часть В Тренировочной работы от 28 января, а также С1(№15), С2(№16), С3(№17).
Две окружности пересекаются в точках и
. Прямая, проходящая через точку
, второй раз пересекает первую окружность в точке
, а вторую – в точке
. Прямая, проходящая через точку
параллельно
, второй раз пересекает первую окружность в точке
, а вторую – в точке
.
а) Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
б) Найдите отношение , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
Решение:
a) Для доказательства того, что – параллелограмм, достаточно доказать, что
(ведь по условию
). Докажем это.
Трапеции и
– равнобедренные, так как каждая из них вписана в окружность. Действительно, + показать
Тогда, очевидно, ,
,
и
(см. обозначения углов на рисунке).
Замечаем, что . Но тогда
Но ведь и
–это внутренние односторонние углы при прямых
,
и секущей
. Раз они равны, то по признаку параллельности прямых
.
Итак, учитывая из условия параллельность прямых и
, имеем –
– параллелограмм.
б) Докажем, что треугольники и
(где
– центры окружностей) подобны.
Действительно,
(*)
так как – это центральный угол, опирающийся на дугу, которую дуга
, градусная мера которой вдвое больше градусной меры
, дополняет до
).
При этом
(**)
как соответствующий центральный угол вписанного угла , равного
.
А поскольку, по доказанному в п. а, , то перепишем (**) так:
(***)
Сравнивая (*) и (***), видим, что
Этого достаточно для подобия треугольников и
, так как они оба равнобедренные.
Но тогда, так как по условию (где
– радиусы окружностей) а боковые стороны этих треугольников и есть соответственно
и
, то коэффициент подобия треугольников – 2.
Стало быть, и отношение соответствующих сторон подобных треугольников есть 2.
Ответ: 2.
Отношение можно найти проще, если применить теорему синусов к треугольникам ABP и CDP: BP/sinB=2R, BC/sinD=2r, sinD=sinB , отсюда BP:PC=R:r=2.
Да, чуть-чуть быстрее :)
А вообще, это расписывать все долго пришлось, а в принципе, конечно, подобие треугольников, о которых я говорила, очевидно.
Спасибо! ;)
Всегда ли подобны 2 равнобед треуг-и?
Два равнобедренных треугольника не обязаны быть подобными. Если есть у них две пары равных углов, то подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
а если бы не было известно, что AD параллельна BC, как тогда строилось бы доказательство?
Если бы, да кабы… Была бы другая задача… ;)
В решении ошибка. В формуле (***) должен быть не угол PQC, а угол PO2C.
Димка, спасибо за замётанную опечатку – буквы
и
так похожи… 