Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также часть В Тренировочной работы от 28 января, а также С1(№15), С2(№16), С3(№17).
Две окружности пересекаются в точках 
и 
. Прямая, проходящая через точку , второй раз пересекает первую окружность в точке 
, а вторую – в точке 
. Прямая, проходящая через точку параллельно 
, второй раз пересекает первую окружность в точке 
, а вторую – в точке 
.
а) Докажите, что четырёхугольник 
– параллелограмм.
б) Найдите отношение 
, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
Решение:
a) Для доказательства того, что – параллелограмм, достаточно доказать, что 
(ведь по условию 
). Докажем это.
Трапеции 
и 
– равнобедренные, так как каждая из них вписана в окружность. Действительно, + показать
по свойству смежных углов трапеции. Но и 
так дуги, на которые опираются указанные углы в сумме дают 
.Тогда, очевидно, 
, 
, 
и 
(см. обозначения углов на рисунке).
Замечаем, что 
. Но тогда 
Но ведь 
и 
–это внутренние односторонние углы при прямых 
, 
и секущей 
. Раз они равны, то по признаку параллельности прямых .
Итак, учитывая из условия параллельность прямых и , имеем – – параллелограмм.
б) Докажем, что треугольники 
и 
(где 
– центры окружностей) подобны.
Действительно,
(*)
так как 
– это центральный угол, опирающийся на дугу, которую дуга 
, градусная мера которой вдвое больше градусной меры 
, дополняет до 
).
При этом
(**)
как соответствующий центральный угол вписанного угла 
, равного 
.
А поскольку, по доказанному в п. а, 
, то перепишем (**) так:
(***)
Сравнивая (*) и (***), видим, что 
Этого достаточно для подобия треугольников и , так как они оба равнобедренные.
Но тогда, так как по условию 
(где 
– радиусы окружностей) а боковые стороны этих треугольников и есть соответственно 
и 
, то коэффициент подобия треугольников – 2.
Стало быть, и отношение соответствующих сторон подобных треугольников есть 2.
Ответ: 2.
Отношение можно найти проще, если применить теорему синусов к треугольникам ABP и CDP: BP/sinB=2R, BC/sinD=2r, sinD=sinB , отсюда BP:PC=R:r=2.
Да, чуть-чуть быстрее 🙂
А вообще, это расписывать все долго пришлось, а в принципе, конечно, подобие треугольников, о которых я говорила, очевидно.
Спасибо! 😉
Всегда ли подобны 2 равнобед треуг-и?
Два равнобедренных треугольника не обязаны быть подобными. Если есть у них две пары равных углов, то подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
а если бы не было известно, что AD параллельна BC, как тогда строилось бы доказательство?
Если бы, да кабы… Была бы другая задача… 😉
В решении ошибка. В формуле (***) должен быть не угол PQC, а угол PO2C.
Димка, спасибо за замётанную опечатку – буквы
и 
так похожи… 