Смотрите также часть В, С1(№15), С2(№16), С3(№17), С4(№18) диагностической работы.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$|x-a^2+a+2|+|x-a^2+3a-1|=2a-3$
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$
Решение:
Заметим, что $x-a^2+3a-1-(x-a^2+a+2)=2a-3$.
Стало быть,
$\begin{cases}x-a^2+a+2\leq 0,\\x-a^2+3a-1\geq 0;&\end{cases}$
Введем координатную плоскость $(aox)$.
Изобразим в ней множества точек, отвечающих каждому неравенству.
$x=a^2-a-2$ – парабола с вершиной $(\frac{1}{2};-2\frac{1}{4})$, ветви вверх.
Пересечение с осью $(oa)$: $(-1;0),\;(2;0).$
Пересечение с осью $(ox)$: $(0;-2).$
$x\leq a^2-a-2$ – множество точек “под параболой” (включая саму параболу) $x=a^2-a-2$.
$x=a^2-3a+1$– парабола с вершиной $(\frac{3}{2};-\frac{5}{4})$, ветви вверх.
Пересечение с осью $(ox)$: $(0;1).$
Пересечение с параболой $x=a^2-a-2$: при $a=\frac{3}{2}.$
$x\geq a^2-3a+1$ – множество точек “над параболой” (включая саму параболу) $x=a^2-3a+1$.
Мы видим, что система
$\begin{cases}x-a^2+a+2\leq 0,\\x-a^2+3a-1\geq 0;&\end{cases}$
имеет решение при $a\in [1,5;+\infty).$
Изобразим также множество точек $4<x<19:$
Мы практически готовы ответить на вопрос задачи.
Найдем абсциссу точки A:
$a^2-a-2=4;$
$a^2-a-6=0;$
$a=\frac{1\pm 5}{2};$
$a=3$ или $a=-2$ (значение нас не интересует, так как $a\geq 1,5$);
Найдем абсциссу точки В:
$a^2-3a+1=19;$
$a^2-3a-18=0;$
$a=\frac{3\pm 9}{2};$
$a=6$ или $a=-3$ (значение нас не интересует, так как $a\geq 1,5$);
Итак, при $a\in [1,5;3]\cup[6;+\infty)$ имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$
Ответ: $[1,5;3]\cup[6;+\infty).$
Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:
Здравствуйте. Помогите решить, пожалуйста.
В системе:
x^2-(3a-2)x+a^2>=3a-5
x^2-(3a-1)x+2a^2<=3a+2
Имеет хотя бы одно решение.
[latexpage].
Неравенство $x^2-(3a-1)x+2a^2-3a-2\leq 0$ равносильно следующему
$(x-(2a-2))(x-(a+1))\leq 0$ (через дискриминант найдены корни соответствующего квадратного трехчлена относительно $x$).
Также следует поступить и с первым неравенством… (пересмотрите первое неравенство – там дискриминант плохой – скорее всего переписали что-то не так).
Далее можно выйти на координатную плоскость $(x;a)$.
Начните…
Спасибо большое!