С5 (№20) диагностической работы от 12 декабря 2013 года

2023-07-24

Смотрите также часть В, С1(№15), С2(№16), С3(№17), С4(№18) диагностической работы.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$|x-a^2+a+2|+|x-a^2+3a-1|=2a-3$

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$

Решение:

Заметим, что $x-a^2+3a-1-(x-a^2+a+2)=2a-3$.

Стало быть,

$\begin{cases}x-a^2+a+2\leq 0,\\x-a^2+3a-1\geq 0;&\end{cases}$

Введем координатную плоскость $(aox)$.

Изобразим в ней множества точек, отвечающих каждому неравенству.

$x=a^2-a-2$ – парабола с вершиной $(\frac{1}{2};-2\frac{1}{4})$, ветви вверх.

Пересечение с осью $(oa)$: $(-1;0),\;(2;0).$

Пересечение с осью $(ox)$: $(0;-2).$

$x\leq a^2-a-2$ – множество точек “под параболой” (включая саму параболу) $x=a^2-a-2$.

j

$x=a^2-3a+1$– парабола с вершиной $(\frac{3}{2};-\frac{5}{4})$, ветви вверх.

Пересечение с осью $(ox)$: $(0;1).$

Пересечение с параболой  $x=a^2-a-2$: при $a=\frac{3}{2}.$

$x\geq a^2-3a+1$ – множество точек “над параболой” (включая саму параболу) $x=a^2-3a+1$.

нпр

Мы видим, что система

$\begin{cases}x-a^2+a+2\leq 0,\\x-a^2+3a-1\geq 0;&\end{cases}$

имеет решение  при $a\in [1,5;+\infty).$

Изобразим также множество   точек $4<x<19:$

76tfg

Мы практически готовы ответить на вопрос задачи.

fghl

Найдем абсциссу точки A:

$a^2-a-2=4;$

$a^2-a-6=0;$

$a=\frac{1\pm 5}{2};$

$a=3$ или  $a=-2$ (значение нас не интересует, так как $a\geq 1,5$);

Найдем абсциссу точки В:

$a^2-3a+1=19;$

$a^2-3a-18=0;$

$a=\frac{3\pm 9}{2};$

$a=6$  или $a=-3$ (значение нас не интересует, так как $a\geq 1,5$);

Итак, при  $a\in [1,5;3]\cup[6;+\infty)$ имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$

Ответ: $[1,5;3]\cup[6;+\infty).$

Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:

+ показать

Печать страницы
комментария 3
  1. Анастасия

    Здравствуйте. Помогите решить, пожалуйста.
    В системе:
    x^2-(3a-2)x+a^2>=3a-5
    x^2-(3a-1)x+2a^2<=3a+2
    Имеет хотя бы одно решение.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage].
      Неравенство $x^2-(3a-1)x+2a^2-3a-2\leq 0$ равносильно следующему
      $(x-(2a-2))(x-(a+1))\leq 0$ (через дискриминант найдены корни соответствующего квадратного трехчлена относительно $x$).
      Также следует поступить и с первым неравенством… (пересмотрите первое неравенство – там дискриминант плохой – скорее всего переписали что-то не так).
      Далее можно выйти на координатную плоскость $(x;a)$.
      Начните…

      [ Ответить ]
      • Анастасия

        Спасибо большое!

        [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




семь + шесть =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif