С5 (№20) диагностической работы от 12 декабря 2013 года

Смотрите также часть В, С1(№15), С2(№16), С3(№17), С4(№18) диагностической работы.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$|x-a^2+a+2|+|x-a^2+3a-1|=2a-3$

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$

Решение:

Заметим, что $x-a^2+3a-1-(x-a^2+a+2)=2a-3$.

Стало быть,

$\begin{cases}x-a^2+a+2\leq 0,\\x-a^2+3a-1\geq 0;&\end{cases}$

Введем координатную плоскость $(aox)$.

Изобразим в ней множества точек, отвечающих каждому неравенству.

$x=a^2-a-2$ – парабола с вершиной $(\frac{1}{2};-2\frac{1}{4})$, ветви вверх.

Пересечение с осью $(oa)$: $(-1;0),\;(2;0).$

Пересечение с осью $(ox)$: $(0;-2).$

$x\leq a^2-a-2$ – множество точек “под параболой” (включая саму параболу) $x=a^2-a-2$.

$x=a^2-3a+1$– парабола с вершиной $(\frac{3}{2};-\frac{5}{4})$, ветви вверх.

Пересечение с осью $(ox)$: $(0;1).$

Пересечение с параболой  $x=a^2-a-2$: при $a=\frac{3}{2}.$

$x\geq a^2-3a+1$ – множество точек “над параболой” (включая саму параболу) $x=a^2-3a+1$.

Мы видим, что система

$\begin{cases}x-a^2+a+2\leq 0,\\x-a^2+3a-1\geq 0;&\end{cases}$

имеет решение  при $a\in [1,5;+\infty).$

Изобразим также множество   точек $4<x<19:$

Мы практически готовы ответить на вопрос задачи.

Найдем абсциссу точки A:

$a^2-a-2=4;$

$a^2-a-6=0;$

$a=\frac{1\pm 5}{2};$

$a=3$ или  $a=-2$ (значение нас не интересует, так как $a\geq 1,5$);

Найдем абсциссу точки В:

$a^2-3a+1=19;$

$a^2-3a-18=0;$

$a=\frac{3\pm 9}{2};$

$a=6$  или $a=-3$ (значение нас не интересует, так как $a\geq 1,5$);

Итак, при  $a\in [1,5;3]\cup[6;+\infty)$ имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу $(4;19).$

Ответ: $[1,5;3]\cup[6;+\infty).$

Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:

+ показать