С5 (№20) диагностической работы от 12 декабря 2013 года

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также часть В, С1(№15), С2(№16), С3(№17), С4(№18) диагностической работы.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

|x-a^2+a+2|+|x-a^2+3a-1|=2a-3

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4;19).

Решение:

Заметим, что x-a^2+3a-1-(x-a^2+a+2)=2a-3.

Стало быть,

\begin{cases} x-a^2+a+2\leq 0,& &x-a^2+3a-1\geq 0;& \end{cases}

Введем координатную плоскость (aox).

Изобразим в ней множества точек, отвечающих каждому неравенству.

x=a^2-a-2 – парабола с вершиной (\frac{1}{2};-2\frac{1}{4}), ветви вверх.

Пересечение с осью (oa): (-1;0),\;(2;0).

Пересечение с осью (ox): (0;-2).

x\leq a^2-a-2 – множество точек “под параболой” (включая саму параболу) x=a^2-a-2.

x=a^2-3a+1– парабола с вершиной (\frac{3}{2};-\frac{5}{4}), ветви вверх.

Пересечение с осью (ox): (0;1).

Пересечение с параболой  x=a^2-a-2: при a=\frac{3}{2}.

x\geq a^2-3a+1 – множество точек “над параболой” (включая саму параболу) x=a^2-3a+1.

Мы видим, что система

\begin{cases} x-a^2+a+2\leq 0,& &x-a^2+3a-1\geq 0;& \end{cases}

имеет решение  при a\in [1,5;+\infty).

Изобразим также множество   точек 4<x<19:

Мы практически готовы ответить на вопрос задачи.

Найдем абсциссу точки A:

a^2-a-2=4;

a^2-a-6=0;

a=\frac{1\pm 5}{2};

a=3 или  a=-2 (значение нас не интересует, так как a\geq 1,5);

Найдем абсциссу точки В:

a^2-3a+1=19;

a^2-3a-18=0;

a=\frac{3\pm 9}{2};

a=6  или a=-3 (значение нас не интересует, так как a\geq 1,5);

Итак, при  a\in [1,5;3]\cup[6;+\infty) имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4;19).

Ответ: [1,5;3]\cup[6;+\infty).

Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:

+ показать

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Анастасия

    Здравствуйте. Помогите решить, пожалуйста.
    В системе:
    x^2-(3a-2)x+a^2>=3a-5
    x^2-(3a-1)x+2a^2<=3a+2
    Имеет хотя бы одно решение.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      .
      Неравенство x^2-(3a-1)x+2a^2-3a-2\leq 0 равносильно следующему
      (x-(2a-2))(x-(a+1))\leq 0 (через дискриминант найдены корни соответствующего квадратного трехчлена относительно x).
      Также следует поступить и с первым неравенством… (пересмотрите первое неравенство – там дискриминант плохой – скорее всего переписали что-то не так).
      Далее можно выйти на координатную плоскость (x;a).
      Начните…

      [ Ответить ]
      • Анастасия

        Спасибо большое!

        [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif