С7 (№19). Досрочный ЕГЭ по математике от 31 марта 2017

a) Да, на доске может быть  чисел. Например,

б) Нет, на доске не может быть чисел.

Пойдем от противного. Допустим, на доске может быть чисел указанного вида.

Упорядочим числа ряда в порядке возрастания. Пусть .

Очевидно,   иначе  

Также иначе

Итак, что для различных натуральных чисел невозможно.

в) Нас интересует максимально возможная сумма оговоренного выше ряда четырех чисел. Понятно, что каждое из -х слагаемых должно принимать наибольшее значение из всех возможных вариантов. 

Как мы уже замечали, предпоследнее число в ряду не может быт больше так как в этом случае произведение двух последних чисел ряда превысит . Пусть предпоследнее число в ряду – это Тогда на роль последнего вполне можно взять .

Ничто не мешает нам взять на роль первого, второго чисел ряда числа   и

Итак, “выгодным” вариантом оказывается среди прочих вариант

Сумма ряда чисел в таком случае равна