С7 (№19). Досрочный ЕГЭ по математике от 31 марта 2017

Смотрите также 1-12; №13; №14; №15; №16; №17; №18 профильного Досрочного ЕГЭ по математике от 31.03.17

19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $40$ и меньше $100$.

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?
б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Решение:

a) Да, на доске может быть $5$ чисел. Например, $6;7;8;9;10.$

б) Нет, на доске не может быть $6$ чисел.

Пойдем от противного. Допустим, на доске может быть $6$ чисел указанного вида.

Упорядочим числа ряда в порядке возрастания. Пусть $n_1<n_2<n_3<n_4<n_5<n_6$.

Очевидно,  $n_2\geq 7,$ иначе  $n_1\cdot n_2\leq 30.$

Также $n_5\leq 9,$ иначе $n_5\cdot n_6\geq 110.$

Итак, $7\leq n_2<n_3<n_4<n_5\leq 9,$ что для различных натуральных чисел $n_2, n_3,n_4,n_5$ невозможно.

в) Нас интересует максимально возможная сумма оговоренного выше ряда четырех чисел. Понятно, что каждое из $4$-х слагаемых должно принимать наибольшее значение из всех возможных вариантов. 

Как мы уже замечали, предпоследнее число в ряду не может быт больше $9,$ так как в этом случае произведение двух последних чисел ряда превысит $100$. Пусть предпоследнее число в ряду – это $9.$ Тогда на роль последнего вполне можно взять $11$.

Ничто не мешает нам взять на роль первого, второго чисел ряда числа  $7$ и $8.$

Итак, “выгодным” вариантом оказывается среди прочих вариант $7;8;9;11.$

Сумма ряда чисел в таком случае равна $35.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $35.$