Подготовка к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 2023, резерв

Вклад в размере 10 млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на 10 %. Кроме того в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн руб., где  x  — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн руб.

Решение:

К концу первого года на счету будет

$1,1\cdot 10$ млн. рублей.

К концу второго года на счету будет

$1,1^2\cdot 10$ млн. рублей.

В начале третьего года на счету будет

$1,1^2\cdot 10+x$ млн. рублей.

К концу третьего года на счету будет

$1,1^3\cdot 10+1,1\cdot x$ млн. рублей.

В начале четвертого года на счету будет

$1,1^3\cdot 10+1,1\cdot x+x$ млн. рублей.

К концу четвертого года на счету будет

$1,1^4\cdot 10+1,1^2\cdot x+1,1x$ млн. рублей.

В итоге за все время банк начислит

$1,1^4\cdot 10+1,1^2\cdot x+1,1x-10-2x$ млн. рублей.

Найдем наименьшее целое $x,$ учитывая что на вклад начислено больше 7 млн. рублей:

$1,1^4\cdot 10+1,1^2\cdot x+1,1x-10-2x>7;$

$x(1,1^2+1,1-2)>17-1,1^4\cdot 10;$

$x>\frac{17-1,1^4\cdot 10}{0,31};$

$x>\frac{2,359}{0,31};$

$x>\frac{2359}{310};$

$x>7\frac{189}{310}.$

Наименьшее целое значение $x,$ отвечающее неравенству, это $8$ (млн. рублей).

Ответ: $8.$

ЕГЭ 2023

В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей?

Решение:

ЕГЭ 2023

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите  r, если общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тыс. руб.

Решение:

ЕГЭ 2023
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 1300 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

— в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 2580 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года?

Решение:

ЕГЭ 2023  

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите платёж в 2026 году, если общая сумма выплат по кредиту составила 2120 тыс. рублей.

Решение:

Ответ: 300 тысяч рублей.

ЕГЭ 2022

Точка O  — точка пересечения диагоналей грани CDD₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость DA₁C₁ пересекает диагональ BD₁ в точке F.

а)  Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO.$ 

б)  Точки M и N  — середины ребер AB и AA₁, соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA₁C₁.

Решение:

Ответ: $arcsin \sqrt{\frac{2}{3}}$ или $arctg\sqrt2.$

Грани ABD и  ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 10 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD отмечены точки  K, L и M соответственно, причём BK  =  2, AL  =  4,  MD  =  3.

а)  Докажите, что плоскость  KLM перпендикулярна ребру CD.

б)  Найдите длину отрезка пересечения грани ABC и плоскости  KLM.

Решение:

ЕГЭ 2023, резерв

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Плоскость α пересекает ребра SA, SB, SC и SD в точках L, K, N и M соответственно, причем SK : KB  =  3 : 1, а точки L и M  — середины ребер SA и SD.

а)  Докажите, что четырехугольник KLMN является трапецией, длины оснований которой относятся как 2 : 3.

б)  Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями ABC и α равен 30°, площадь сечения пирамиды плоскостью α равна $10\sqrt2,$ а площадь основания пирамиды равна 32.

Решение:

ЕГЭ 2023

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка M является серединой ребра BB₁, а точка N  — середина ребра A₁C₁. Плоскость α, параллельная прямым AM и B₁N, проходит через середину отрезка B₁M.

a)  Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B₁C₁.

б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α , если все ребра этой призмы равны 4.

Ответ: $\frac{7\sqrt6}{2}.$

ЕГЭ 2023

Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1,$  и $BC$ отмечены точки $M,K$ и $N$ соответственно, причем $B_1K:KC_1=1:2,$  а $AMKN$  — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3.$

a)  Докажите, что $N$  — середина $BC.$

б)  Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $12,$ а ее высота равна $2.$

Решение:

ЕГЭ 2023

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=5, BC=3.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=2:3,$ а точка $K$  — середина ребра $DD_1.$

а)  Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ},\angle ADC=60^{\circ}.$

Решение:

Ответ: $\frac{12\sqrt{21}}{5}.$

ЕГЭ 2023

Дана прямая призма ABCA₁B₁C₁.  ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B₁C₁. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и $cos ABC=\frac{3}{5}.$ 

Решение:

Задание 13 ЕГЭ 2023

Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10.$ Известно, что $SA=SC=10\sqrt2,SB=20$ и $AC=10.$

а)  Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $ABCD.$

б)  Найдите расстояние между прямыми $AC$  и $SB.$

Решение: