2023-08-20

ЕГЭ 2023, резерв

Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите длину отрезка $DE,$ если сторона квадрата равна $18.$

Решение:

2023-08-20

ЕГЭ 2023, резерв

К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:3$?


Решение:

2023-08-20

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков $BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=5, AB=12,AC=13.$ 

Решение:

2023-08-20

ЕГЭ 2023, резерв

В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=4, AC=5, BC=\sqrt{61}.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$


Решение:

Ответ: $\frac{\sqrt{427}}{9}.$

2023-08-20

ЕГЭ 2023

Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =7:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны.

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $4\sqrt{55}.$

Решение:

2023-08-19

ЕГЭ 2023, резерв

 а) Решите уравнение:

$log_3x\cdot log_3(4x^2-1)=log_3\frac{x(4x^2-1)}{3}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_52;log_527].$


Решение:

а)

$log_3x\cdot log_3(4x^2-1)=log_3\frac{x(4x^2-1)}{3};$

$log_3x\cdot log_3(4x^2-1)=log_3x+log_3(4x^2-1)-log_33;$

$log_3x(log_3(4x^2-1)-1)-(log_3(4x^2-1)-1)=0;$

$(log_3(4x^2-1)-1)(log_3x-1)=0;$

$(log_3(4x^2-1)-log_33)(log_3x-log_33)=0;$

$(4x^2-1-3)(x-3)=0$ при условии $x>0,5;$

$x=1$ или $x=3.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[log_52;log_527]:$

$log_52<log_55=1<log_527,$ значит $1$ принадлежит отрезку $[log_52;log_527].$

$3=log_5125>log_527,$ значит $3$ не принадлежит отрезку $[log_52;log_527].$

2023-08-19

ЕГЭ 2023, резерв

а) Решите уравнение:

$sin2x+\sqrt2sinx=2sin(\frac{\pi}{2}-x)+\sqrt2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{5 \pi }{2}]$.


Решение:

$sin2x+\sqrt2sinx=2sin(\frac{\pi}{2}-x)+\sqrt2;$

$2sinxcosx+\sqrt2sinx=2cosx+\sqrt2;$

$2cosx(sinx-1)+\sqrt2(sinx-1)=0;$

$(sinx-1)(2cosx+\sqrt2)=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}sinx=1,\\cosx=-\frac{\sqrt2}{2};\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z;\end{array}\right.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{5 \pi }{2}]:$

$x=\frac{5\pi}{4},x=\frac{5\pi}{2}$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2}+2\pi n,  \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$; б) $\frac{5\pi}{4};\frac{5\pi}{2}.$

2023-08-19

ЕГЭ 2023, резерв
Решите неравенство:

$\large 4^{6x-x^2-4}-34\cdot3^{6x-x^2-3}+64\geq 0$


Решение:

2023-08-19

Реальный ЕГЭ 2023
Решите неравенство:

$\frac{log_3(3-x)-log_3(x+2)}{log_3^2(x^2)+log_3(x^4)+1}\geq 0$


Решение:

2023-08-19

Реальный ЕГЭ 2023
Решите неравенство:

$log^2_3(x-4)-log^2_3(x-6)\leq 0$


2023-08-19

Решите неравенство:

$log_{27} (x^3-9x^2+27x-27)\geq log_3(x^2-9)-4$


2023-08-19

Реальный ЕГЭ 2023

Решите неравенство:

$log_{4} ((x-5)(x^2-2x-15))+1\geq 0,5log_2(x-5)^2$


Решение:

2023-08-19

Реальный ЕГЭ 2023

Решите неравенство:

$(log^2_{0,2} (x-5)-log_5(x^2-10x+25)+1)\cdot log_5(x-7)\leq 0$


Решение:

Задание 17 ЕГЭ 2023, досрок

2023-08-16

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x-a}\cdot sin x=\sqrt{x-a}\cdot cos x$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\pi]. $

Решение:

$\sqrt{x-a}\cdot sin x=\sqrt{x-a}\cdot cos x;$

$\sqrt{x-a}\cdot (sin x- cos x)=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}x=a,\\\begin{cases}sinx=cosx,\\x-a\geq 0;\end{cases};\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x=a,\\\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z,\\x-a\geq 0;\end{cases};\end{array}\right.$

С учетом условия $x\in [0;\pi]$ имеем:

$\left[\begin{array}{rcl}a=x,\\\begin{cases}x=\frac{\pi}{4},\\a\leq x;\end{cases};\end{array}\right.$

Становится видно, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;\pi]$ при $a\in (-\infty;0)\cup [\frac{\pi}{4};\pi].$


Ответ: $(-\infty;0)\cup [\frac{\pi}{4};\pi].$

Задание 17 ЕГЭ 2023

2023-08-16

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(|x+1|+|x-3|-y)\sqrt{10-x-y}=0,\\y=x+a;&\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Решение:

Рассмотрим первую строку системы:

$y=|x+1|+|x-3|$ (при условии $y\leq 10-x$) или $y=10-x.$

Множество $y=|x+1|+|x-3|$

в зоне $x<-1$ есть $y=-2x+2,$

в зоне $-1\leq x\leq 3$ есть $y=4,$

в зоне $x>3$ есть $y=2x-2.$

Вторая строка системы – семейство параллельных прямых под углом 45 градусов к оси (ох).

Заметим, $y=2x-2$ пересекается с $y=10-x$ в точке $(4;6).$ А прямая $y=x+a$ проходит через указанную точку при $a=2.$
Заметим, $y=-2x+2$ пересекается с $y=10-x$ в точке $(-8;18).$ А прямая $y=x+a$ проходит через указанную точку при $a=26.$

Прямая $y=x+a$ проходит через точку $(3;4)$ при $a=1.$

Становится видно, что система имеет ровно два решения, если $a\in${$1$}$\cup[2;26).$

Ответ: {$1$}$\cup[2;26).$