Подготовка к ЕГЭ по математике

Задание 16 ЕГЭ 2023 

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями $AD$ и $BC$. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM=MO$ и $CN=NO.$

а)  Докажите, что точки $M,$ $N$ и $O$ лежат на одной прямой. 

6)  Найдите $AM:MB,$ если известно, что $AO=OC$ и $BC:AD=1:7.$

Решение:

Ответ: $1:2.$

а) Решите уравнение:

$2sin^3x=\sqrt2 cos^2x+2sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi;-\frac{5 \pi }{2}]$.

Решение:

а)

$2sin^3x=\sqrt2 cos^2x+2sinx;$

$2sin^3x=\sqrt2(1-sin^2x)+2sinx;$

$2sin^3x+\sqrt2sin^2x-2sinx-\sqrt2=0;$

$2sinx(sin^2x-1)+\sqrt2(sin^2x-1)=0;$

$(sin^2x-1)(2sinx+\sqrt2)=0;$

$(sinx-1)(sinx+1)(sinx+\frac{\sqrt2}{2})=0;$

$sinx=\pm 1$ или $sinx=\frac{-\sqrt2}{2};$

$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$ или $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$ или $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[-4\pi;-\frac{5 \pi }{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

Ответ: а) $\frac{\pi}{2}+\pi n, -\frac{\pi}{4}+2\pi n, \frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$; б) $-\frac{7\pi}{2};-\frac{11\pi}{4};-\frac{5\pi}{2}.$

Задание 16 ЕГЭ 2023

Дан ромб $ABCD.$ Прямая, перпендикулярная стороне $AD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ диагональ $BD$  — в точке $N,$ причем $AM : MC  =  1 : 2,$ $BN : ND  =  1 : 3.$

а)  Докажите, что $cosBAD=0,2.$ 

б)  Найдите площадь ромба, если $MN  =  5.$

 Задание 18 ЕГЭ 2023

Даны числа $A$ и $B.$ Из них можно сделать числа $A+2$ и $B-1$ или $B+2$ и $A-1,$ только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что $A=7,B=11.$

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно $50?$

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна $600$?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали $50$?

Решение:

а) За один ход сумма чисел увеличивается на $1.$

Действительно,

$((A+2)+(B-1))-(A+B)=1$ или $((A-1)+(B+2))-(A+B)=1.$

Исходная сумма чисел $A$ и $B$ равна $7+11=18.$ За $20$ ходов мы можем добраться до суммы $38.$ Очевидно, мы не можем представить $38$ в виде суммы двух натуральных слагаемых, одно из которых $50.$

б) Так как $600-18=582,$ то можно организовать $582$ хода, что приведут пару $(7;11)$ к паре с суммой $600.$
Применим к паре чисел $(7;11)$ указанный ниже цикл $291$ раз:

$(A;B)\rightarrow (A+2;B-1)\rightarrow (A+1;B+1)$

Придем к паре $(298;302),$ сумма которой $600.$

в) Если оба числа не превышают $50,$ то максимальное количество ходов мы сделаем при максимальной сумме чисел, которая равна $100.$

Покажем, что вариант $(50;50)$ невозможен.
Заметим, изначально разность чисел равнялась $11-7=4.$ Каждый ход меняет разность пары на $3.$ Действительно,

$((A+2)-(B-1))=(A-B)+3$ или $((A-1)-(B+2))=(A-B)-3.$

То есть новая пара чисел не сможет в разности дать нулевой остаток при делении на $3,$ то есть $A\neq B.$

Тогда максимальная сумма чисел указаных чисел уже не $100,$ а $99.$

Сможем сделать $99-18=81$ ходов? Да!

Первый ход:

$(7;11)\rightarrow (9;10)$

Далее включаем указанный в пункте б цикл $(A;B)\rightarrow (A+2;B-1)\rightarrow (A+1;B+1)$ $40$ раз. Получим пару $(49;50).$

Ответ: а) нет; б) $582$; в) $81$.

Задание 18 ЕГЭ 2023

На доске написано трёхзначное число $A.$ Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число $B,$ затем Коля записывает число $A$ и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C.$

а)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C,$ $A>140?$ 

б)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C,$ если $440\leq A<500?$ 

в)  Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A=B\cdot C.$

Решение:

а) Да, например, $A=180,$ $B=18,$ $C=10.$ При этом $A=B\cdot C.$

б) Из условия видно, что первая цифра числа $A$ всегда $4.$

Кроме того, вторая цифра числа $A$ не меньше $4.$

Значит, какую бы цифру мальчики не вычеркивали, останется всегда двузначное число, не меньшее $40.$ Но тогда $A\geq 40^2=1600,$ что больше $500.$
Нет, указанное невозможно.

в) Пусть $A=100a+10b+c.$ для удобства всевозможные варианты произведения $B\cdot C$ оформим в виде таблицы:

Желтые ячейки 1-4 таблицы нам неинтересны. Первые слагаемые в них $100a^2$ не меньше $100a,$ – первого слагаемого в разложении числа $A$ на разряды, то есть $A\leq B\cdot C$ (равенство возможно в случае $a=1,$ но нам этот случай вряд ли важен, когда мы ищем наибольшее число $A$).

Рассмотрим голубые ячейки 5 и 6.

$100a+10b+c=100ab+10ac+10b^2+bc;$

$100a(1-b)+10b(1-b)+c(1-b)=10ac;$

$(1-b)(100a+10b+c)=10ac;$

Так как $b\neq 0,$ единственная возможность, чтобы левая часть была бы не отрицательной (ведь правая часть равенства не отрицательна), – это $b=1.$

Тогда $0=10ac,$ откуда $c=0,$ а $a=8,$ если мы приследуем максимальное $A$ до $900.$

Итак,

$810=81\cdot 10$ или $810=10\cdot 81.$

Рассмотрим зеленую ячейку 9.

$100a+10b+c=100b^2+20bc+c^2;$

Чтобы оставаться в пределах до $900$ по $A,$ мы можем позволить лишь себе $b=1$ или $b=2$ ($b^2<9$), но в этом случае $A$ меньше уже найденного ($810$).

Рассмотрим фиолетовые ячейки 7-8.

$100a+10b+c=100ab+10ac+10bc+c^2;$

Необходимо (замечаем по первым слагаемым частей), – $b=1.$

Тогда

$10+c=10ac+10c+c^2;$

$10=c(10a+9+c);$
$10a+9+c\geq 19,$ а левая часть равна 10, – нет решений.

Мы перебрали все возможные варианты.

Итак, наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A=B\cdot C,$ – это $810.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $810.$

Задание 17 ЕГЭ 2023

 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\y=a(x-2)&\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Решение:

$\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\y=a(x-2)&\end{cases}$

Рассмотрим первую строку системы:

$\begin{cases}x^2+y^2+4x=0,\\2x+y+6\geq 0;\end{cases}\quad$ или $\quad 2x+y+6\
=0$

$\begin{cases}x^2+4x+4+y^2=4,\\2x+y+6\geq 0;\end{cases}\quad $ или $\quad 2x+y+6=0$

$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=4,\\y\geq- 2x-6;&\end{cases}\quad $ или $\quad y=-2x-6$

Первая строка системы задает объединение

части окружности $(x+2)^2+y^2=4$ (что попала в зону $y\geq -2x-6$)

и

прямой $y=-2x-6.$

На рисунке – линии синего цвета.

А $y=a(x-2)$ – семейство прямых, проходящих через точку $(2;0).$

Найдем координаты точек $A$ и $B$ пересечения  $y=-2x-6$ и $(x+2)^2+y^2=4:$

$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=4,\\y=- 2x-6;\end{cases}$

$\begin{cases}(x+2)^2+(-2x-6)^2=4,\\y=- 2x-6;\end{cases}$

$\begin{cases}5x^2+28x+36=0,\\y=- 2x-6;\end{cases}$

Тогда $A(-\frac{18}{5};\frac{6}{5}),$ $B(-2;-2).$

Если $y=a(x-2)$ проходит через $A,$ то $a=\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{18}{5}-2}=-\frac{3}{14}.$

Если $y=a(x-2)$ проходит через $B,$ то $a=\frac{-2}{-2-2}=\frac{1}{2}.$

Найдем $a,$ отвечающее за касание $y=a(x-2)$ и $(x+2)^2+y^2=4.$

В нашем случае расстояние от центра окружности  $(-2;0)$ до прямой $ax-y-2a=0$ равно $2.$

$\frac{|a\cdot (-2)-0-2a|}{\sqrt{a^2+1^2}}=2;$

$4|a|=2\sqrt{a^2+1};$

$a=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$

Подходящие нам положения семейства прямых $y=a(x-2)$ помечены на рисунке красным цветом (включая сектор красного цвета).

Итак, $a\in [-\frac{3}{14};\frac{1}{2}]\cup ${$\pm \frac{1}{\sqrt3}$}.

Ответ: $[-\frac{3}{14};\frac{1}{2}]\cup ${$\pm \frac{1}{\sqrt3}$}.

Реальный ЕГЭ 2023

$ABC$ равносторонний треугольник. На стороне $AC$ выбрана точка $M$, серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

a) Доказать что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найти отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM:CM=4:1.$

Решение:

ЕГЭ 2023

Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 5$ и $BC= 4.$ $M$ – точка, которая делит сторону $A_1D_1$ в отношении $1:4,$ $K$ – середина $DD_1.$

a) Доказать, что $MCK$||$BD.$
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD $= 60°, a $\angle CKM$ = 90°.

Решение:

ЕГЭ 2023

а) Решите уравнение:

$2sin^2xcosx+\sqrt3 cos^2x=\sqrt3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5 \pi }{2};4\pi]$.  

Решение:

а)

$2sin^2xcosx+\sqrt3 cos^2x=\sqrt3;$

$2sin^2xcosx+\sqrt3 (1-sin^2x)-\sqrt3=0;$

$2sin^2xcosx+\sqrt3 -\sqrt3 sin^2x-\sqrt3=0;$

$2sin^2xcosx-\sqrt3 sin^2x=0;$

$sin^2x(2cosx-\sqrt3)=0;$

$sin^2x=0\quad $ или $\quad 2cosx-\sqrt3=0;$

$sinx=0\quad $ или $\quad cosx=\frac{\sqrt3}{2};$

$x=\pi n, n\in Z\quad $ или $\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;$

б) Произведем отбор корней уравнения из указанного отрезка при помощи тригонометрической окружности:

$3\pi;\frac{23\pi}{6};4\pi$

Ответ: а) $\pi n, \pm\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$; б) $3\pi;\frac{23\pi}{6};4\pi.$

(ЕГЭ 2023, Досрок)

У Пети есть монеты номиналом $1, 2, 5$ и $10$ рублей. Каждого вида монет у него по $100$ штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит. 

а)  Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $100$  рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $25$  рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более $100$  рублей?

Ответ: а) да; б) нет; в) $13.$

Решение:

а) Взяв монеты $1,2,2,5$ Петя может оплатить ими без сдачи пирожное стоимостью от $1$ до $10$ рублей. Добавляя к ним $9$ монет по $10$ рублей, Петя вполне может оплатить без сдачи пирожное любой стоимости уже до $100$ рублей включительно.

А именно. Если цена пирожного – круглое число (с одним нулем), оплачиваем пирожное монетами по $10$. Если цена пирожного $100$ рублей, то отдаем все монеты. Если цена пирожного – не круглое число, то “разбиваем” цену на круглое число (оплата десячками) и единицы (оплата монетами $1,2,2,5$).

Петя “укладывается” даже в $13$ монет, уж тем более ему хватит шестнадцати.

б) Нет, не может.

Чтобы иметь возможность оплатить пирожное стоимостью $3$ рубля, Петя должен иметь как минимум две монеты – $1$ и $2$ рубля.

Чтобы оплатить пирожное стоимостью $4$ рубля, ему придется добавить к набору $1,2$ еще одну рублевую или двухрублевую монету. То есть в наборе должны быть монеты  $1,1,2$ или $1,2,2.$

Остается в запасе две монеты.

Если Петя добавит к взятым трем монетам только одну десятирублевую, а пятая – какая-то кроме десятирублевой, то сумма номинала монет не превзойдет $20$ рублей. Значит, Пете придется взять две десятирублевые монеты. Но тогда он лишается возможности оплатить пирожное стоимостью, например, $19$ рублей.

в) В пункте а было показано, что можно оплатить без сдачи любое пирожное стоимостью до $100$ рублей, имея $13$ монет.

Покажем, что монет не может быть меньше $13.$

Мы уже замечали, что в наборе должна содержаться тройка $1,1,2$ или $1,2,2$ монет. Далее если даже $9$ монет будут по $10$ рублей, то их общая сумма будет не больше $9\cdot 10+2+2+1=95$ рублей.