Подготовка к ЕГЭ по математике

3.1. (ЕГЭ 2023, Досрок)

15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r  — целое число;

— платёж должен вноситься один раз в месяц, со 2-го по 14-е число каждого месяца;

— 15-го числа каждого месяца размер долга должен соответствовать долгу, указанному в таблице.

Решение:

Пусть $k=\frac{r}{100}.$

Распишем платежи каждого месяца:

1. $0,2+k\cdot 1$
2. $0,1+k\cdot 0,8$
3. $0,2+k\cdot 0,7$
4. $0,2+k\cdot 0,5$
5. $0,2+k\cdot 0,3$
6. $0,1+k\cdot 0,1$

Общая сумма выплат: $1+k(1+0,8+0,7+0,5+0,3+0,1).$

По условию общая сумма платежей больше $1,4$ млн рублей, поэтому

$1+k(1+0,8+0,7+0,5+0,3+0,1)>1,4;$

$1+3,4k>1,4;$

$k>\frac{1,4-1}{3,4};$

$k>\frac{2}{17}.$

Откуда

$\frac{r}{100}>\frac{2}{17};$

$r>\frac{200}{17};$

$r>11\frac{13}{17}.$

Наименьшее целое число $r,$ отвечающее неравенству, – это $12.$

 Ответ: $12.$

(ЕГЭ 2023, Досрок)

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $20$% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна $311 040$ рублей?

Решение:

Пусть $S$ – сумма кредита. Пусть $x$- сумма каждой из четырех выплат.

Распишем остатки долга после каждого погашения:

2024 год: $1,2S-x;$

2025 год: $1,2^2S-1,2x-x;$

2026 год: $1,2^3S-1,2^2x-1,2x-x;$

2027 год: $1,2^4S-1,2^3x-1,2^2x-1,2x-x=0$ (*)

Ссогласно условию $4x=311040$, значит $x=77760.$

Тогда, возвращаясь к (*), имеем:

$1,2^4\cdot S-77760\cdot (1,2^3+1,2^2+1,2+1)=0;$

$S=\frac{77760\cdot (1,2^3+1,2^2+1,2+1)}{1,2^4};$

$S=\frac{77760\cdot ((\frac{6}{5})^3+(\frac{6}{5})^2+\frac{6}{5}+1)}{(\frac{6}{5})^4};$

$S=\frac{5\cdot 77760\cdot (6^3+5\cdot 6^2+25\cdot 6+125)}{6^4};$

$S=201300.$

Ответ: $201300$ рублей.

(ЕГЭ 2023, Досрок)
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: 

—  каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; 

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на $104 800$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение:

Пусть $S$ – сумма кредита. Пусть $x$- сумма каждой из трех выплат (в тыс. руб.).

Распишем остатки долга после каждого погашения:

2021 год: [latexpage]$1,25S-x;$

2022 год: $1,25^2S-1,25x-x;$

2023 год: $1,25^3S-1,25^2x-1,25x-x=0$ (*)

Общая сумма выплат $3x$ на $104800$ рублей больше суммы $S$, взятой в кредит, согласно условию, поэтому

Общая сумма выплат $3x$ на $104800$ рублей больше суммы $S$, взятой в кредит, согласно условию, поэтому

$S=3x-104800.$

Тогда, возвращаясь к (*), имеем:

$1,25^3\cdot (3x-104800)-x(1,25^2+1,25+1)=0;$

$x(1,25^3\cdot 3-1,25^2-1,25-1)-1,25^3\cdot 104800=0;$

$x=\frac{1,25^3\cdot 104800}{1,25^3\cdot 3-1,25^2-1,25-1};$

$x=\frac{(\frac{5}{4})^3\cdot 104800}{(\frac{5}{4})^3\cdot 3-(\frac{5}{4})^2-\frac{5}{4}-1};$

$x=\frac{5^3\cdot 104800}{3\cdot 5^3-4\cdot 5^2-16\cdot 5-64};$

$x=300.$

Ответ: $300000.$

(Досрок 2023)

Решите неравенство: $\large \frac{4^x-2^{x-3}+7}{4^x-5\cdot 2^x+4}\leq \frac{2^x-9}{2^x-4}+\frac{1}{2^{x}-6}.$

Решение:

Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;2)\cup (log_26;3].$

(Досрок 2023)

Решите неравенство: $\Large \frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot 4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot 2^{x}+4}\leq \large 2^{x+1}-\Large\frac{1}{2^x-2}+\frac{3}{2^{x+1}-1}.$

Решение:

Ответ: $(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup [log_23;2).$

(Досрок 2023)

Решите неравенство: $\large \frac{9^x-3^{x+1}-19}{3^x-6}+\frac{9^{x+1}-3^{x+4}+2}{3^x-9}\leq 10\cdot 3^x+3.$

Решение:

$(-\infty;1]\cup(log_36;2).$

(Пробный ЕГЭ-23)

Решите неравенство: $\large \log_{4}( x-3) (10+3x-x^{2}) +\log_{4}\frac{7-x}{10+3x-x^{2}}\leq -1+\log _{4}( 2x+4).$

Решение:

Ответ: $ ( 3; 4].$

(Досрок 2023) 

а)  Докажите, что плоскость KML содержит точку B.

В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK : KA  =  SL : LC  =  2 : 1 и SM  =  MD.

б)  Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 18, а высота пирамиды SABCD равна 7.

Решение:

Ответ: 14.

(Досрок 2023)

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK : KC  =  2:3. Четырёхугольник KLMN – квадрат.
а)  Докажите, что AB:CD=2:3.

б)  Найдите объём пирамиды KNMC, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

Решение:

Ответ: б) 3,6.

(Досрок 2023)

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что AK:KC=3:7, а KLMN  — квадрат со стороной 3.
а)  Докажите, что BM:MD=3:7.

б)  Найдите расстояние от точки C до КLМ, если известно, что объем тетраэдра ABCD равен 50.

Решение:

Ответ: 49

(ЕГЭ 2023, Статград)

 а) Решите уравнение:

$\large \frac{3tg^2x-1}{2cosx+\sqrt3}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$

Решение:

Ответ: а) $\pm\frac {\pi}{6}+2\pi k , k\in Z$; б) $\frac{11\pi}{6};\frac{13\pi}{6}$.

(ЕГЭ 2023, Досрок)

 а) Решите уравнение:

$log_4(2^{2x}-\sqrt3cosx-sin2x)=x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}].$

Решение:  

Ответ: а) $-\frac {\pi}{3}+2\pi k; -\frac {2\pi}{3}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z$; б) $\frac{5\pi}{2};\frac{10\pi}{3};\frac{7\pi}{2}$.

(ЕГЭ 2023, Пробник)

 а) Решите уравнение:

$\sqrt{2cos^2x-4cosx+3}=\sqrt{cosx+6}.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7 \pi }{2};5\pi]$. 

Решение:

a)

$\sqrt{2\cos ^{2}x-4\cos x+3}=\sqrt{\cos x+6};$

$2\cos ^{2}x-4\cos x+3=\cos x+6$ при условии $cos x+6\geq 0.$

Указанное условие выполняется всегда.

$2cos ^{2}x-5\cos x-3=0;$

$cos x=\frac{5\pm 7}{4};$

$cos x=-\frac{1}{2};$

$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{7 \pi }{2};5\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

Ответ: а) $\pm \frac {2\pi}{3}+2\pi k; \frac {5\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$; б) $\frac{14\pi}{3}$.

(ЕГЭ 2023, Досрок) а) Решите уравнение:

$log_{13}(cos2x-9\sqrt2 cosx-8)=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}].$

Решение:

Ответ: а) $\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$; б) $-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}$

 (ЕГЭ 2023, Досрок) 

а) Решите уравнение:

$\log _{3}\left( \sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-x\right) +\sin 2x+81\right) =4.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \pi ;\frac{5 \pi }{2}]$.

Решение:

Ответ: а) $\pi k;\frac {3\pi}{4}+2\pi k;\frac {5\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$; б) $\pi; \frac{5\pi}{4};2\pi$.