Архив по меткам: метод рационализации

Метод рационализации. Часть 3. Примеры

2019-08-08

Рассмотрим несколько примеров категории С3 (№15). Решать будем, используя метод рационализации.

 

Пример 1. 

Решить неравенство \frac{\sqrt{x^2+5x+6}-\sqrt{28-3x-x^2}}{x^2-x-6}<0

Решение:

Находим ОДЗ неравенства:

\begin{cases} &x^2+5x+6\geq 0,& &28-3x-x^2\geq 0,& &x^2-x-6\neq 0;& \end{cases}

\begin{cases} &(x+2)(x+3)\geq 0,& &(x+7)(x-4)\leq 0,& &(x-3)(x+2)\neq 0;& \end{cases}

x\in[-7;-3]\cup(-2;3)\cup(3;4].

Исходное неравенство будет иметь тоже решение, что и  неравенство

\frac{x^2+5x+6-28+3x+x^2}{x^2-x-6}<0 на ОДЗ! согласно методу рационализации.

или

(x^2+5x+6-28+3x+x^2)(x^2-x-6)<0 (на ОДЗ)

2(x^2+4x-11)(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

2(x-(-2+\sqrt{15}))(x-(-2-\sqrt{15}))(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

И, наконец, с учетом ОДЗ:

Ответ: (-2-\sqrt{15};-3]\cup(-2+\sqrt{15};3).

Пример 3.

Решить неравенство \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0

 Решение:

ОДЗ данного неравенства:

\begin{cases} &\frac{x}{3}> 0,& &\frac{x}{3}\neq 1,& &\log_x\sqrt{3-x}>0,& &x>0,& &x\neq 1,& &\sqrt{3-x}>0;& \end{cases}

Производим преобразования, – они совсем несложные. А вот к третьей строке применяем метод замены множителей:

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(\sqrt{3-x}-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

И далее применяем рационализацию ко второй скобке в третьей строке:

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(3-x-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(2-x)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

Возвращаемся к исходному неравенству

 \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0,

производим замену множителей:

(\frac{x}{3}-1)(\log_x\sqrt{3-x}-1)\geq 0

И снова применяем метод замены множителей ко второму множителю:

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(\sqrt{3-x}-x)\geq 0

К третьей скобке вновь применяем рационализацию.

Заметим, вообще говоря, \sqrt{x^2}=|x|, но так как в нашем случае (ОДЗ) x>0, то \sqrt{x^2}=x, то есть \sqrt{3-x}-x=\sqrt{3-x}-\sqrt{x^2}.

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(3-x-x^2)\geq 0

-(\frac{x}{3}-1)(x-1)(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\geq 0

Учитываем ОДЗ:

Ответ: [\frac{-1+\sqrt{13}}{2};2).

Пример 4. 

Решить неравенство x(|x^2-1|-2|x-1|)< 0

Решение:

Применяем метод рационализации:

x(x^2-1-2(x-1))(x^2-1+2(x-1))<0

x(x^2-2x+1)(x^2+2x-3)<0

x(x-1)^2(x+3)(x-1)<0

x(x-1)^3(x+3)<0

Ответ: (-\infty;-3)\cup(0;1).

Пример 5. 

Решить неравенство \frac{4^{x^2+3x-2}-0,5^{2x^2+2x-1}}{5^x-1}\leq 0

Решение:

Представим 0,5^{2x^2+2x-1} как ((\frac{1}{2})^2)^{x^2+x-0,5},

то есть 0,5^{2x^2+2x-1}=(\frac{1}{4})^{x^2+x-0,5}

Тогда

\frac{4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5}}{5^x-1}\leq 0

или

(4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5})(5^x-1)\leq 0,   5^x\neq 1

Применяем метод рационализации  к каждой из скобок:

(4-1)(x^2+3x-2+x^2+x-0,5)(5-1)(x-0)\leq 0,   x\neq 0

(2x^2+4x-2,5)x\leq 0,   x\neq 0

 2x(x-0,5)(x+2,5)\leq 0,   x\neq 0

Ответ: (-\infty;-2,5]\cup(0;0,5].

Метод рационализации. Часть 1

2019-08-15

Здесь я привожу лишь таблицу с  приемами  рационализации, облегчающими работу с огромным количеством неравенств. Подробнее  (конкретные примеры, суть метода замены множителей) смотрим здесь. Читать далее

Метод рационализации. Часть 2

2019-08-08

 

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические  и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Поэтому прежде чем мы начать знакомство с методом рационализации, вам хорошо следует разбираться  в равносильности.
Если Вам тема знакома, и Вы просто хотите уточнить приемы рационализации, – вам сюда.
Кроме того, есть видео по теме 1 2 3 

Читать далее

C3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 2 (метод рационализации)

2016-04-15

Продолжение

Начало – здесь. Читать далее